Corrigé du bac de maths 2023 : Centres étrangers, jour 2
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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Fonction exponentielle, dérivée d'un quotient, limites, équation, convexité et point d'inflexion
Partie A : lectures graphiques
1. Équation réduite de la tangente \(\mathcal{T}\).
La tangente \(\mathcal{T}\) passe par A et par B. Elle coupe l'axe des ordonnées en A, donc son ordonnée à l'origine vaut \(\frac12\). Pour passer de A à B, on avance de 1 en abscisse et on monte de \(\frac54 - \frac12 = \frac34\) en ordonnée : le coefficient directeur est \(\frac34\).
En conclusion : \(\mathcal{T} : y = \frac34 x + \frac12\).
2. Intervalles de convexité et de concavité (conjecture).
À gauche de l'axe des ordonnées, la courbe est « tournée vers le haut » : elle se situe au-dessus de ses tangentes. À droite, elle s'infléchit vers le bas et passe sous ses tangentes. Le changement semble avoir lieu au point A.
En conclusion : \(f\) semble convexe sur \(]-\infty~;~0]\) et concave sur \([0~;~+\infty[\).
Partie B : étude de la fonction
1. Expression de \(f'\).
Ensuite, on écrit \(f = \frac{1}{v}\) avec \(v(x) = 1 + \text{e}^{-3x}\). La fonction \(v\) ne s'annule pas (elle est strictement supérieure à 1) et, par la dérivée de \(\text{e}^{u}\), \(v'(x) = -3\text{e}^{-3x}\). La formule \(\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}\) donne :
\[f'(x) = -\dfrac{-3\text{e}^{-3x}}{\left(1+\text{e}^{-3x}\right)^2} = \dfrac{3\text{e}^{-3x}}{\left(1+\text{e}^{-3x}\right)^2}.\]
En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x) = \dfrac{3\text{e}^{-3x}}{\left(1+\text{e}^{-3x}\right)^2}\).
2. Stricte croissance de \(f\).
Une exponentielle est toujours strictement positive, donc le numérateur \(3\text{e}^{-3x}\) est strictement positif. Le dénominateur est un carré d'un nombre non nul, donc lui aussi strictement positif. Ainsi \(f'(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\).
En conclusion : la dérivée est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Limite en \(+\infty\).
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-3x\) tend vers \(-\infty\), et comme \(\lim_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), on obtient par composition \(\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-3x} = 0\). Le dénominateur tend donc vers 1 et \(f(x)\) tend vers \(\frac11 = 1\).
En conclusion : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\) ; la droite \(y = 1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).
3. b) Limite en \(-\infty\).
Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(-3x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\text{e}^{-3x}\) tend vers \(+\infty\). Le dénominateur \(1 + \text{e}^{-3x}\) tend vers \(+\infty\), et l'inverse d'une quantité qui tend vers \(+\infty\) tend vers 0.
En conclusion : \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) ; l'axe des abscisses est asymptote en \(-\infty\).
Question 4
4. Valeur exacte de la solution \(\alpha\) de \(f(x) = 0{,}99\).
Le dénominateur étant strictement positif, on peut faire un produit en croix :
\[\dfrac{1}{1+\text{e}^{-3x}} = 0{,}99 \iff 1 + \text{e}^{-3x} = \dfrac{1}{0{,}99} = \dfrac{100}{99} \iff \text{e}^{-3x} = \dfrac{1}{99}.\]
Alors, on applique la fonction \(\ln\), qui est une bijection de \(]0~;~+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\) : \(-3x = \ln\frac{1}{99} = -\ln 99\), d'où \(x = \frac{\ln 99}{3}\). Cette valeur est unique, ce qui est cohérent avec la stricte croissance de \(f\) (et \(0{,}99\) est bien compris entre les limites 0 et 1).
En conclusion : \(\alpha = \dfrac{\ln 99}{3} \approx 1{,}532\).
Partie C : Tangente et convexité
1. Équation de \(\mathcal{T}\) par le calcul.
La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\). Comme \(\text{e}^{0} = 1\) : \(f(0) = \frac{1}{1+1} = \frac12\) et \(f'(0) = \frac{3 \times 1}{(1+1)^2} = \frac34\).
En conclusion : \(\mathcal{T} : y = \frac34 x + \frac12\), ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.
2. Signe de \(f''\) sur \(\mathbb{R}\).
Dans l'expression donnée, \(9\text{e}^{-3x} \gt 0\) et \(\left(1+\text{e}^{-3x}\right)^3 \gt 0\) (cube d'un nombre strictement positif). Le signe de \(f''(x)\) est donc celui du facteur \(\text{e}^{-3x} - 1\). Or, la fonction exponentielle étant strictement croissante et \(\text{e}^0 = 1\) :
\(\text{e}^{-3x} - 1 \gt 0 \iff \text{e}^{-3x} \gt \text{e}^{0} \iff -3x \gt 0 \iff x \lt 0\), et \(\text{e}^{-3x} - 1 = 0 \iff x = 0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
En conclusion : \(f''(x) \gt 0\) sur \(]-\infty~;~0[\), \(f''(0) = 0\) et \(f''(x) \lt 0\) sur \(]0~;~+\infty[\).
3. a) Intervalle(s) où \(f\) est convexe.
Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive, concave là où elle est négative. D'après la question précédente, \(f'' \geqslant 0\) sur \(]-\infty~;~0]\) et \(f'' \leqslant 0\) sur \([0~;~+\infty[\).
En conclusion : \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~0]\) (et concave sur \([0~;~+\infty[\)).
3. b) Rôle du point A.
En \(x = 0\), la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : la courbe passe de convexe à concave. Le point de la courbe d'abscisse 0 est \(\left(0~;~f(0)\right) = \left(0~;~\frac12\right)\), c'est-à-dire A.
En conclusion : A est le point d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\).
Question 3 c
3. c) Position relative de \(\mathcal{T}\) et de \(\mathcal{C}_f\).
Puis on utilise la propriété : sur un intervalle où une fonction est convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle ; si elle est concave, la courbe est en dessous. Le point A a pour abscisse 0, qui appartient à la fois à \(]-\infty~;~0]\) (où \(f\) est convexe) et à \([0~;~+\infty[\) (où \(f\) est concave).
Ainsi, pour \(x \leqslant 0\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}\), et pour \(x \geqslant 0\), elle est en dessous. La tangente « traverse » la courbe en A, ce qui est caractéristique d'un point d'inflexion. Un contrôle numérique confirme : en \(x = -1\), \(f(-1) \approx 0{,}047\) alors que la tangente donne \(-0{,}25\) ; en \(x = 1\), \(f(1) \approx 0{,}953\) alors que la tangente donne \(1{,}25\).
En conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}\) sur \(]-\infty~;~0]\), en dessous sur \([0~;~+\infty[\), et elles se coupent en A.
Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Fonction logarithme, variations, croissances comparées, suite récurrente, raisonnement par récurrence, convergence monotone
Partie A
1. Ensemble de définition de \(f\).
La fonction \(\ln\) n'est définie que pour des nombres strictement positifs. Il faut donc \(1 + x \gt 0\), soit \(x \gt -1\). Le terme \(x\) ne pose aucune contrainte.
En conclusion : \(f\) est définie sur \(]-1~;~+\infty[\).
2. Expression de \(f'(x)\).
La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\frac{u'}{u}\). Avec \(u(x) = 1 + x\), \(u'(x) = 1\), donc :
\[f'(x) = 1 - \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{(1+x) - 1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x}.\]
En conclusion : pour tout \(x \gt -1\), \(f'(x) = \dfrac{x}{1+x}\).
3. a) Sens de variation de \(f\).
Sur \(]-1~;~+\infty[\), le dénominateur \(1 + x\) est strictement positif : \(f'(x)\) a le signe de \(x\). Donc \(f'(x) \lt 0\) sur \(]-1~;~0[\), \(f'(0) = 0\) et \(f'(x) \gt 0\) sur \(]0~;~+\infty[\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | décroissante | \(0\) | croissante |
En conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1~;~0]\) et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).
3. b) Signe de \(f\) sur \(]-1~;~0[\).
Ensuite, on calcule \(f(0) = 0 - \ln 1 = 0\). Sur \(]-1~;~0[\), \(f\) est strictement décroissante : si \(-1 \lt x \lt 0\), alors \(f(x) \gt f(0) = 0\). (Plus généralement, 0 est le minimum de \(f\) sur tout son domaine, donc \(f \geqslant 0\) partout.)
En conclusion : \(f(x) \gt 0\) pour tout \(x \in \,]-1~;~0[\).
4. a) Montrer que \(f(x) = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{1+x}\right)\).
Pour tout réel \(x\), \(\ln\left(\text{e}^x\right) = x\). Alors, on remplace donc \(x\) par \(\ln\left(\text{e}^x\right)\) dans l'expression de \(f\), puis on utilise \(\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}\) (valable car \(\text{e}^x \gt 0\) et \(1 + x \gt 0\)) :
\[f(x) = \ln\left(\text{e}^x\right) - \ln(1+x) = \ln\left(\dfrac{\text{e}^x}{1+x}\right).\]
En conclusion : pour tout \(x \gt -1\), \(f(x) = \ln\left(\dfrac{\text{e}^x}{1+x}\right)\).
Question 4 b
4. b) Limite de \(f\) en \(+\infty\).
La forme \(x - \ln(1+x)\) donne « \(\infty - \infty\) », d'où l'intérêt de l'écriture précédente. Pour \(x \gt 0\), on factorise : \(\dfrac{\text{e}^x}{1+x} = \dfrac{\text{e}^x}{x} \times \dfrac{x}{1+x}\). Par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\text{e}^x}{x} = +\infty\), et \(\frac{x}{1+x} = \frac{1}{\frac1x + 1}\) tend vers 1. Le produit tend donc vers \(+\infty\). Enfin \(\lim_{X \to +\infty} \ln X = +\infty\), et par composition :
En conclusion : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
Partie B
1. Arrondi au millième de \(u_1\).
Puis on applique la relation avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 - \ln(1 + u_0) = 10 - \ln 11\). La calculatrice donne \(10 - \ln 11 \approx 7{,}6021\).
En conclusion : \(u_1 \approx 7{,}602\).
2. Démontrer par récurrence que \(u_n \geqslant 0\).
Ensuite, on remarque que \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec la fonction \(f\) de la partie A. Soit \(P(n)\) la propriété « \(u_n \geqslant 0\) ».
Initialisation. \(u_0 = 10 \geqslant 0\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(u_n \geqslant 0\). D'après la question 3. a. de la partie A, \(f\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\) ; comme \(u_n\) et 0 appartiennent à cet intervalle et que \(u_n \geqslant 0\), on en déduit \(f(u_n) \geqslant f(0)\), c'est-à-dire \(u_{n+1} \geqslant 0\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).
En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geqslant 0\).
3. La suite \((u_n)\) est décroissante.
Alors, on étudie le signe de la différence : \(u_{n+1} - u_n = -\ln(1 + u_n)\). Comme \(u_n \geqslant 0\), on a \(1 + u_n \geqslant 1\), et la fonction \(\ln\) étant croissante, \(\ln(1 + u_n) \geqslant \ln 1 = 0\). Par conséquent \(u_{n+1} - u_n \leqslant 0\).
En conclusion : pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leqslant u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.
Question 4
4. Convergence de \((u_n)\).
La suite est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.
En conclusion : la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), avec \(\ell \geqslant 0\).
5. Limite de \((u_n)\).
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \((u_{n+1})\) converge aussi vers \(\ell\). Par ailleurs, \(\ell \geqslant 0\) appartient à \(]-1~;~+\infty[\) où \(x \mapsto x - \ln(1+x)\) est continue, donc \(u_n - \ln(1+u_n)\) tend vers \(\ell - \ln(1+\ell)\). Par unicité de la limite :
\[\ell = \ell - \ln(1+\ell) \iff \ln(1+\ell) = 0 \iff 1 + \ell = 1 \iff \ell = 0.\]
En conclusion : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).
Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Géométrie dans l'espace : colinéarité, produit scalaire, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, aire et volume
1. A, B et C ne sont pas alignés.
Puis on calcule \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}\). S'ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) avec \(\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}\) ; la troisième coordonnée impose \(0 = k \times 1\), soit \(k = 0\), ce qui contredit la première (\(-5 \neq 0\)).
En conclusion : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.
2. ABC est rectangle en A.
Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(-5) + 1 \times (-5) + 1 \times 0 = 5 - 5 + 0 = 0\).
En conclusion : \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\), donc le triangle ABC est rectangle en A.
3. Vérifier l'équation \(-x + y - 2z + 5 = 0\) du plan (ABC).
Les trois points n'étant pas alignés, ils définissent un unique plan. Il suffit donc de vérifier que leurs coordonnées satisfont l'équation :
pour A : \(-3 + 0 - 2 + 5 = 0\) ; pour B : \(-2 + 1 - 4 + 5 = 0\) ; pour C : \(2 - 5 - 2 + 5 = 0\).
En conclusion : les trois points appartiennent au plan d'équation \(-x + y - 2z + 5 = 0\), qui est donc le plan (ABC).
Question 4
4. Représentation paramétrique de \((\Delta)\).
Les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) dans l'équation du plan fournissent un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Une droite orthogonale au plan est dirigée par ce vecteur. La droite \((\Delta)\) est donc l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{SM} = t\,\overrightarrow{n}\), \(t \in \mathbb{R}\) :
\[(\Delta) : \begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 + t \\ z = 4 - 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.\]
En conclusion : \((\Delta)\) : \(x = 1 - t\), \(y = -2 + t\), \(z = 4 - 2t\), \(t \in \mathbb{R}\).
5. Coordonnées de H.
Ensuite, on cherche la valeur de \(t\) pour laquelle le point de \((\Delta)\) vérifie l'équation du plan : \(-(1 - t) + (-2 + t) - 2(4 - 2t) + 5 = 0\). En développant : \(-1 + t - 2 + t - 8 + 4t + 5 = 0\), soit \(6t - 6 = 0\), donc \(t = 1\). Ensuite, on reporte dans la représentation paramétrique : \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = 2\).
En conclusion : \(\text{H}(0~;~-1~;~2)\).
6. Distance SH.
\(\overrightarrow{SH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\) (c'est d'ailleurs \(\overrightarrow{n}\), puisque \(t = 1\)). Dans un repère orthonormé : \(\text{SH}^2 = (-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 6\).
En conclusion : \(\text{SH} = \sqrt{6}\).
7. Aire du disque \(\mathcal{D}\).
Le rayon du cercle est \(r = \text{HB}\). Donc on a \(\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\), donc \(\text{HB}^2 = 4 + 4 + 0 = 8\) et \(r = 2\sqrt2\). L'aire d'un disque vaut \(\pi r^2\).
En conclusion : l'aire de \(\mathcal{D}\) est \(8\pi\) (unités d'aire).
Question 8
8. Volume du cône de sommet S et de base \(\mathcal{D}\).
H est le centre de la base et la droite (SH) est orthogonale au plan (ABC) qui contient le disque : [SH] est donc la hauteur du cône, de longueur \(\sqrt6\). Le volume d'un cône est \(\frac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) :
\[V = \dfrac13 \times 8\pi \times \sqrt6 = \dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3}.\]
En conclusion : \(V = \dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3} \approx 20{,}52\) unités de volume.
Corrigé de l’exercice 4 (bac 2023, Centres étrangers, jour 2) 5 points
Loi binomiale, événement contraire, probabilités cumulées, algorithme de seuil en Python
Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès « la pièce est défectueuse » a une probabilité \(p = 0{,}04\). Les \(n\) tirages sont identiques et indépendants (tirage assimilé à un tirage avec remise), donc \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~0{,}04)\).
1. Probabilité d'au moins une pièce défectueuse pour \(n = 50\).
Ensuite, on passe par l'événement contraire « aucune pièce défectueuse » : \(p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0{,}96^{50} \approx 1 - 0{,}1299 = 0{,}8701\).
Réponse b : \(p(X \geqslant 1) \approx 0{,}870\).
2. Expression de \(p(3 \lt X \leqslant 7)\).
L'événement \(\{X \leqslant 7\}\) est la réunion disjointe de \(\{X \leqslant 3\}\) et de \(\{3 \lt X \leqslant 7\}\). Donc \(p(3 \lt X \leqslant 7) = p(X \leqslant 7) - p(X \leqslant 3)\). Numériquement, \(0{,}9992 - 0{,}8609 \approx 0{,}1383\). Les autres propositions retirent de mauvais événements (par exemple \(p(X \gt 3)\) contient les valeurs 8, 9, … qui ne sont pas dans \(\{X \leqslant 7\}\)).
Réponse b : \(p(X \leqslant 7) - p(X \leqslant 3)\).
3. Plus petit \(k\) tel que \(p(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95\).
Par ailleurs, on lit les probabilités cumulées de \(\mathcal{B}(50~;~0{,}04)\) à la calculatrice :
| \(k\) | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| \(p(X \leqslant k)\) | 0,6767 | 0,8609 | 0,9510 | 0,9856 |
La probabilité cumulée dépasse 0,95 pour la première fois à \(k = 4\).
Réponse c : \(k = 4\).
Question 4
4. Probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses.
« Toutes les pièces sont défectueuses » correspond à \(X = n\) : \(p(X = n) = \binom{n}{n} \times 0{,}04^n \times 0{,}96^0 = 0{,}04^n\). À ne pas confondre avec \(0{,}96^n\), qui est la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse.
Réponse a : \(0{,}04^n\).
5. Que renvoie la fonction seuil ?
La quantité \(1 - 0{,}96^n\) est la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse parmi \(n\) (question 1). La boucle part de \(n = 1\) et augmente \(n\) tant que cette probabilité est strictement inférieure à x ; elle s'arrête au premier \(n\) pour lequel \(1 - 0{,}96^n \geqslant x\). Comme \(1 - 0{,}96^n\) croît avec \(n\), ce premier \(n\) est le plus petit qui convient. Par exemple, seuil(0.95) renvoie 74.
Réponse a : le plus petit \(n\) tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
Ce qu’il faut retenir de ce sujet
- Le signe de \(f''\) donne la convexité, et un changement de signe de \(f''\) signale un point d'inflexion où la tangente traverse la courbe.
- Pour lever une forme « \(\infty - \infty\) » avec un logarithme, on regroupe en un seul \(\ln\) et on utilise les croissances comparées.
- Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\), la croissance de \(f\) sur un intervalle stable fait marcher la récurrence, et la continuité de \(f\) permet de trouver la limite par \(\ell = f(\ell)\).
- Le projeté orthogonal d'un point sur un plan s'obtient avec la droite dirigée par un vecteur normal ; la distance au plan donne la hauteur d'un cône ou d'une pyramide.
- En loi binomiale, « au moins un » se calcule par le contraire, et \(p(a \lt X \leqslant b) = p(X \leqslant b) - p(X \leqslant a)\) ; attention aux inégalités strictes ou larges.
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Présentation du corrigé du bac 2023, Centres étrangers, jour 2
Cette correction complète du bac 2023, Centres étrangers, jour 2 du 22 mars 2023 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : fonction exponentielle, dérivée d'un quotient, limites, équation, convexité et point d'inflexion. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : fonction logarithme, variations, croissances comparées, suite récurrente, raisonnement par récurrence, convergence monotone. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : colinéarité, produit scalaire, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, aire et volume. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : loi binomiale, événement contraire, probabilités cumulées, algorithme de seuil en Python.
Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.
Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, Centres étrangers, jour 2
Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.
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