Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord, septembre

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Tous les étapes des calculs suivants seront détaillées sur la copie.

1. \(\text{A} = \dfrac{5}{3} – \dfrac{4}{7} \times \dfrac{5}{3}\).

Calculer A et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

2. \(\text{B} = 5\sqrt{3} + \sqrt{48} – 3\sqrt{75}\).

Calculer B et donner le résultat sous forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, \(b\) étant le plus petit possible.

3. \(\text{C} = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^{8}}{15 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^{5}}\).

Calculer C et donner le résultat en écriture scientifique.

Exercice 2

\(D = (x-4)^2 + (x-4)(2x+6)\).

1. Développer \(D\).

2. Factoriser \(D\).

3. Résoudre l’équation \((x-4)(3x+2) = 0\).

4. Calculer \(D\) pour \(x = -3\).

Exercice 3

1. Calculer le PGCD de 1 911 et de 2 499 en précisant la méthode utilisée.

2. Écrire sous forme irréductible la fraction \(\dfrac{2\,499}{1\,911}\) (on indiquera le detail des calculs).

Exercice 4

Lors d’un contrôle, un groupe d’élèves de 3^e B a obtenu les notes suivantes

6 − 7 − 7 − 3 − 9 − 9 − 9 − 10 − 12 − 12 − 13 − 14 − 15

1. Quelle est l’étendue des notes ?

2. Quelle est la moyenne des notes, arrondie au dixième de point ?

3. Quelle est la note médiane ?

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le centimètre.

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la reproduire.

On donne AB = 12 ; AC = 9,6 ; AD = 6,5 ; BC = 7,2 ; BF = 10,5 ; AG = 18.

1. Calculer AE.

2. Calculer \(\tan \widehat{\text{BAC}}\), puis donner la mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) arrondie au degré.

3. Démontrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 2

1. Construire \(\mathcal{F}_1\), sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure \(\mathcal{F}\) par rapport à la droite \(d\).

2. Construire \(\mathcal{F}_2\) sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure \(\mathcal{F}\) par rapport au point O.

3. Construire sur la figure ci-dessous, l’image de la figure \(\mathcal{F}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

4. Construire \(\mathcal{F}_4\), sur la figure ci-dessous, l’image de la figure \(\mathcal{F}\) par la rotation de centre C, d’angle 90° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Problème 12 points

Problème : quadrilatères dans un repère

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; I, J). L’unité de longueur est le centimètre.

On considère les points

\(\text{A}(-1\ ;\ 3)\) ; \(\text{B}(3\ ;\ 6)\) ; \(\text{C}(3\ ;\ 1)\).

1. Placer les points A, B et C.

2. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC].

3. Montrer que AB = 5 et \(\text{BM} = 2\sqrt{5}\).

4. On donne AM = 5, montrer que le triangle ABM est rectangle.

5. Construire le point D tel que MD = BM.

Que représente le point M pour le segment [BD] ?

En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD.

6. Calculer l’aire \(\mathcal{A}_{\text{ABM}}\) du triangle ABM, en déduire l’aire \(\mathcal{A}_{\text{ABCD}}\) du quadrilatère ABCD.

7. Placer le point F de coordonnées (7 ; 4). Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AC}}\) et \(\overrightarrow{\text{BE}}\).

En déduire la nature exacte du quadrilatère ABFC. Justifier.

8. Construire le point E tel que E soit l’image de B par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{MA}}\).

Démontrer que le quadrilatère AMBE est un rectangle.

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