Sujet du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. Calculer \(A\) et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

\[A = \dfrac{2}{3} – \dfrac{7}{3} \times \dfrac{8}{21}.\]

2. Écrire B sous la forme \(a\sqrt{2}\), où \(a\) est un nombre entier :

\[B = \sqrt{50} – 2\sqrt{18}.\]

Exercice 2

On donne l’expression \(A = (2x+3)^2 + (2x+3)(5x-7)\).

1. Développer et réduire l’expression \(A\).

2. Factoriser l’expression \(A\).

3. Résoudre l’équation \((2x+3)(7x-4) = 0\).

Exercice 3

1. Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 76 \\ 4x + y = 115 \end{array}\right.\]

2. Le responsable du CDI d’un collège voudrait renouveler le stock d’atlas et de dictionnaires.

Au 1^er trimestre, il commande 1 atlas et 2 dictionnaires. La facture est de 76 €.

Au 2^e trimestre, les prix n’ont pas changé, il commande 4 atlas et 1 dictionnaire. La facture est de 115 €.

Quel est le prix d’un atlas ? Quel est le prix d’un dictionnaire ?

Exercice 4

Après un contrôle, les notes de 25 élèves ont été regroupées dans le tableau ci-dessous :

1. Compléter le tableau en indiquant le nombre d’élèves ayant obtenu une note comprise entre 12 et 16 (16 exclu).

2. Combien d’élèves ont obtenu moins de 12 ?

3. Combien d’élèves ont obtenu au moins 8 ?

4. Quel est le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note comprise entre 8 et 12 (12 exclu) ?

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

1. Tracer sur la copie un segment [EF] de longueur 7 cm et de milieu O.

Tracer le cercle de diamètre [EF] puis placer un point G sur le cercle tel que \(\widehat{FEG} = 26^\circ\).

2. Démontrer que le triangle EFG est rectangle en G.

3. Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre.

4. Déterminer la mesure de l’angle \(\widehat{GOF}\) (justifier votre réponse).

Exercice 2

On considère un cône de révolution semblable à celui représenté ci-dessous avec AO = 2 cm et BO = 3 cm.

1. Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

2. Calculer le volume du cône : donner en cm³ la valeur exacte puis la valeur arrondie à l’unité.

Exercice 3

La figure ci-dessous donne le schéma d’une table à repasser.

Le segment [AD] représente la planche.

Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds.

Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.

On donne : AD = 125 cm ; AC = 100 cm ; OA = 60 cm ; OB = 72 cm ; OE = 60 cm ; OC = 50 cm.

1. Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB).

2. Calculer l’écartement EB en cm.

Problème 12 points

Dans un repère orthonormal (O ; I, J), on considère les points \(A(-4\ ;\ 3)\), \(B(3\ ;\ 2)\) et \(C(1\ ;\ -2)\). L’unité graphique est le centimètre.

Partie A

1. Placer les points A, B et C dans le repère (O ; I, J) joint.

2. a. Calculer la longueur AB.

b. On admet que le calcul donne \(AC = \sqrt{50}\) et \(BC = \sqrt{20}\). Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?

3. Soit H le milieu du segment [BC]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2 ; 0).

4. Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ?

5. a. Prouver que \(AH = 3\sqrt{5}\).

b. Calculer l’aire du triangle ABC.

Partie B

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AC}\).

2. Le point D est l’image du point B par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\).

a. Placer le point D.

b. Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8 ; −3).

3. Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier.

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