Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 2

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Sommaire

Voici le sujet de mathématiques du brevet de juin 2001, groupement 2 (Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes). La partie numérique mêle calculs de fractions, de puissances et de racines carrées, une expression à développer et factoriser, le PGCD de 108 et 135 appliqué à des paquets de billes, et la composition d’un bloc de granit à exprimer en volume puis en masse. En géométrie, tu construis un parallélogramme dans un repère, tu calcules un rayon dans une sphère coupée par un plan et tu exploites une médiatrice dans un triangle rectangle. Le problème étudie un triangle isocèle inscrit dans un cercle, puis compare le périmètre d’un triangle et celui d’un trapèze selon la position d’un point. Prends le temps de chercher avant d’ouvrir le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2001

Groupement 2 (Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes) · Juin 2001

Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures

Activités numériques

Exercice 1

1. Écrire sous la forme la plus simple possible :

\[A=\dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{3}\times\dfrac{2}{5}.\]

2. Donner l’écriture décimale de :

\[B=-4^2+10^3\times 10^{-1}+(-3)^2.\]

3. Écrire sous la forme \(a\sqrt{3}\) où \(a\) est un nombre entier :

\[C=2\sqrt{27}-4\sqrt{3}+\sqrt{12}.\]

Exercice 2

Soit \(A=(7x-3)^2-9\).

1. Développer et réduire \(A\).

2. Factoriser \(A\).

3. Résoudre l’équation \(7x(7x-6)=0\).

Exercice 3

1. Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.

2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.

Il veut faire des paquets de sorte que :

tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

b. Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

Exercice 4

Le granit est une roche cristalline formée d’un mélange hétérogène de quatre éléments : quartz, feldspath, biotite et minéraux secondaires.

1. Un bloc de granit est composé de :

28 % de quartz,
53 % de feldspath,
11 % de biotite,
19,2 dm³ de minéraux secondaires.

Calculer le volume de ce bloc.

2. Un mètre cube de ce granit a une masse de 2,6 tonnes.

Calculer la masse du bloc de granit considéré dans la question 1.

Activités géométriques

Exercice 1

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; I ; J). L’unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points \(A(2~;~1)\), \(B(5~;~5)\) et \(C(6~;~2)\).

2. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

3. Calculer la distance AB.

4. Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

5. Donner sans justifier les coordonnées du point D.

6. Calculer les coordonnées du centre de symétrie W du parallélogramme ABCD.

Exercice 2

Sur le dessin ci-dessous, la sphère a pour centre O.

Un plan coupe cette sphère selon un cercle \(\mathcal{C}\) de centre H et de rayon 4,5 cm (HA = 4,5 cm).

1. Sachant que HO = 2,2 cm, dessiner le triangle OHA en vraie grandeur.

2. Calculer la longueur OA à 1 mm près.

Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.

Exercice 3

On considère un triangle \(ABC\) tel que AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = \(\sqrt{117}\) cm.

Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Le point \(E\) est le point du segment [AC] tel que AE = 4 cm. La médiatrice du segment [EC] coupe le segment [EC] en H, le segment [BC] en J et la droite (BE) en M.

Prouver que :

Les droites (JH) et (AB) sont parallèles ;
le segment [HC] mesure 2,5 cm.

3. Calculer la valeur exacte de longueur JH.

4. Calculer la longueur HM.

Problème

Partie A

EFG est un triangle isocèle en E tel que FG = 5 cm et EG = 6 cm. Le cercle \(\mathcal{C}\) de centre O et de diamètre [EG] coupe le segment [FG] en K.

La figure ci-dessous n’est pas dessinée en vraie grandeur.

1. Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à part).

2. a. Démontrer que EKG est un triangle rectangle.

b. Démontrer que K est le milieu du segment [FG].

c. Calculer la valeur exacte de EK. Donner une valeur approchée à 1 mm près.

3. Soit S l’image du point E par la translation de vecteur \(\overrightarrow{KG}\).

a. Placer le point S sur la figure.

b. Démontrer que ESGK est un rectangle.

Partie B

Compléter la figure en plaçant un point P sur un segment [EG] (ne pas placer P en O).

Tracer la parallèle à la droite (FG) passant par P. Elle coupe la droite (EF) en R.

On nomme \(x\) la longueur du segment [EP] exprimée en cm.

1. Préciser sans justifier la nature du triangle EPR.

2. Démontrer que \(PR=\dfrac{5}{6}x\).

3. Exprimer en fonction de \(x\) le périmètre du triangle EPR.

4. Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à \(\dfrac{-7x}{6}+17\).

5. Peut-on trouver une position du point P sur le segment [EG] pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ? Justifier la réponse.

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