Corrigé du brevet de maths 2003 : France, groupement Nord, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Nord, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2003
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2003 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système d’équations » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Diagramme semi-circulaire » (exercice 3 de la partie numérique). Puis en outre, la correction reprend « QCM de géométrie » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Droites parallèles et trigonométrie » (activités géométriques). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Triangle et quadrilatères dans un repère » (exercice 1 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2003 te fait revoir les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Nord 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines
1. On calcule d’abord la parenthèse, avec le dénominateur commun 20 :
\[ \dfrac{1}{5} – \dfrac{5}{4} = \dfrac{4}{20} – \dfrac{25}{20} = -\dfrac{21}{20} \]
Diviser par \(\dfrac{7}{5}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{5}{7}\) :
\[ A = -\dfrac{21}{20} \times \dfrac{5}{7} = -\dfrac{3 \times 7 \times 5}{4 \times 5 \times 7} = -\dfrac{3}{4} \]
\(A = -\dfrac{3}{4}\) (fraction irréductible car 3 et 4 n’ont pas de diviseur commun autre que 1).
2. Ensuite, on sépare les nombres décimaux et les puissances de 10 :
\[ B = \dfrac{6 \times 1{,}6}{0{,}4} \times \dfrac{10^{8} \times 10^{13}}{10^{14}} = \dfrac{9{,}6}{0{,}4} \times \dfrac{10^{21}}{10^{14}} = 24 \times 10^{7} \]
Comme \(24 = 2{,}4 \times 10\), on obtient \(B = 2{,}4 \times 10^{8}\).
3. Puis on fait apparaître \(\sqrt{6}\) en cherchant des carrés parfaits : \(150 = 25 \times 6\) et \(600 = 100 \times 6\).
\[ \sqrt{150} = \sqrt{25} \times \sqrt{6} = 5\sqrt{6} \qquad \sqrt{600} = \sqrt{100} \times \sqrt{6} = 10\sqrt{6} \]
\[ C = 5\sqrt{6} – 2 \times 10\sqrt{6} = 5\sqrt{6} – 20\sqrt{6} = -15\sqrt{6} \]
\(C = -15\sqrt{6}\), donc \(a = -15\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe \((2x+3)^2\) avec l’identité \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\[ D = 4x^2 + 12x + 9 – 36 = 4x^2 + 12x – 27 \]
\(D = 4x^2 + 12x – 27\).
2. Comme \(36 = 6^2\), \(D\) est une différence de deux carrés : \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = 2x+3\) et \(b = 6\).
\[ D = (2x + 3 – 6)(2x + 3 + 6) = (2x-3)(2x+9) \]
\(D = (2x-3)(2x+9)\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[ 2x + 9 = 0 \quad \text{ou} \quad 2x – 3 = 0 \]
\[ x = -\dfrac{9}{2} \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{3}{2} \]
Les solutions sont \(-4{,}5\) et \(1{,}5\).
4. Alors on remplace \(x\) par \(-4\) dans la forme de départ, la plus simple ici :
\[ D = (2 \times (-4) + 3)^2 – 36 = (-5)^2 – 36 = 25 – 36 = -11 \]
Vérification avec la forme développée : \(4 \times 16 + 12 \times (-4) – 27 = 64 – 48 – 27 = -11\). De plus, pour \(x = -4\), \(D = -11\).
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2003) : système de deux équations
La seconde équation donne facilement \(x\) : \(x = -6 – 2y\). Ensuite, on remplace dans la première :
\[ 5(-6 – 2y) – 3y = 35 \quad \text{donc} \quad -30 – 10y – 3y = 35 \quad \text{donc} \quad -13y = 65 \quad \text{donc} \quad y = -5 \]
Puis \(x = -6 – 2 \times (-5) = -6 + 10 = 4\).
Vérification : \(5 \times 4 – 3 \times (-5) = 20 + 15 = 35\) et \(4 + 2 \times (-5) = -6\). Par ailleurs, la solution est le couple \(x = 4\) et \(y = -5\).
Corrigé de l’exercice 4 : diagramme semi-circulaire
1. Le total des pourcentages vaut 100, donc le logement représente \(100 – (20 + 10 + 5 + 15 + 25) = 100 – 75 = 25\) %.
Dans un diagramme semi-circulaire, 100 % correspondent à 180°. Puis les angles sont proportionnels aux pourcentages, avec le coefficient \(\dfrac{180}{100} = 1{,}8\). Par exemple, pour l’alimentation : \(20 \times 1{,}8 = 36^\circ\).
| Alimentation | Logement | Santé | Loisirs | Transport | Divers | Total | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Répartition en pourcentage | 20 | 25 | 10 | 5 | 15 | 25 | 100 |
| Angle en degré | 36 | 45 | 18 | 9 | 27 | 45 | 180 |
Contrôle : \(36 + 45 + 18 + 9 + 27 + 45 = 180\).
2. Avec le rapporteur, on part d’une extrémité du diamètre et on reporte les angles les uns à la suite des autres, en partant du centre du demi-disque.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2003) : tableau à choix multiples
| Questions | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| Numéro de la réponse choisie | 2 | 1 | 4 | 2 | 3 |
Aucune justification n’est demandée, mais voici pourquoi :
A. L’angle inscrit \(\widehat{BAC}\) et l’angle au centre \(\widehat{BOC}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{BC}\) : l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit. Réponse 2 : \(\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC}\).
B. Le triangle ASH est rectangle en H (la hauteur [SH] est perpendiculaire à la base). Ensuite, le côté [AH], rayon de 5 cm, est opposé à l’angle \(\widehat{ASH}\) et [AS] est l’hypoténuse : \(\sin 60^\circ = \dfrac{AH}{AS}\), donc \(AS = \dfrac{5}{\sin 60^\circ}\). Réponse 1.
C. Pour un parallélogramme ABCD, la règle du parallélogramme donne \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) (on peut aussi écrire \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) puis utiliser Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)). Réponse 4.
D. Dans une pyramide régulière, la hauteur [SO] tombe au centre O de la base, donc le triangle SOF est rectangle en O et son hypoténuse est [SF]. Pythagore donne \(SF^2 = SO^2 + OF^2\), soit \(SO^2 = SF^2 – OF^2\). Réponse 2.
E. La base est un carré de côté 6 cm, d’aire \(36\ \text{cm}^2\), et la hauteur vaut SO = 5 cm : \(V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60\ \text{cm}^3\). Réponse 3.
Corrigé de l’exercice 2 : droites parallèles et trigonométrie
1. Les points M, O, A sont alignés, ainsi que N, O, B, et les droites (MN) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :
\[ \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB} \quad \text{soit} \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{OB} = \dfrac{MN}{3} \]
\[ OB = \dfrac{5 \times 4{,}5}{3} = 7{,}5 \qquad MN = \dfrac{3 \times 3}{5} = 1{,}8 \]
OB = 7,5 cm et MN = 1,8 cm.
2. P est le pied de la hauteur issue de A : le triangle OAP est rectangle en P, d’hypoténuse [OA]. Puis l’angle \(\widehat{AOP}\) est l’angle \(\widehat{BOA}\), qui mesure 30°. De plus, le côté [AP] est opposé à cet angle :
\[ \sin \widehat{AOP} = \dfrac{AP}{OA} \quad \text{donc} \quad AP = OA \times \sin 30^\circ = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 \]
Ensuite, on a bien AP = 2,5 cm.
3. Le triangle APB est rectangle en P, d’hypoténuse [AB]. Ensuite, pour l’angle \(\widehat{PAB}\), [AP] est le côté adjacent :
\[ \cos \widehat{PAB} = \dfrac{AP}{AB} = \dfrac{2{,}5}{3} \approx 0{,}833 \]
La calculatrice donne \(\widehat{PAB} \approx 33{,}6^\circ\), soit \(\widehat{PAB} \approx 34^\circ\) au degré près.
4. Le point E n’est pas nommé sur la figure ; d’après les données, E est sur la droite (OM), du même côté de O que M (c’est le point marqué L sur le dessin, où la droite passant par F coupe (OM)), et F est sur la droite (ON), du même côté que N. Puis on compare :
\[ \dfrac{OE}{OM} = \dfrac{4{,}8}{3} = 1{,}6 \qquad \dfrac{OF}{ON} = \dfrac{7{,}2}{4{,}5} = 1{,}6 \]
Les rapports sont égaux et les points O, M, E d’une part, O, N, F d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (MN) sont parallèles.
Corrigé du problème : triangle, cercle et quadrilatères dans un repère
1. Dans un repère orthonormé :
\[ AC = \sqrt{(x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2} = \sqrt{(2-4)^2 + (8-(-3))^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} \]
Ensuite, on a bien \(AC = \sqrt{125}\) (environ 11,2 cm).
2. Puis on place B(−2 ; 5) : 2 unités à gauche de l’axe des ordonnées et 5 unités vers le haut.
3. a. Le plus long côté est [AC]. Alors on compare :
\[ AC^2 = 125 \qquad AB^2 + BC^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 \]
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
3. b. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse. Par ailleurs, le centre K du cercle \((\mathcal{C})\) est donc le milieu de [AC], et son rayon vaut \(\dfrac{\sqrt{125}}{2} \approx 5{,}6\) cm. Ensuite, on le trace au compas, centré en K, en passant par A, B et C.
3. c. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[ x_K = \dfrac{4 + 2}{2} = 3 \qquad y_K = \dfrac{-3 + 8}{2} = 2{,}5 \]
K(3 ; 2,5), ce qui correspond bien au milieu de [AC] sur la figure.
4. \(\overrightarrow{CB}\) a pour coordonnées \((x_B – x_C\,;\,y_B – y_C) = (-2 – 2\,;\,5 – 8)\), soit \(\overrightarrow{CB}(-4\,;\,-3)\).
5. a. D est l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}\) : \(x_D = 4 + (-4) = 0\) et \(y_D = -3 + (-3) = -6\). Puis on place D(0 ; −6).
5. b. Comme \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}\), les segments [AD] et [CB] sont parallèles et de même longueur, orientés dans le même sens : le quadrilatère ACBD est un parallélogramme. Ensuite, ce n’est pas un rectangle : son angle en C, \(\widehat{ACB}\), n’est pas droit (l’angle droit du triangle ABC est en B, et [AB] est ici une diagonale).
Corrigé du problème : triangle, cercle et quadrilatères dans un repère (suite)
6. a. B’ est le symétrique de B par rapport à K : K est le milieu de [BB’]. Puis on le place en prolongeant [BK] d’une longueur égale à BK.
6. b. Sur la figure, on lit B'(8 ; 0). Par le calcul : \(x_{B^{\prime}} = 2 \times 3 – (-2) = 8\) et \(y_{B^{\prime}} = 2 \times 2{,}5 – 5 = 0\).
7. Les diagonales [AC] et [BB’] du quadrilatère ABCB’ ont le même milieu K : c’est un parallélogramme. De plus, B est sur le cercle de diamètre [AC], donc \(KB = KA\) et \(BB^{\prime} = 2KB = AC\) : les diagonales ont la même longueur. Puis un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. ABCB’ est un rectangle (on retrouve aussi l’angle droit en B).
8. a. Aire du rectangle ABCB’, de côtés AB = 10 et BC = 5 :
\[ \mathcal{A} = AB \times BC = 10 \times 5 = 50\ \text{cm}^2 \]
Aire du parallélogramme ACBD : sa diagonale [AB] le partage en deux triangles superposables, ABC et BAD. De plus, le triangle ABC est rectangle en B, d’aire \(\dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{10 \times 5}{2} = 25\ \text{cm}^2\). Donc :
\[ \mathcal{A}^{\prime} = 2 \times 25 = 50\ \text{cm}^2 \]
Ensuite, on a bien \(\mathcal{A} = \mathcal{A}^{\prime} = 50\ \text{cm}^2\). (Autre façon : base CB = 5 et hauteur AB = 10, puisque (AB) est perpendiculaire à (CB) et à (AD).)
8. b. Périmètre du rectangle ABCB’ : \(\mathcal{P} = 2 \times (10 + 5) = 30\ \text{cm}\).
Périmètre du parallélogramme ACBD, de côtés AC et CB : \(\mathcal{P}^{\prime} = 2 \times (\sqrt{125} + 5) = 2\sqrt{125} + 10\).
Or \(125 \gt 100\), donc \(\sqrt{125} \gt 10\), puis \(2\sqrt{125} + 10 \gt 2 \times 10 + 10 = 30\). Ainsi \(\mathcal{P} \lt \mathcal{P}^{\prime}\) (30 cm contre environ 32,4 cm).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2003
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2003, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2003 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2003. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2003
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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