Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Paris, septembre

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Voici le sujet du brevet de maths de septembre 2001 de l’académie de Paris, organisé en activités numériques, activités géométriques et problème. La partie calcul enchaîne fractions, puissances de 10 avec un exposant 2000, racines carrées, une expression à développer et factoriser, puis l’énigme d’un capitaine dont l’âge est la moyenne et la pointure la médiane de celles de ses 11 matelots. En géométrie, Michel observe un monument à 88 m sous un angle de 37° et doit retrouver lequel, puis on vérifie un angle droit et un parallélisme, et on trace l’image d’un drapeau par quatre transformations. Le problème construit un losange dans un triangle grâce à Thalès et à une bissectrice. Prends le temps de tout chercher avant d’ouvrir le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2001

France · Académie de Paris · septembre 2001

Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Soit \(A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{3}\times\dfrac{5}{14}\) ; \(B=\dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}}\) ; \(C=\dfrac{5{,}1\times 10^{2}-270\times 10^{-1}}{4{,}83\times 10^{2}}\).

1. Calculer A et mettre le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

2. Calculer B et donner l’écriture scientifique du résultat.

3. Démontrer que C est un nombre entier.

Exercice 2

Soit \(D=\sqrt{20}+3\sqrt{5}-4\sqrt{45}\) ; \(E=\sqrt{15}\times\sqrt{48}\).

1. Mettre D sous la forme \(a\sqrt{5}\) où \(a\) est un entier relatif.

2. Mettre E sous la forme \(b\sqrt{5}\) où \(b\) est un entier relatif.

Exercice 3

Soit \(F=(3x+1)^2+(3x+1)(5x-4)\).

1. Développer et réduire \(F\).

2. Factoriser \(F\).

3. Résoudre l’équation \((3x+1)(8x-3)=0\).

Exercice 4

Je suis capitaine d’un navire et j’ai 11 matelots à mon bord.
Mon âge est la moyenne des âges des matelots.
Ma pointure est la médiane des pointures des matelots.
Voici la liste des 11 matelots

Prénoms Âges Pointures
Ali 20 44
Billy 25 43
Carlos 18 41
Djamel 26 39
Emile 49 45
Franck 41 43
Gustave 57 41
Henri 34 44
Igor 19 39
Jules 52 43
Kévin 22 42

Trouver mon âge et ma pointure. Justifier les réponses.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Michel s’est reculé pour mieux admirer un monument en entier.
Il se trouve maintenant à 88 m de celui-ci et l’angle entre l’horizontale de ses yeux et le haut du monument est de 37° (schéma ci-contre).
Sachant que les yeux de Michel sont à 1,69 m du sol, calculer la longueur AC (arrondir à 0,01 m près).

Schéma : l'œil de Michel en O, à 1,69 m au-dessus du sol ; B est au pied de la verticale du monument à hauteur des yeux, C au sol et A au sommet ; OB = 88 m, angle AOB = 37°, angles droits en B et en C

Voici une liste de monuments connus et leurs hauteurs respectives :

Acropole d’Athènes 50 m Panthéon 80 m
Arc de triomphe de l’étoile 49,55 m Pyramide de Kheops 138 m
Notre Dame de Paris 68 m Basilique St Pierre de Rome 45 m

De quel monument peut-il s’agir ?

Exercice 2

Sur la figure ci-contre :
A est le point d’intersection de [BF] et de [CE].
On a AB = 4,2 cm ; AC = 5,6cm ; BC 7 cm ; AE = 9,2 cm et AF = 6,9 cm.

Deux triangles ABC et AEF opposés par le sommet A, point d'intersection des segments [BF] et [CE], avec [BC] en haut et [EF] en bas

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Exercice 3

Sur la feuille annexe :

1. Tracer le symétrique D\(_2\) du drapeau D\(_1\) par rapport au point O.

2. Tracer le symétrique D\(_3\) du drapeau D\(_1\) par rapport à la droite (HE).

3. Tracer l’image D\(_4\) du drapeau D\(_1\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{FG}\).

4. Tracer l’image D\(_5\) du drapeau D\(_1\) par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens de la flèche.

Feuille annexe (annexe à rendre avec la copie)

Quadrillage de 15 carreaux sur 15 : le drapeau D1 a sa hampe verticale de 3 carreaux partant de O et un fanion triangulaire de 2 carreaux de large sur 1 de haut ; les points F, G, E et H sont marqués par des croix

Problème 12 points

Un losange dans le triangle ABC

La figure est commencée au verso de la feuille annexe. La compléter au fur et à mesure des questions.
ABC est un triangle tel que AB = 5 cm et BC = 7,5 cm.
D est le point du segment [AB] tel que AD = 2 cm.
La parallèle à la droite (BC) passant par D coupe le segment [AC] en E.

Triangle ABC avec BC = 7,5 cm à la base et le point D placé sur le côté [AB], à 2 cm de A (annexe à rendre avec la copie)

1. a. Démontrer que DE = 3 cm.

b. En déduire que le triangle BDE est isocèle.

2. a. Justifier que les angles \(\widehat{DEB}\) et \(\widehat{EBC}\) sont égaux.

b. En déduire que la demi-droite [BE) est la bissectrice de l’angle \(\widehat{ABC}\).

3. a. Construire le point F tel que \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DE}\).

b. Démontrer que le quadrilatère BDEF est un losange.

c. On note I le centre du losange BDEF.
Démontrer que le triangle BDI est rectangle.

4. Dans le triangle ABC, on a \(\widehat{ABC}=60^\circ\).

a. Quelle est la longueur de [DF] ? Justifier.

b. Calculer la valeur exacte de BI, et en déduire celle de BE.

c. Calculer l’aire du losange BDEF.

Voir le corrigé détaillé du sujet du brevet de maths 2001, Académie de Paris, septembre

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