Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Reims, septembre

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de ca/ads, soit d’explications. Le barème en tiendra compte.
Les quatre exercices sont indépendants.

Exercice 1

On considère les expressions numériques :

\[ A = \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6} \quad \text{et} \quad B = \dfrac{\left(10^{5}\right) \times 30 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{2}}. \]

Calculer A, et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Calculer B, et exprimer le résultat sous la forme d’un nombre entier.

Exercice 2

Soient les nombres \(D = \left(2\sqrt{5} + 2\right)\left(\sqrt{5} – 2\right)\) et \(E = \left(\sqrt{5} – 1\right)^2\).
Montrer, en développant, qu’ils sont égaux.

Exercice 3

On considère l’expression suivante : \(F = (2x-3)^2 – (2x-3)(2-x)\).

1. Développer et réduire l’expression \(E\)

2. Factoriser \(E\).

3. Résoudre l’équation \((2x-3)(3x-5) = 0\).

Exercice 4

1. Calculer le PGCD de 280 et de 315.

2. Le sol d’une pièce rectangulaire a pour dimensions 280 cm et 315 cm.
On veut le recouvrir entièrement de dalles carrées identiques dont le côté est un nombre entier de centimètres, sans faire de découpe.

a. Déterminer la longueur du côté de la plus grande dalle possible.

b. Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir ainsi toute la pièce.

Le schéma ci-dessus n’est pas à l’échelle

Activités géométriques 12 points

Les deux exercices sont indépendants.

Exercice 1

La figure représente une pyramide SABCD, de base le rectangle ABCD, dont l’arête [SD] est perpendiculaire à la face ABCD.
On donne :
AB = 72 mm, BC = 30 mm et SD = 75 mm.
Cette figure n’est pas en vraie grandeur et elle n’est pas à refaire sur la copie.

1. Calculer l’aire du rectangle ABCD, en mm². Calculer le volume de la pyramide SABCD, en mm³.

2. Calculer SA. Arrondir cette longueur au mm.
Donner la mesure de l’angle \(\widehat{QSD}\) arrondie au degré.

3. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face ABCD, passant par le point H du segment [SD] situé à 50 mm de S.
Soit EFGH la section obtenue.
La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD.

a. Calculer le coefficient de réduction sous la forme d’une fraction irréductible.

b. En déduire l’aire du rectangle EFGH en mm² et le volume de la pyramide SEFGH en mm³.

Exercice 2

ABCD un parallélogramme donné.

1. Construire le point E tel que \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DE}\), puis le point F, image de E par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

2. Quelle est la nature du quadrilatère DCFE ? Justifier la réponse.

3. Construire 1e point H tel que \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CH}\).

4. Montrer que 1e point C est le milieu commun des trois segments [AH], [BE] et [DH].

Problème 12 points

Les deux parties sont indépendantes, sauf pour la dernière question du problème.
L’unité choisie, pour tout le problème est le centimètre.

Première partie

1. Résoudre algébriquement (c’est-à-dire par le calcul) le système :

\[ \left\{\begin{array}{l} y = 2{,}4x \\ y = -0{,}8x + 24 \end{array}\right. \]

2. On pose : \(f(x) = 2{,}4x\) et \(g(x) = -0{,}8x + 24\).

a. Recopier et compléter le tableau :

b. Représenter les deux fonctions \(f\) et \(g\), pour \(x\) compris entre 0 et 10, sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormal (unité 1 cm).

3. Retrouver graphiquement le résultat de la question 1.
Pour cela, on fera apparaître de façon bien visible sur le graphique les tracés nécessaires ainsi que les coordonnées.

Deuxième partie

ABC est un triangle tel que (en centimètres)
AB = 10, BC = 8 et AC = 6

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. M est un point quelconque do segment [AB].
La droite parallèle à la droite (BC) passant par M coupe le segment [AC] en D.
Trouver deux quotients égaux à \(\dfrac{AM}{AB}\) (on justifiera la réponse).

3. On pose \(AM = x\) (on a donc \(0 \leqslant x \leqslant 10\)).

a. Montrer que \(AD = 0{,}6x\) et \(MD = 0{,}8x\).

b. Exprimer MB et DC en fonction de \(x\).

4. On veut chercher le point M du segment [AB] tel que les périmètres du triangle ADM et du trapèze BCDM soient égaux ; calculer alors la valeur commune des deux périmètres.
Répondre à cette question en écrivant un système linéaire de deux équations à deux inconnues et en résolvant celui-ci à l’aide de la première partie du problème.

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