Division euclidienne
En bref : La division euclidienne de deux entiers donne un quotient entier et un reste strictement plus petit que le diviseur, reliés par l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste.
6èmeNombres et calculs
Définition : Division euclidienne
Dans une division euclidienne, on répartit un nombre entier, le dividende, en parts égales de taille donnée, le diviseur, et l’on garde ce qui n’a pas pu être distribué.
Le nombre de parts complètes est le quotient, le morceau restant est le reste. Ce reste est toujours plus petit que le diviseur, sinon on pourrait encore former une part. Les quatre nombres sont liés par la relation \(a = b \times q + r\) avec \(0 \le r < b\). Elle sert à vérifier un résultat et à répondre à des problèmes de partage, de rangement ou de calendrier.
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut savoir combien de paquets complets on peut remplir, et ce qu’il reste après.
- On répartit des élèves, des billes ou des chaises en groupes de même taille, sans fraction ni virgule.
- Un problème de dates demande le jour de la semaine, quelques semaines plus tard.
- Le résultat attendu s’exprime avec les mots « quotient » et « reste ».
La méthode
- Poser la division : dividende à gauche, diviseur à droite, et chercher combien de fois le diviseur entre dans les premiers chiffres.
- Écrire le chiffre du quotient, multiplier par le diviseur, soustraire, puis abaisser le chiffre suivant.
- Recommencer jusqu’au dernier chiffre : ce qui reste est le reste, qui doit être inférieur au diviseur.
- Contrôler avec l’égalité \(b \times q + r\), qui doit redonner le dividende.
Division euclidienne : exemple corrigé
Énoncé
Une association organise un tournoi avec \(245\) joueurs. Chaque minibus de la navette emmène \(18\) personnes. Combien de minibus sont remplis, et combien de joueurs restent pour un dernier voyage ?
Corrigé
On effectue la division euclidienne de \(245\) par \(18\) : \(18 \times 13 = 234\), et \(18 \times 14 = 252\) dépasse \(245\). Le quotient est donc \(13\).
Le reste vaut \(245 – 234 = 11\). Treize minibus sont pleins et 11 joueurs attendent le suivant. Contrôle : \(18 \times 13 + 11 = 245\), et \(11 < 18\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est le quotient et le reste de la division euclidienne de \(100\) par \(7\) ?
Voir la réponse
\(7 \times 14 = 98\), donc quotient \(14\) et reste \(2\).
Question 2
Peut-on avoir \(37 = 8 \times 3 + 13\) comme résultat d’une telle division ?
Voir la réponse
Non : le reste \(13\) dépasse le diviseur \(8\). Il faut \(37 = 8 \times 4 + 5\).
Ne pas confondre Division euclidienne et Quotient
Le quotient est un seul des résultats : le nombre de parts entières. L’opération complète fournit aussi un reste. À ne pas confondre non plus avec la division décimale, où l’on poursuit après la virgule jusqu’à épuiser le reste, ce qui donne un quotient décimal sans reste.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 6ème · Nombres et calculs
