Réciproque
En bref : La réciproque d’une propriété « si A alors B » est la propriété « si B alors A » : on échange la donnée et le résultat, et il faut ensuite vérifier séparément si ce nouvel énoncé est vrai.
4èmeLogique et raisonnement
Définition : Réciproque
La réciproque d’une propriété de la forme « si A, alors B » s’obtient en échangeant les deux parties : « si B, alors A ». Ce qui était la donnée devient le résultat, et inversement.
Une propriété vraie n’a pas toujours un énoncé retourné vrai. Il faut donc le tester. Si l’on trouve un exemple qui respecte B mais pas A, on dispose d’un contre-exemple qui prouve que la réciproque est fausse. Dans certains cas, comme pour le théorème de Pythagore, elle est vraie et constitue un outil à part entière.
Comment le reconnaître
- On lit « énoncer la réciproque » ou « la réciproque est-elle vraie ? » dans l’exercice.
- Une phrase de type « si … alors … » doit être retournée.
- On voudrait utiliser une propriété à l’envers, du résultat vers la donnée.
- Un élève affirme une règle qui lui semble évidente alors qu’elle n’est valable que dans un sens.
La méthode
- Écrire la propriété sous la forme « si A, alors B ».
- Échanger A et B pour obtenir la réciproque « si B, alors A ».
- Chercher un contre-exemple : une situation où B est vrai mais pas A.
- Si l’on n’en trouve aucun et qu’une preuve existe, la réciproque est vraie ; sinon, la déclarer fausse avec son contre-exemple.
Réciproque : exemple corrigé
Énoncé
Retourner l’énoncé « si un nombre se termine par 0, alors il est divisible par 10 », puis « si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur ». Dire si chaque version retournée est vraie.
Corrigé
La première devient « si un nombre est divisible par 10, alors il se termine par 0 ». C’est vrai : un multiple de 10 a pour dernier chiffre 0.
La seconde devient « si un quadrilatère a des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle ». C’est faux : un trapèze isocèle dont les diagonales sont égales n’est pas un rectangle. La première version est vraie, la seconde fausse.
À toi de jouer
Question 1
Écrire la réciproque de « si un nombre est multiple de 9, alors la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ».
Voir la réponse
« Si la somme des chiffres d’un nombre est un multiple de 9, alors ce nombre est un multiple de 9 ». Elle est vraie.
Question 2
« Si un animal est un chat, alors c’est un mammifère » : l’énoncé retourné est-il vrai ?
Voir la réponse
Non : un chien est un mammifère sans être un chat. C’est un contre-exemple.
Ne pas confondre Réciproque et Contraposée
La réciproque de « si A alors B » est « si B alors A », dont la vérité est incertaine. La contraposée est « si non B alors non A » : elle est toujours vraie quand la propriété l’est. Pour « si c’est un chat, alors c’est un mammifère », la contraposée dit « si ce n’est pas un mammifère, ce n’est pas un chat ».
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Hypothèse et conclusion
- Théorème
- Contraposée
- Contre-exemple
- Réciproque du théorème de Pythagore
- Implication
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