Trigonométrie
En bref : La trigonométrie relie les angles aigus d’un triangle rectangle aux rapports de ses côtés grâce au sinus, au cosinus et à la tangente, ce qui permet de calculer longueurs et angles.
3èmeGéométrie plane
Définition : Trigonométrie
La trigonométrie étudie le lien entre les angles et les longueurs d’un triangle. Au collège, on se limite au triangle rectangle et à trois rapports définis pour un angle aigu \(\alpha\) :
\[\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\]
Pour un angle donné, ces rapports ne dépendent pas de la taille du triangle. Connaissant un angle et un côté, on peut donc trouver un autre côté ; connaissant deux côtés, on peut retrouver l’angle avec les touches inverses de la calculatrice. Pour mémoriser les formules : SOH-CAH-TOA.
Comment le reconnaître
- Un triangle rectangle est donné avec un angle aigu et une seule longueur, et l’on doit calculer une autre longueur.
- Deux côtés d’un triangle rectangle sont connus et l’on demande la mesure d’un angle.
- Le contexte parle de pente, de hauteur d’un arbre, de longueur d’un câble ou d’angle d’un toit.
- Le théorème de Pythagore ne suffit pas, car l’énoncé mentionne un angle autre que l’angle droit.
La méthode
- Repérer l’angle utile, puis nommer pour lui l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent.
- Choisir le rapport qui contient la donnée et l’inconnue, sans utiliser le troisième côté.
- Écrire l’égalité avec les valeurs, puis résoudre : produit en croix pour une longueur, touche inverse (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) pour un angle.
- Contrôler avec le bon ordre de grandeur : un côté de l’angle droit est plus petit que l’hypoténuse.
Trigonométrie : exemple corrigé
Énoncé
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(AB = 12\) cm et \(\widehat{ABC} = 40^{\circ}\). Calculer \(AC\) et \(BC\) au dixième près.
Corrigé
L’hypoténuse est \([AB]\). Par rapport à l’angle en \(B\), le côté \([AC]\) est opposé et \([BC]\) est adjacent.
\(\sin 40^{\circ} = \frac{AC}{12}\), donc \(AC = 12 \times \sin 40^{\circ} \approx 12 \times 0{,}6428 \approx 7{,}7\) cm.
\(\cos 40^{\circ} = \frac{BC}{12}\), donc \(BC = 12 \times \cos 40^{\circ} \approx 12 \times 0{,}7660 \approx 9{,}2\) cm. Résultats : \(AC \approx 7{,}7\) cm et \(BC \approx 9{,}2\) cm.
À toi de jouer
Question 1
Un triangle rectangle a un côté opposé de 3 et un côté adjacent de 4. Quelle est la mesure de l’angle, au degré près ?
Voir la réponse
\(\tan \alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75\), donc \(\alpha = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 37^{\circ}\).
Question 2
Quel angle aigu a pour cosinus \(0{,}5\) ?
Voir la réponse
\(\cos^{-1}(0{,}5) = 60^{\circ}\).
Ne pas confondre Trigonométrie et Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore relie les trois longueurs d’un triangle rectangle : il ne mentionne aucun angle aigu. La trigonométrie relie un angle aigu et deux longueurs. Si l’énoncé donne un angle de 40°, c’est vers elle qu’il faut aller ; s’il donne deux côtés et demande le troisième, c’est Pythagore.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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