Fonction croissante
En bref : Une fonction croissante sur un intervalle garde l’ordre des nombres : plus le nombre de départ augmente, plus son image augmente (ou reste égale), sans jamais diminuer.
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Définition : Fonction croissante
Une fonction croissante sur un intervalle \(I\) est une fonction qui respecte l’ordre : si \(a\) et \(b\) sont dans \(I\) avec \(a < b\), alors \(f(a) \le f(b)\). Avec une inégalité stricte, \(f(a) < f(b)\), on dit qu'elle est strictement croissante.
Sur la courbe, la lecture se fait de la gauche vers la droite : la courbe monte, ou reste à plat, mais ne redescend jamais. Dans un tableau de variations, la flèche pointe vers le haut. Il faut toujours préciser l’intervalle : la fonction carré, par exemple, est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) mais pas sur \(\mathbb{R}\).
Comment le reconnaître
- La courbe monte quand on la parcourt de gauche à droite, sans jamais redescendre, comme le fait la température d’un four qui chauffe.
- Le tableau de variations contient une flèche orientée vers le haut sur l’intervalle étudié, entre deux valeurs de \(x\).
- L’énoncé demande de comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calculer, connaissant l’ordre de \(a\) et \(b\).
- Une consigne demande de « justifier que la fonction conserve l’ordre » sur un intervalle donné.
La méthode
- Prendre deux nombres \(a\) et \(b\) quelconques de l’intervalle, avec \(a < b\).
- Calculer la différence \(f(b) – f(a)\) et la factoriser pour étudier son signe.
- Si cette différence est positive pour tous les couples \(a < b\), la fonction est croissante sur l'intervalle.
- Conclure en précisant l’intervalle, et ajouter « strictement » si la différence est toujours strictement positive ; un seul contre-exemple suffit pour affirmer que la fonction n’est pas croissante.
Fonction croissante : exemple corrigé
Énoncé
Démontrer que la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
Corrigé
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 \le a < b\). On étudie \(f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\).
Le facteur \(b – a\) est strictement positif, car \(a < b\). Le facteur \(b + a\) est strictement positif, car \(b > 0\) et \(a \ge 0\).
Le produit est donc positif : \(f(a) < f(b)\). Ainsi la fonction carré est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(h(x) = 5x – 1\) est-elle croissante sur \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
Oui : \(h(b) – h(a) = 5(b – a)\), qui est positif quand \(a < b\). Le coefficient 5 est positif.
Question 2
Un tableau donne \(f(-2) = 4\), \(f(0) = 1\) et \(f(3) = 7\). Peut-on dire que \(f\) est croissante sur \([-2\,;\,3]\) ?
Voir la réponse
Non : entre \(-2\) et \(0\), l’image passe de 4 à 1, elle diminue. La fonction n’est pas croissante sur tout l’intervalle.
Ne pas confondre Fonction croissante et Fonction décroissante
Une fonction croissante conserve l’ordre : si \(a \lt b\), alors \(f(a) \le f(b)\). Une fonction décroissante le renverse : si \(a \lt b\), alors \(f(a) \ge f(b)\). Un même carré, tracé sur toute la droite réelle, illustre les deux comportements : sa courbe descend jusqu’à 0, puis remonte.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction décroissante
- Fonction monotone
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Extremum
- Fonction carré
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