Échantillon
En bref : Un échantillon est un groupe d’individus prélevés au hasard dans une population plus grande ; la fréquence qu’on y observe fluctue d’un échantillon à l’autre autour de la proportion réelle.
SecondeStatistiques
Définition : Échantillon
Un échantillon de taille \(n\) est formé de \(n\) individus choisis au hasard parmi tous ceux d’une population, par exemple 100 jetons tirés dans un grand sac. On observe ce qui se passe dans ce petit groupe pour en savoir plus sur l’ensemble.
Si l’on recommençait avec un autre échantillon, la fréquence observée serait un peu différente : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Quand la proportion réelle \(p\) est comprise entre 0,2 et 0,8 et que \(n \ge 25\), la fréquence se trouve dans près de 95 % des cas dans l’intervalle \(\left[p – \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\). Plus la taille augmente, plus cet intervalle se resserre.
Comment le reconnaître
- Un sondage interroge quelques centaines de personnes pour estimer l’opinion de milliers d’autres.
- Une simulation tire plusieurs fois \(n\) résultats au hasard et compare les fréquences obtenues.
- L’énoncé demande si une fréquence observée est compatible avec une proportion annoncée.
- On cherche l’amplitude de l’intervalle dans lequel doit tomber la fréquence d’un tirage de taille \(n\).
La méthode
- Identifier la proportion annoncée \(p\), la taille \(n\) du tirage et la fréquence observée \(f\).
- Calculer le demi-rayon \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), puis les bornes \(p – \frac{1}{\sqrt{n}}\) et \(p + \frac{1}{\sqrt{n}}\).
- Regarder si \(f\) appartient à cet intervalle de fluctuation.
- Conclure : dans l’intervalle, aucune raison de douter de \(p\) ; en dehors, la proportion annoncée est remise en cause.
Échantillon : exemple corrigé
Énoncé
Une urne contient 40 % de boules rouges. On tire un échantillon de 100 boules avec remise. Quel est l’intervalle de fluctuation de la fréquence de boules rouges ? Les fréquences 0,47 et 0,56 observées lors de deux tirages sont-elles compatibles avec 40 % ?
Corrigé
Ici \(\frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1\), donc l’intervalle est \([0{,}4 – 0{,}1\,;\,0{,}4 + 0{,}1] = [0{,}3\,;\,0{,}5]\).
La fréquence \(0{,}47\) appartient à cet intervalle : compatible avec \(p = 0{,}4\).
La fréquence \(0{,}56\) en sort : on peut remettre en cause l’hypothèse de 40 % de boules rouges.
À toi de jouer
Question 1
Pour \(p = 0{,}5\) et \(n = 400\), quel est l’intervalle de fluctuation ?
Voir la réponse
\(\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05\), donc l’intervalle est \([0{,}45\,;\,0{,}55]\).
Question 2
Avec \(p = 0{,}5\) et \(n = 100\), une fréquence observée de \(0{,}61\) est-elle plausible ?
Voir la réponse
L’intervalle est \([0{,}4\,;\,0{,}6]\) : \(0{,}61\) en sort, donc il y a un doute sur la valeur de \(p\).
Ne pas confondre Échantillon et Population et individu
La population est l’ensemble complet de ce que l’on étudie : tous les électeurs d’une ville, par exemple. L’échantillon n’en est qu’une partie prélevée au hasard, dont on se sert pour estimer quelque chose sur la population entière. Deux échantillons du même ensemble donnent en général des résultats un peu différents.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Seconde · Statistiques
