Maximum d’une fonction
En bref : Le maximum d’une fonction est la plus haute ordonnée atteinte par sa courbe : un nombre M tel que f(x) ≤ M partout, avec au moins une valeur de x qui donne exactement M.
SecondeFonctions
Définition : Maximum d'une fonction
Dire que \(M\) est le maximum d’une fonction \(f\) sur un intervalle, c’est affirmer deux choses : \(f(x)\le M\) pour chaque \(x\) de l’intervalle, et \(f(x_0)=M\) pour au moins un réel \(x_0\). La courbe n’a alors aucun point au-dessus de son sommet.
Deux idées sont à ne pas séparer : la valeur \(M\), qui est une ordonnée, et l’endroit \(x_0\) où elle est atteinte, qui est une abscisse. Pour prouver qu’un nombre est un maximum, la lecture du graphique ne suffit pas : on établit l’inégalité \(f(x)\le M\) par le calcul, puis on exhibe la valeur de \(x\) qui donne l’égalité.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande la hauteur maximale d’un objet lancé, un bénéfice le plus grand ou une aire maximale.
- La courbe forme un sommet : elle monte puis redescend.
- Le tableau de variations contient une flèche montante suivie d’une flèche descendante.
- L’expression contient un carré précédé d’un signe moins, comme \(21-5(t-2)^2\).
La méthode
- Pour trouver le maximum d’une fonction, chercher dans le tableau de variations où elle cesse de croître pour décroître.
- Repérer la valeur la plus haute parmi ce sommet et les extrémités de l’intervalle.
- Prouver l’inégalité \(f(x)\le M\) : avec un carré, utiliser le fait qu’un carré n’est jamais négatif.
- Indiquer l’abscisse \(x_0\) où l’égalité est vraie, puis conclure en une phrase.
Maximum d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Un ballon est lancé depuis un balcon. Sa hauteur, en mètres, à l’instant \(t\) secondes est \(h(t)=-5(t-2)^2+21\), pour \(t\) entre \(0\) et \(4\). Montrer que \(21\) est le maximum de \(h\) et dire quand il est atteint.
Corrigé
Un carré est positif ou nul, donc \((t-2)^2\ge 0\) et \(-5(t-2)^2\le 0\). En ajoutant \(21\), on obtient \(h(t)\le 21\) pour tout \(t\).
L’égalité \(h(t)=21\) demande \((t-2)^2=0\), donc \(t=2\). Ainsi le maximum de \(h\) vaut \(21\) m, atteint à \(t=2\) s. Au départ, \(h(0)=-20+21=1\) m : le ballon part bien du balcon.
À toi de jouer
Question 1
Une fonction \(f\) est croissante sur \([-1\,;\,3]\) avec \(f(-1)=0\) et \(f(3)=8\), puis décroissante sur \([3\,;\,6]\) avec \(f(6)=-5\). Quel est son maximum ?
Voir la réponse
Le maximum est \(8\), atteint en \(x=3\), car les autres valeurs, \(0\) et \(-5\), sont plus petites.
Question 2
Quel est le maximum de \(g(x)=7-(x+4)^2\) et où est-il atteint ?
Voir la réponse
Comme \((x+4)^2\ge 0\), on a \(g(x)\le 7\), avec égalité pour \(x=-4\). Le maximum est \(7\), atteint en \(-4\).
Ne pas confondre Maximum d'une fonction et Minimum d'une fonction
Le maximum est la plus grande valeur et correspond à un sommet ; le minimum est la plus petite et correspond à un creux. Sur une parabole ouverte vers le haut, comme celle de \(x^2\), il y a un minimum mais aucun maximum. Ouverte vers le bas, c’est l’inverse.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Minimum d'une fonction
- Extremum
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Fonction carré
- Parabole
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