Minimum d’une fonction
En bref : Le minimum d’une fonction est la plus basse ordonnée atteinte par sa courbe : un nombre m tel que f(x) ≥ m partout, que la fonction touche vraiment pour au moins une valeur de x.
SecondeFonctions
Définition : Minimum d'une fonction
Dire que \(m\) est le minimum d’une fonction \(f\) sur un intervalle, c’est affirmer que \(f(x)\ge m\) pour chaque \(x\) de cet intervalle et qu’il existe un \(x_0\) tel que \(f(x_0)=m\). Aucun point de la courbe ne passe sous le fond de la cuvette.
Ne pas confondre la valeur \(m\), lue sur l’axe vertical, avec l’abscisse \(x_0\) qui la fournit. Un minimum se justifie par une inégalité valable partout, pas seulement par un tracé. Les coûts, les distances et les durées que l’on cherche à rendre aussi petits que possible sont des problèmes de minimum.
Comment le reconnaître
- L’énoncé cherche un coût le plus faible, une distance la plus courte ou une consommation minimale.
- La courbe a la forme d’une cuvette : elle descend puis remonte.
- Dans le tableau de variations, une flèche descendante est suivie d’une flèche montante.
- L’expression contient un carré additionné à un nombre, comme \((x-12)^2+300\).
La méthode
- Pour trouver le minimum d’une fonction, repérer dans le tableau de variations le passage de décroissante à croissante.
- Comparer cette valeur à celles des bornes de l’intervalle pour garder la plus basse.
- Établir \(f(x)\ge m\) : un carré étant positif ou nul, il suffit de l’ajouter à \(m\).
- Donner la valeur \(x_0\) qui annule le carré, c’est-à-dire l’endroit où l’égalité se produit.
Minimum d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Pour fabriquer \(x\) centaines de bougies, un artisan paie \(C(x)=0{,}5(x-40)^2+120\) euros, avec \(x\) entre \(30\) et \(50\). Quel est le coût minimal ? Pour quelle production est-il atteint ?
Corrigé
Le terme \((x-40)^2\) est positif ou nul, donc \(0{,}5(x-40)^2\ge 0\) et \(C(x)\ge 120\) pour tout \(x\).
L’égalité exige \((x-40)^2=0\), donc \(x=40\), valeur bien comprise entre \(30\) et \(50\). Le minimum de \(C\) est \(120\) euros, atteint pour \(4\,000\) bougies. Aux extrémités, \(C(30)=C(50)=170\) euros, plus élevé.
À toi de jouer
Question 1
Une fonction est décroissante sur \([2\,;\,6]\) avec des images de \(11\) à \(-3\), puis croissante sur \([6\,;\,9]\) jusqu’à \(4\). Donner son minimum.
Voir la réponse
Le minimum est \(-3\), atteint en \(x=6\), car \(-3\) est inférieur aux deux autres valeurs, \(11\) et \(4\).
Question 2
Quel est le minimum de \(g(x)=(x+2)^2-9\) ?
Voir la réponse
On a \(g(x)\ge -9\), avec égalité pour \(x=-2\). Le minimum est \(-9\).
Ne pas confondre Minimum d'une fonction et Maximum d'une fonction
Le minimum est le creux de la courbe, la plus petite ordonnée ; le maximum est son sommet, la plus grande. Une fonction peut avoir l’un sans l’autre : la fonction carré a un minimum \(0\) mais n’a pas de maximum sur \(\mathbb{R}\), puisque ses valeurs grandissent sans limite.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Maximum d'une fonction
- Extremum
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Parabole
- Fonction carré
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