Nombre réel
En bref : Un nombre réel est un nombre qui correspond à un point de la droite graduée : les rationnels et les irrationnels, comme π et √2, forment ensemble l’ensemble ℝ.
SecondeNombres et calculs
Définition : Nombre réel
Un nombre réel est un nombre que l’on peut placer sur une droite graduée, sans qu’il existe de trou entre deux points. L’ensemble de tous les réels se note \(\mathbb{R}\) et contient les entiers, les décimaux, les fractions, mais aussi des nombres comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\), dont les chiffres après la virgule ne se répètent jamais.
Les réels se comparent entre eux et se calculent avec les quatre opérations, la division par zéro étant seule exclue. Entre deux réels différents, on peut toujours en glisser un troisième. Un irrationnel ne s’écrit jamais exactement en décimal : on le donne sous forme exacte ou par un encadrement.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « pour tout réel \(x\) » ou « \(x\in\mathbb{R}\) », sans autre restriction.
- Une racine carrée de nombre non carré parfait ou le nombre \(\pi\) apparaît dans un calcul.
- On doit placer un nombre sur une droite graduée ou le coincer entre deux décimaux.
- Il s’agit d’une équation ou d’une inéquation dont l’ensemble des solutions est un intervalle.
La méthode
- Pour classer un nombre réel, le simplifier d’abord et voir s’il est entier, décimal ou fractionnaire.
- S’il contient une racine non exacte ou \(\pi\), le garder sous forme exacte dans les calculs.
- Pour le placer, utiliser un encadrement par deux décimaux consécutifs, en élevant au carré pour une racine.
- Pour justifier qu’une valeur existe entre deux réels, proposer leur moyenne.
Nombre réel : exemple corrigé
Énoncé
Parmi \(\dfrac{7}{3}\), \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(0{,}4\) et \(\sqrt{81}\), lesquels sont rationnels ? Encadrer \(\sqrt{2}\) par deux décimaux consécutifs à \(0{,}01\) près.
Corrigé
Tous sont réels. \(\dfrac{7}{3}\) est un quotient d’entiers, \(0{,}4=\dfrac{2}{5}\) aussi, et \(\sqrt{81}=9\) est entier : ces trois nombres sont rationnels. \(\sqrt{2}\) et \(\pi\) sont irrationnels.
Pour \(\sqrt{2}\), on calcule \(1{,}41^2=1{,}9881\) et \(1{,}42^2=2{,}0164\). Comme \(2\) est entre ces deux carrés, on obtient \(1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42\).
À toi de jouer
Question 1
Existe-t-il un réel strictement entre \(0{,}999\) et \(1\) ?
Voir la réponse
Oui : leur moyenne \(0{,}9995\) convient, et on peut recommencer indéfiniment.
Question 2
Le nombre \(\dfrac{1}{3}\) est-il réel ? Est-il rationnel ?
Voir la réponse
Il est réel, car on peut le placer sur la droite graduée, et rationnel, puisque c’est un quotient d’entiers.
Ne pas confondre Nombre réel et Nombre rationnel
Tout rationnel est réel, mais certains réels ne sont pas rationnels : \(\sqrt{2}\) et \(\pi\) ne s’écrivent pas comme quotient de deux entiers. Les réels forment l’ensemble le plus large étudié au lycée : ils comblent entièrement la droite graduée, alors que les rationnels y laissent des trous.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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