Valeur absolue
En bref : La valeur absolue d’un nombre mesure son éloignement de zéro sur la droite graduée : un positif reste tel quel, un négatif est remplacé par son opposé, et le résultat n’est jamais négatif.
SecondeNombres et calculs
Définition : Valeur absolue
La valeur absolue d’un réel \(x\), notée \(|x|\), répond à la question : à quelle distance de \(0\) se trouve \(x\) ? Ainsi \(|5|=5\) et \(|-5|=5\) : le signe disparaît, car une distance est toujours positive ou nulle.
L’idée se généralise : \(|x-a|\) mesure la distance entre les nombres \(x\) et \(a\). Résoudre \(|x-a|=r\) revient donc à chercher les points situés à la distance \(r\) du point \(a\), soit deux points symétriques. Et \(|x-a|\le r\) décrit tous les points à une distance inférieure ou égale à \(r\), c’est-à-dire un intervalle centré en \(a\).
Comment le reconnaître
- Le signe de deux barres verticales entoure un nombre ou une expression avec \(x\).
- L’énoncé parle de l’écart entre deux nombres, de la distance entre deux points d’une droite graduée.
- Une tolérance est donnée : une mesure doit être à moins de \(0{,}5\) cm d’une valeur cible.
- La solution attendue est un intervalle centré en un nombre, ou deux valeurs symétriques.
La méthode
- Interpréter \(|x-a|\) comme la distance entre \(x\) et \(a\) sur la droite graduée.
- Pour \(|x-a|=r\) avec \(r>0\), placer \(a\) puis chercher les deux points à la distance \(r\) : \(x=a-r\) ou \(x=a+r\).
- Pour \(|x-a|\le r\), retenir tous les nombres entre \(a-r\) et \(a+r\) : l’intervalle \([a-r\,;\,a+r]\).
- Si \(r\) est négatif, une valeur absolue ne pouvant pas l’être, il n’y a aucune solution pour l’égalité.
Valeur absolue : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre \(|x-4|=2{,}5\), puis \(|x+1|<3\).
Corrigé
L’équation signifie que \(x\) est à \(2{,}5\) unités de \(4\) : \(x=4-2{,}5=1{,}5\) ou \(x=4+2{,}5=6{,}5\). L’ensemble solution est \(\{1{,}5\,;\,6{,}5\}\).
Pour l’inéquation, on écrit \(|x+1|=|x-(-1)|\) : \(x\) doit être à une distance strictement inférieure à \(3\) de \(-1\). Cela donne \(-1-3<x<-1+3\), donc \(]-4\,;\,2[\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(|-7{,}2|-|3|\).
Voir la réponse
\(|-7{,}2|=7{,}2\) et \(|3|=3\), donc le résultat est \(7{,}2-3=4{,}2\).
Question 2
Quelle est la distance entre \(-3\) et \(5\) sur la droite graduée ?
Voir la réponse
\(|5-(-3)|=|8|=8\).
Ne pas confondre Valeur absolue et Opposé d'un nombre
L’opposé de \(x\) est \(-x\) : il change le signe de tout nombre, positif ou négatif. La valeur absolue ne l’inverse que pour un nombre négatif et laisse un positif inchangé. L’opposé de \(-4\) est \(4\), mais celui de \(4\) est \(-4\), alors que \(|4|\) et \(|-4|\) valent tous deux \(4\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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