Fonctions trigonométriques
En bref : Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus associent à un réel x les coordonnées du point du cercle trigonométrique ; elles sont définies sur R, périodiques de période 2π et à valeurs dans [-1 ; 1].
PremièreFonctions
Définition : Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques de Première sont le cosinus et le sinus. Pour tout réel \(x\), on enroule \(x\) sur le cercle trigonométrique et l’on obtient un point \(M(\cos x\,;\,\sin x)\) : le cosinus est son abscisse, le sinus son ordonnée.
Elles sont définies sur \(\mathbb{R}\), bornées entre \(-1\) et \(1\), et périodiques de période \(2\pi\) : leur courbe, une sinusoïde, se répète tous les \(2\pi\). La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. Leurs courbes sont superposables par une translation de \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\). On les utilise pour modéliser tout phénomène ondulatoire.
Comment le reconnaître
- L’énoncé contient un cosinus ou un sinus d’une variable réelle en radians, pas seulement d’un angle de triangle.
- On doit résoudre une équation comme \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) sur un intervalle précis.
- Une courbe ondulée régulière est donnée et l’on doit en lire l’amplitude ou la période.
- Un phénomène répétitif comme une marée, un son ou un courant alternatif est modélisé.
La méthode
- Ramener l’angle dans \([0\,;\,2\pi]\) ou \(]-\pi\,;\,\pi]\) en retirant des multiples de la période \(2\pi\).
- Pour résoudre \(\cos x=a\), repérer sur le cercle les deux points d’abscisse \(a\), symétriques par rapport à l’axe horizontal.
- Pour \(\sin x=a\), repérer les deux points d’ordonnée \(a\), symétriques par rapport à l’axe vertical.
- Utiliser la parité pour les angles négatifs : \(\cos(-x)=\cos x\) et \(\sin(-x)=-\sin x\).
Fonctions trigonométriques : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\). Puis calculer \(\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\) en utilisant la parité.
Corrigé
Sur le cercle trigonométrique, les points d’abscisse \(\dfrac{1}{2}\) correspondent à \(\dfrac{\pi}{3}\) et au point symétrique par rapport à l’axe horizontal, \(2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}\). L’ensemble solution est \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
Le sinus est impair : \(\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\). La valeur cherchée est \(-\dfrac{1}{2}\).
À toi de jouer
Question 1
Donner la valeur exacte de \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
Voir la réponse
Le cosinus est pair : \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Question 2
Combien de solutions l’équation \(\sin x=0{,}3\) possède-t-elle sur \([0\,;\,2\pi]\) ?
Voir la réponse
Deux : la droite \(y=0{,}3\) coupe la sinusoïde une fois en montée et une fois en descente.
Ne pas confondre Fonctions trigonométriques et Fonction périodique
Être périodique est une propriété de comportement, partagée par de nombreuses fonctions. Les fonctions trigonométriques en sont les exemples de référence, mais toutes les fonctions périodiques ne sont pas des cosinus ou des sinus : un signal en créneaux ou une dent de scie se répètent aussi, sans avoir cette forme arrondie.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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