Radian
En bref : Le radian est l’unité de mesure d’angle définie par la longueur d’arc : un angle de 1 rad intercepte sur un cercle un arc dont la longueur est égale au rayon, et un tour complet vaut 2π rad.
PremièreGéométrie plane
Définition : Radian
Le radian mesure un angle en comparant l’arc de cercle qu’il découpe au rayon de ce cercle. Un angle de 1 rad découpe un arc de même longueur que le rayon.
Comme le périmètre d’un cercle vaut \(2\pi r\), un tour complet correspond à \(2\pi\) rad, soit \(360°\). On en déduit \(\pi\) rad \(=180°\). Cette unité est utilisée pour la trigonométrie des fonctions car elle simplifie les formules.
Comment le reconnaître
- Un énoncé écrit des angles sous la forme \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{3\pi}{4}\) ou \(2\pi\) sans le symbole degré.
- Le cercle trigonométrique est utilisé et on place des points repérés par un angle.
- On demande la longueur d’un arc connaissant le rayon et l’angle.
- La calculatrice est réglée en mode « RAD » et donne des résultats qui diffèrent du mode « DEG ».
La méthode
- Retenir l’équivalence \(180°=\pi\) rad, donc \(1°=\frac{\pi}{180}\) rad.
- Convertir des degrés en multiples de \(\pi\) en multipliant par \(\frac{\pi}{180}\), puis simplifier la fraction.
- Revenir aux degrés en multipliant par \(\frac{180}{\pi}\).
- Pour la longueur d’un arc, utiliser \(\ell=r\theta\) avec \(\theta\) exprimé en radians.
Radian : exemple corrigé
Énoncé
Une roue de rayon \(20\) cm tourne de \(150°\). Exprimer cet angle en radians, puis calculer la longueur de l’arc parcouru par un point de sa jante.
Corrigé
\(150°=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\) rad.
La longueur de l’arc est \(\ell=r\theta=20\times\frac{5\pi}{6}=\frac{50\pi}{3}\), soit environ \(52{,}4\) cm.
À toi de jouer
Question 1
Convertir \(\frac{3\pi}{4}\) rad en degrés.
Voir la réponse
\(\frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=135\), donc \(135°\).
Question 2
Quelle est la longueur d’un arc de \(2\) rad sur un cercle de rayon \(7\) cm ?
Voir la réponse
\(\ell=r\theta=7\times 2=14\) cm.
Ne pas confondre Radian et Degré
Le degré découpe le tour en \(360\) parts égales, un choix historique. L’autre est défini par la géométrie du cercle : il relie directement angle, rayon et longueur d’arc. Les deux unités décrivent les mêmes angles, mais seul le radian donne \(\ell=r\theta\) sans coefficient.
Pour aller plus loin
Cours
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