Angle orienté
En bref : Un angle orienté de deux vecteurs tient compte du sens de rotation : il possède une infinité de mesures en radians, toutes égales à 2π près, et une seule dans l’intervalle ]-π ; π].
PremièreGéométrie plane
Définition : Angle orienté
Un angle orienté \((\vec{u}\,,\vec{v})\) indique de combien il faut tourner pour passer de la direction de \(\vec{u}\) à celle de \(\vec{v}\). Le sens contraire des aiguilles d’une montre est le sens direct : les rotations dans ce sens ont une mesure positive, les autres une mesure négative.
Comme un tour complet ramène au point de départ, si \(\theta\) est une mesure, alors \(\theta+2k\pi\) en est une autre pour tout entier relatif \(k\). On écrit \(\theta\) modulo \(2\pi\). La mesure principale est l’unique mesure comprise dans l’intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\) : c’est celle qu’on donne comme réponse.
Comment le reconnaître
- L’énoncé mentionne un sens de rotation, direct ou indirect, ou un nombre de tours.
- Une mesure comme \(\dfrac{17\pi}{3}\) dépasse un tour complet et doit être ramenée à un nombre plus simple.
- On compare deux angles pour savoir s’ils désignent la même position sur le cercle.
- Un point en rotation décrit plusieurs tours, par exemple pour une roue ou un manège.
La méthode
- Retirer ou ajouter des multiples de \(2\pi\) à la mesure donnée pour la rapprocher de zéro.
- Vérifier que le résultat est dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : strictement plus grand que \(-\pi\) et au plus égal à \(\pi\).
- Noter le nombre de tours retirés pour pouvoir expliquer le résultat : ici \(\dfrac{17\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+3\times 2\pi\).
- Pour savoir si deux mesures désignent un même angle orienté, calculer leur différence et chercher si c’est un multiple de \(2\pi\).
Angle orienté : exemple corrigé
Énoncé
Donner la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est \(\dfrac{17\pi}{3}\), puis celle d’un angle orienté de mesure \(-\dfrac{23\pi}{4}\).
Corrigé
On écrit \(\dfrac{17\pi}{3}=6\pi-\dfrac{\pi}{3}\). Retirer \(6\pi\), soit trois tours, donne \(-\dfrac{\pi}{3}\), qui est dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : la mesure principale est \(-\dfrac{\pi}{3}\).
Pour \(-\dfrac{23\pi}{4}\), on ajoute \(6\pi=\dfrac{24\pi}{4}\) : \(-\dfrac{23\pi}{4}+\dfrac{24\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\). Cette valeur est bien dans l’intervalle : la mesure principale est \(\dfrac{\pi}{4}\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est la mesure principale de \(\dfrac{7\pi}{2}\) ?
Voir la réponse
On retire \(4\pi\) : \(\dfrac{7\pi}{2}-\dfrac{8\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}\), qui est dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).
Question 2
Les mesures \(\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{17\pi}{6}\) correspondent-elles au même angle orienté ?
Voir la réponse
La différence est \(\dfrac{12\pi}{6}=2\pi\), un tour complet : oui, c’est le même angle orienté.
Ne pas confondre Angle orienté et Angle
Un angle géométrique ordinaire est un nombre positif, compris entre \(0\) et \(\pi\) radians pour deux demi-droites. Un angle orienté garde en plus le sens de rotation : il peut être négatif et il est défini à un nombre entier de tours près. Les deux angles ont la même valeur absolue de la mesure principale.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Première · Géométrie plane
