Cercle trigonométrique
En bref : Le cercle trigonométrique enroule la droite des réels sur un cercle d’une unité de rayon, parcouru dans le sens direct ; l’angle θ y désigne le point de coordonnées (cos θ ; sin θ).
PremièreGéométrie plane
Définition : Cercle trigonométrique
Prenons un repère orthonormé direct et gardons tous les points situés à une unité de l’origine \(O\) : ils dessinent le cercle trigonométrique. On y enroule la droite des réels : le nombre \(\theta\) correspond au point \(M\) obtenu en parcourant, à partir de \(I(1\,;\,0)\), un arc de longueur \(|\theta|\) dans le sens direct si \(\theta\) est positif, indirect s’il est négatif.
Les coordonnées de \(M\) définissent le cosinus et le sinus : \(M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)\). Comme \(M\) est à distance \(1\) de \(O\), on a la relation \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande le cosinus ou le sinus d’un angle qui n’est pas dans un triangle rectangle, par exemple \(\dfrac{5\pi}{6}\).
- On doit trouver le signe de \(\cos\theta\) ou \(\sin\theta\) selon la position du point sur le cercle.
- Un angle est donné en radians et l’on cherche les coordonnées du point associé.
La méthode
- Ramener l’angle à sa mesure principale dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) en retirant des tours complets.
- Placer le point \(M\) sur le cercle trigonométrique et repérer son quadrant, pour fixer les signes du cosinus et du sinus.
- Chercher l’angle de référence, entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2}\), qui a les mêmes valeurs en valeur absolue.
- Lire l’abscisse de \(M\) pour le cosinus, l’ordonnée pour le sinus, et vérifier avec \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\).
Cercle trigonométrique : exemple corrigé
Énoncé
Donner les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\), puis le signe de \(\cos\dfrac{7\pi}{5}\) et de \(\sin\dfrac{7\pi}{5}\).
Corrigé
L’angle \(\dfrac{5\pi}{6}\) vaut \(150^\circ\) : le point est dans le deuxième quadrant, à \(\dfrac{\pi}{6}\) de l’axe horizontal, côté gauche. Son angle de référence est \(\dfrac{\pi}{6}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\).
Pour \(\dfrac{7\pi}{5}\), soit \(252^\circ\), le point est dans le troisième quadrant, au-delà de \(\pi\) mais avant \(\dfrac{3\pi}{2}\) : le cosinus et le sinus sont tous deux négatifs.
À toi de jouer
Question 1
Donner \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\).
Voir la réponse
Le point associé est \((0\,;\,-1)\), tout en bas du cercle : le cosinus vaut \(0\) et le sinus \(-1\).
Question 2
On sait que \(\cos\theta=0{,}6\) avec \(\theta\) dans \([0\,;\,\pi]\). Que vaut \(\sin\theta\) ?
Voir la réponse
De \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\), on tire \(\sin^2\theta=1-0{,}36=0{,}64\). Sur \([0\,;\,\pi]\) le sinus est positif : \(\sin\theta=0{,}8\).
Ne pas confondre Cercle trigonométrique et Trigonométrie
La trigonométrie du collège utilise des rapports de côtés dans un triangle rectangle, donc des angles aigus seulement. Le cercle trigonométrique étend le cosinus et le sinus à tous les angles, positifs ou négatifs, grâce aux coordonnées d’un point. Pour un angle aigu, les deux définitions donnent exactement les mêmes valeurs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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