Continuité
En bref : La continuité d’une fonction en un réel a signifie que sa limite en a existe et égale f(a) ; sur le graphique, aucun saut ni trou n’interrompt la courbe près de ce point.
TerminaleFonctions
Définition : Continuité
La continuité d’une fonction \(f\) en un point \(a\) traduit l’absence de saut : lorsque \(x\) s’approche de \(a\), les images \(f(x)\) s’approchent de \(f(a)\).
Formellement, \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Elle est continue sur un intervalle si elle l’est en chacun de ses points. Les fonctions polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb{R}\), et les quotients sur chaque intervalle où le dénominateur ne s’annule pas.
Comment le reconnaître
- La fonction est définie en deux morceaux et l’énoncé demande de « raccorder » sans saut.
- On cherche un paramètre \(a\) ou \(m\) rendant la fonction continue en une valeur précise.
- L’énoncé mentionne un tracé « sans lever le crayon » ou une courbe en un seul trait.
- On prépare le théorème des valeurs intermédiaires, qui exige cette hypothèse.
La méthode
- Calculer la limite à gauche et la limite à droite au point étudié.
- Calculer la valeur \(f(a)\) elle-même.
- Comparer : si les trois nombres sont égaux, la fonction est continue en \(a\) ; sinon, il y a un saut ou un trou.
- Pour trouver un paramètre, écrire l’égalité des limites et résoudre l’équation obtenue.
Continuité : exemple corrigé
Énoncé
Une fonction est définie par \(f(x)=x^2\) si \(x\le 2\) et \(f(x)=ax+1\) si \(x>2\). Pour quelle valeur de \(a\) est-elle continue en \(2\) ?
Corrigé
À gauche, la limite vaut \(2^2=4\), et \(f(2)=4\). À droite, la limite vaut \(2a+1\).
La continuité exige \(2a+1=4\), donc \(a=\frac{3}{2}=1{,}5\). Pour toute autre valeur, la courbe présenterait un saut en \(x=2\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(g(x)=\frac{1}{x-5}\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
Non : elle n’est pas définie en \(5\) ; elle est continue sur \(]-\infty\,;\,5[\) et sur \(]5\,;\,+\infty[\).
Question 2
Une fonction vérifie \(\lim_{x\to 3^-}f(x)=7\), \(\lim_{x\to 3^+}f(x)=7\) et \(f(3)=9\). Est-elle continue en \(3\) ?
Voir la réponse
Non : la limite \(7\) est différente de \(f(3)=9\), il y a un trou (point isolé).
Ne pas confondre Continuité et Dérivée
Dériver demande davantage que de tracer sans saut : toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, la réciproque n’étant pas vraie. Avec \(|x|\), la courbe est d’un seul tenant en \(0\) mais forme un angle : aucune tangente, donc aucun nombre dérivé.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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