Croissances comparées
En bref : Les croissances comparées classent les fonctions à l’infini : la fonction exponentielle l’emporte sur toute puissance de x, qui elle-même l’emporte sur le logarithme népérien.
TerminaleFonctions
Définition : Croissances comparées
Les croissances comparées répondent à la question : quand deux expressions tendent vers l’infini, laquelle domine ? Elles lèvent ainsi des formes indéterminées comme \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(0\times\infty\).
Pour tout entier \(n\ge 1\) : \(\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\), \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\), \(\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) et \(\lim_{x\to 0^+}x^n\ln x=0\).
Comment le reconnaître
- Une limite met en jeu un quotient ou un produit d’une exponentielle, d’un logarithme et d’une puissance de \(x\).
- Le calcul direct des limites conduit à \(\frac{\infty}{\infty}\) ou à \(0\times\infty\).
- L’énoncé précise la limite « en \(+\infty\) » ou « en \(0^+\) » d’une expression comme \(x\ln x\).
- On compare l’efficacité de deux algorithmes ou la rapidité de deux modèles de croissance.
La méthode
- Identifier la forme indéterminée et les trois « poids » en présence : \(\ln x\), \(x^n\) et \(e^x\).
- Isoler le terme dominant et le mettre en facteur, ou diviser numérateur et dénominateur par lui.
- Appliquer la limite de référence adaptée, au besoin après un changement de variable.
- Conclure en additionnant ou multipliant les limites obtenues.
Croissances comparées : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+4x}{e^x}\).
Corrigé
Le calcul direct donne la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). On sépare : \(\frac{x^3+4x}{e^x}=\frac{x^3}{e^x}+4\,\frac{x}{e^x}\).
Par croissances comparées, \(\frac{e^x}{x^3}\to+\infty\), donc \(\frac{x^3}{e^x}\to 0\) ; de même \(\frac{x}{e^x}\to 0\). La limite vaut \(0\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\).
Voir la réponse
Le logarithme est négligeable devant la puissance : la limite vaut \(0\).
Question 2
Calculer \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x\).
Voir la réponse
C’est une limite de référence : \(x\ln x\to 0\) quand \(x\to 0^+\).
Ne pas confondre Croissances comparées et Limite d'une fonction
Les règles de limites usuelles (somme, produit, quotient) ne tranchent pas les formes indéterminées. Les croissances comparées sont des résultats de référence qui permettent justement de les lever, en précisant quelle expression l’emporte sur l’autre.
Pour aller plus loin
Cours
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