Équation différentielle
En bref : Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée ; pour y’ = ay + b avec a non nul, les solutions sont y = C e^(ax) – b/a, où la constante C est fixée par une condition initiale.
TerminaleFonctions
Définition : Équation différentielle
Une équation différentielle est une égalité dont l’inconnue n’est pas un nombre mais une fonction, et où figure sa dérivée. Elle décrit un phénomène par la manière dont il évolue plutôt que par sa valeur.
En Terminale, on résout \(y^{\prime}=ay+b\) avec \(a\neq 0\). Ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{ax}-\frac{b}{a}\), \(C\) réel quelconque. Une condition initiale, du type \(y(0)=y_0\), sélectionne une seule solution parmi cette famille.
Comment le reconnaître
- L’énoncé exprime une vitesse de variation proportionnelle à la quantité elle-même : refroidissement, désintégration, croissance.
- Une équation différentielle mêle \(y\) et \(y^{\prime}\), par exemple \(y^{\prime}=-0{,}1y+2\).
- On demande de « déterminer toutes les solutions » puis celle qui vérifie une valeur donnée.
- Un graphique montre une courbe qui se rapproche d’une valeur d’équilibre.
La méthode
- Mettre l’équation différentielle sous la forme \(y^{\prime}=ay+b\) et repérer \(a\) et \(b\).
- Trouver la solution constante \(-\frac{b}{a}\) (celle qui annule \(y^{\prime}\)).
- Écrire la solution générale \(y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}\).
- Utiliser la condition initiale pour calculer \(C\), puis conclure avec la fonction obtenue.
Équation différentielle : exemple corrigé
Énoncé
Un café à \(90\) °C est laissé dans une pièce à \(20\) °C. Sa température \(T\) (en °C) à l’instant \(t\) (en minutes) vérifie \(T^{\prime}=-0{,}1T+2\) avec \(T(0)=90\). Déterminer \(T(t)\), puis \(T(10)\).
Corrigé
Ici \(a=-0{,}1\) et \(b=2\), donc la solution constante est \(-\frac{b}{a}=20\) et \(T(t)=Ce^{-0{,}1t}+20\). La condition \(T(0)=90\) donne \(C+20=90\), soit \(C=70\).
Ainsi \(T(t)=70e^{-0{,}1t}+20\) et \(T(10)=70e^{-1}+20\approx 25{,}75+20=\) \(45{,}75\) °C.
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \(y^{\prime}=3y\) avec \(y(0)=2\).
Voir la réponse
Ici \(b=0\) : \(y=Ce^{3x}\) et \(y(0)=C=2\), donc \(y=2e^{3x}\).
Question 2
Donner la solution constante de \(y^{\prime}=2y-6\).
Voir la réponse
Elle annule \(2y-6\), donc \(y=3\) ; la solution générale est \(y=Ce^{2x}+3\).
Ne pas confondre Équation différentielle et Primitive
Chercher une primitive de \(f\) revient à résoudre le cas très simple \(y^{\prime}=f(x)\), où le second membre ne contient pas \(y\). Dans une équation comme \(y^{\prime}=ay+b\), la fonction inconnue figure aussi à droite : il faut l’exponentielle pour la résoudre.
Pour aller plus loin
Mots voisins
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