Loi binomiale
En bref : La loi binomiale décrit combien de succès on récolte en répétant n fois, sans lien entre les essais, une expérience à deux issues de probabilité de succès p ; son espérance vaut np.
TerminaleProbabilités
Définition : Loi binomiale
La loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) modélise un comptage : on répète \(n\) fois la même expérience à deux issues, et la variable \(X\) donne le nombre de succès obtenus.
Pour tout entier \(k\) de \(0\) à \(n\), \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Son espérance vaut \(E(X)=np\) et sa variance \(V(X)=np(1-p)\). L’espérance donne le nombre moyen de succès que l’on attend sur de nombreuses séries.
Comment le reconnaître
- On compte « combien de » pièces défectueuses, de réponses justes ou de tirs réussis parmi \(n\) essais.
- Les essais sont indépendants et la probabilité de succès est la même pour chacun.
- L’énoncé écrit \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}15)\) ou demande de la reconnaître.
- On calcule \(P(X\ge 1)\), \(P(X\le 3)\) ou un seuil à l’aide de la calculatrice.
La méthode
- Justifier le modèle : \(n\) épreuves identiques, indépendantes, avec la même probabilité \(p\).
- Écrire \(X\sim\mathcal{B}(n\,;\,p)\) et appliquer la formule pour \(P(X=k)\).
- Pour « au moins un », utiliser \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n\).
- Interpréter avec \(E(X)=np\) : c’est la valeur moyenne, pas forcément la plus probable.
Loi binomiale : exemple corrigé
Énoncé
Un entrepôt expédie des colis dont chacun a \(15\,\%\) de risque d’arriver abîmé, indépendamment des autres. Sur un lot de \(10\) colis, soit \(X\) le nombre de colis abîmés. Calculer \(P(X=2)\) et \(E(X)\).
Corrigé
\(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}15)\). Alors \(P(X=2)=\binom{10}{2}\times 0{,}15^2\times 0{,}85^8=45\times 0{,}0225\times 0{,}2725\approx\) \(0{,}276\).
L’espérance est \(E(X)=10\times 0{,}15=\) \(1{,}5\) colis abîmés en moyenne par lot.
À toi de jouer
Question 1
\(X\) suit \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)\). Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
Voir la réponse
\(E(X)=20\times 0{,}3=6\) et \(V(X)=20\times 0{,}3\times 0{,}7=4{,}2\).
Question 2
Avec \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}15)\), calculer la probabilité qu’au moins un colis soit abîmé.
Voir la réponse
\(1-0{,}85^{10}\approx 1-0{,}197=0{,}803\).
Ne pas confondre Loi binomiale et Schéma de Bernoulli
Le schéma de Bernoulli est l’expérience répétée avec ses listes de succès et d’échecs. La loi binomiale est la loi du nombre de succès de ce schéma : elle ne retient que le total \(k\), pas l’ordre dans lequel les succès sont arrivés.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Schéma de Bernoulli
- Épreuve de Bernoulli
- Coefficient binomial
- Espérance
- Variance
- Loi des grands nombres
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