Bissectrice d’un angle : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : construction de la bissectrice d’un angle
Pour tracer les bissectrices des trois angles, suivez les étapes ci-dessous :

1. $Bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520xOy%22\,alt=%22\angle\,xOy$ de $48^\circ$ » align= »absmiddle » /> :
– Tracez l’angle $\angle\,xOy$ de $48^\circ$ .
– La bissectrice de cet angle le coupe en deux angles égaux de $24^\circ$ .
– Tracez une droite telle que $\angle\,xOz\,=\,\angle\,zOy\,=\,24^\circ$ .

2. $Bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520uAv%22\,alt=%22\angle\,uAv$ de $94^\circ$ » align= »absmiddle » /> :
– Tracez l’angle $\angle\,uAv$ de $94^\circ$ .
– La bissectrice de cet angle le coupe en deux angles égaux de $47^\circ$ .
– Tracez une droite telle que $\angle\,uAW\,=\,\angle\,tAW\,=\,47^\circ$ .

3. $Bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520zty%22\,alt=%22\angle\,zty$ de $32^\circ$ » align= »absmiddle » /> :
– Tracez l’angle $\angle\,zty$ de $32^\circ$ .
– La bissectrice de cet angle le coupe en deux angles égaux de $16^\circ$ .
– Tracez une droite telle que $\angle\,ztB\,=\,\angle\,tBy\,=\,16^\circ$ .

### Représentation en LaTeX :

Voici la correction écrite en LaTeX :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

\section*{Correction}

Bissectrice de l’angle $\angle\,xOy$ de $48^\circ$ :

\begin{tikzpicture}
\draw[-] (0,0) — (3,3);
\draw[-] (0,0) — (3,-3);
\draw[dashed] (0,0) — (5,0);
\node[below] at (3,-3) {y};
\node[above] at (3,3) {x};
\node[right] at (5,0) {z};
\node[below right] at (0,-0.2) {O};
\draw (0.5,0) arc[start angle=0,end angle=48,radius=0.5];
\node at (1,0.3) {$48^\circ$};
\draw (0.5,0) arc[start angle=0,end angle=24,radius=0.25];
\node at (0.6,0.15) {$24^\circ$};
\end{tikzpicture}

Bissectrice de l’angle $\angle\,uAv$ de $94^\circ$ :

\begin{tikzpicture}
\draw[-] (0,0) — (3,3);
\draw[-] (0,0) — (5,1);
\draw[dashed] (0,0) — (4,2);
\node[above] at (3,3) {u};
\node[right] at (5,1) {v};
\node[right] at (4,2) {w};
\node[below] at (0,-0.2) {A};
\draw (1,0.33) arc[start angle=18.43,end angle=112.43,radius=1];
\node at (1.5,1.2) {$94^\circ$};
\draw (0.8,0.26) arc[start angle=18.43,end angle=65.43,radius=0.5];
\node at (1,0.5) {$47^\circ$};
\end{tikzpicture}

Bissectrice de l’angle $\angle\,zty$ de $32^\circ$ :

\begin{tikzpicture}
\draw[-] (0,0) — (3,3);
\draw[-] (0,0) — (3,-3);
\draw[dashed] (0,0) — (3,0);
\node[below] at (3,-3) {y};
\node[above] at (3,3) {z};
\node[right] at (3,0) {b};
\node[below right] at (0,-0.2) {t};
\draw (0.5,0) arc[start angle=0,end angle=32,radius=0.5];
\node at (1,0.2) {$32^\circ$};
\draw (0.25,0) arc[start angle=0,end angle=16,radius=0.25];
\node at (0.6,0.1) {$16^\circ$};
\end{tikzpicture}

\end{document}
« `

Cette correction fournit la méthode pour tracer les bissectrices des trois angles donnés, en divisant chaque angle en deux angles égaux.

Exercice 2 : construction des bissectrices d’un triangle
La correction de l’exercice est la suivante :

1. $Construction\,du\,triangle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABC%22\,alt=%22ABC$ » align= »absmiddle » />
$Soit\,\,AB\,=\,6\,\,cm%2C\,AC\,=\,4\,\,cm\,\,et\,\,BC\,=\,7\,\,cm.$
Tracez d’abord le segment $BC\,=\,7\,\,cm$ . Puis, en utilisant un compas, tracez un arc de cercle de centre et de rayon $6\,\,cm$ , et un autre arc de cercle de centre et de rayon $4\,\,cm$ . L’intersection de ces deux arcs donne le point . Reliez ensuite à et à pour obtenir le triangle .

2. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520BAC%22\,alt=%22\angle\,BAC$ » align= »absmiddle » />
Utilisez la méthode des arcs pour construire la bissectrice de l’angle $\angle\,BAC$ . Placez la pointe sèche du compas en et tracez un arc qui coupe les côtés et . Appelons les points d’intersection et respectivement. Maintenant, sans changer l’ouverture du compas, placez la pointe sèche du compas en et tracez un arc. Refaites de même avec la pointe sèche en . Les deux arcs se croisent en un point . Tracez le segment , qui est la bissectrice de l’angle $\angle\,BAC$ .

3. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520ABC%22\,alt=%22\angle\,ABC$ » align= »absmiddle » />
De manière similaire, utilisez le compas pour marquer des arcs à partir des points et . Placez la pointe sèche du compas en et tracez un arc qui coupe les côtés et pour obtenir les points et . Ensuite, placez la pointe sèche du compas en et tracez un arc. Refaites de même à partir de . Les arcs se croisent en un point . Tracez le segment qui est la bissectrice de l’angle $\angle\,ABC$ .

4. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520ACB%22\,alt=%22\angle\,ACB$ » align= »absmiddle » />
Pour construire la bissectrice de l’angle $\angle\,ACB$ , effectuez la même procédure. Placez la pointe sèche en et tracez un arc coupant et en toisant les points et . Placez ensuite la pointe sèche en et tracez un arc, puis refaites de même pour . Les arcs se croisent en un point . Tracez le segment qui est la bissectrice de l’angle $\angle\,ACB$ .

5. $Intersection\,des\,bissectrices$
Les trois bissectrices se rencontrent en un point unique appelé l’orthocentre du triangle .

En LaTeX, les équations et constructions peuvent être formulées comme suit :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

Correction de l’exercice :

1. Construction du triangle $ABC$

\begin{tikzpicture}

% Points
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (7,0);
\coordinate (A) at (5.65,2.61); % Approximate coordinates of the intersection point

% Sides
\draw (B) — (C);
\draw (A) — (B);
\draw (A) — (C);

% Labels
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[above] at (A) {$A$};

\end{tikzpicture}

2. Construction de la bissectrice de l’angle $\angle BAC$

3. Construction de la bissectrice de l’angle $\angle ABC$

4. Construction de la bissectrice de l’angle $\angle ACB$

5. Intersection des bissectrices en le point $I$

\end{document}
« `

Cela conclut la construction des bissectrices et du triangle demandé.

Exercice 3 : tracer un angle et construire la bisectrice
« `tex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{geometry}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}

\geometry{a4paper, total={170mm,257mm}, left=20mm, top=20mm}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

\subsection*{a. $\mathbf{40^\circ}$}

1. Tracez un angle de $40^\circ$ avec un rapporteur.

2. Placez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui croise les deux côtés de l’angle.

3. Sans changer l’ouverture du compas, placez la pointe sèche sur chacun des points d’intersection de l’arc avec les côtés de l’angle et tracez deux arcs supplémentaires. Les arcs doivent se croiser à l’intérieur de l’angle.

4. Tracez la bissectrice qui passe par le sommet de l’angle et le point d’intersection des deux derniers arcs.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (4,0);
\draw (0,0) — (30:4);
\draw (0,0) arc[start angle=0, end angle=30, radius=4];
\draw[dashed] (0,0) — (15:4);
\foreach \x in {0,30}{
\node at (\x:4.5) {$\x^\circ$};
}
\end{tikzpicture}

\subsection*{b. $\mathbf{100^\circ}$}

1. Tracez un angle de $100^\circ$ avec un rapporteur.

2. Placez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui croise les deux côtés de l’angle.

4. Tracez la bissectrice qui passe par le sommet de l’angle et le point d’intersection des deux derniers arcs.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (4,0);
\draw (0,0) — (100:4);
\draw (0,0) arc[start angle=0, end angle=100, radius=4];
\draw[dashed] (0,0) — (50:4);
\foreach \x in {0,100}{
\node at (\x:5) {$\x^\circ$};
}
\end{tikzpicture}

\subsection*{c. $\mathbf{170^\circ}$}

1. Tracez un angle de $170^\circ$ avec un rapporteur.

2. Placez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui croise les deux côtés de l’angle.

4. Tracez la bissectrice qui passe par le sommet de l’angle et le point d’intersection des deux derniers arcs.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (4,0);
\draw (0,0) — (170:4);
\draw (0,0) arc[start angle=0, end angle=170, radius=4];
\draw[dashed] (0,0) — (85:4);
\foreach \x in {0,170}{
\node at (\x:4.5) {$\x^\circ$};
}
\end{tikzpicture}

\end{document}
« `

Exercice 4 : construction d’un triangle et des bissectrices
1. $Tracer\,le\,triangle\,EFG\,%3A$
– Tracez un segment .
– Ensuite, à partir du point , tracez un cercle de rayon .
– À partir du point , tracez également un cercle de rayon intersectant le premier cercle en un point .
– Reliez les points , et pour former le triangle .

2. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cwidehat%257BEFG%257D%22\,alt=%22\widehat{EFG}$ : » align= »absmiddle » />
– Placez la pointe sèche du compas sur le point et dessinez un cercle de rayon arbitraire.
– Notez les points d’intersection de ce cercle avec les segments et comme étant les points et .
– Ensuite, placez la pointe du compas sur et dessinez un arc de cercle, puis placez la pointe du compas sur et dessinez un autre arc de cercle sans changer le rayon. Les deux arcs se croisent en un point que nous appellerons .
– Tracez le segment . Ceci est la bissectrice de l’angle $\widehat{EFG}$ .

3. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cwidehat%257BFGE%257D%22\,alt=%22\widehat{FGE}$ : » align= »absmiddle » />
– Placez la pointe sèche du compas sur le point et dessinez un cercle de rayon arbitraire.
– Notez les points d’intersection de ce cercle avec les segments et comme étant les points et .
– Ensuite, placez la pointe du compas sur et dessinez un arc de cercle, puis placez la pointe du compas sur et dessinez un autre arc de cercle sans changer le rayon. Les deux arcs se croisent en un point que nous appellerons .
– Tracez le segment . Ceci est la bissectrice de l’angle $\widehat{FGE}$ .

4. $Construction\,de\,la\,bissectrice\,de\,l'angle\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cwidehat%257BGFE%257D%22\,alt=%22\widehat{GFE}$ : » align= »absmiddle » />
– Placez la pointe sèche du compas sur le point et dessinez un cercle de rayon arbitraire.
– Notez les points d’intersection de ce cercle avec les segments et comme étant les points et .
– Ensuite, placez la pointe du compas sur et dessinez un arc de cercle, puis placez la pointe du compas sur et dessinez un autre arc de cercle sans changer le rayon. Les deux arcs se croisent en un point que nous appellerons .
– Tracez le segment . Ceci est la bissectrice de l’angle $\widehat{GFE}$ .

À présent, vous avez construit les bissectrices des angles $\widehat{EFG}$ , $\widehat{FGE}$ et $\widehat{GFE}$ .

Exercice 5 : angles et bissectrices
1. Tracer un angle $\widehat{IOJ}$ de $80^\circ$ .

Construire sa bissectrice (d) avec la règle et le compas.

– Placez la pointe sèche du compas sur le point (le sommet de l’angle ).
– Tracez un arc de cercle qui coupe les deux côtés et .
– Nommez les points d’intersection de l’arc avec et respectivement et .
– Sans changer l’ouverture du compas, tracez des arcs depuis et qui se coupent en .
– Tracez la droite , cette droite est la bissectrice (d) de l’angle $\widehat{IOJ}$ .

2. On note le point d’intersection de la droite (d) et du segment .

Mesurer les angles $\widehat{IOK}$ et $\widehat{KOJ}$ avec le rapporteur.

_La mesure des angles :_
$\widehat{IOK}\,=\,40^\circ$
$\widehat{KOJ}\,=\,40^\circ$

Le résultat était-il prévisible ?

Oui, le résultat était prévisible car la bissectrice d’un angle divise cet angle en deux angles égaux. Ainsi, si l’angle $\widehat{IOJ}$ fait $80^\circ$ , chaque angle résultant après la bissectrice sera :
$\widehat{IOK}\,=\,\widehat{KOJ}\,=\,\frac{80^\circ}{2}\,=\,40^\circ$

Exercice 6 : construire la bissectrice d’un angle donné

[a.] $\angle\,20^\circ$

Tracez l’angle de $20^\circ$ .
Pour construire la bissectrice, positionnez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui coupe les deux côtés de l’angle.
Placez ensuite la pointe sèche du compas sur chacun des points où l’arc coupe les côtés de l’angle, et tracez deux arcs se croisant à l’intérieur de l’angle.
Tracez une ligne droite du sommet de l’angle au point d’intersection des deux arcs. Cette ligne est la bissectrice de l’angle.

[b.] $\angle\,70^\circ$

Tracez l’angle de $70^\circ$ .
Pour construire la bissectrice, positionnez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui coupe les deux côtés de l’angle.
Placez ensuite la pointe sèche du compas sur chacun des points où l’arc coupe les côtés de l’angle, et tracez deux arcs se croisant à l’intérieur de l’angle.
Tracez une ligne droite du sommet de l’angle au point d’intersection des deux arcs. Cette ligne est la bissectrice de l’angle.

[c.] $\angle\,90^\circ$

Tracez l’angle de $90^\circ$ .
Pour construire la bissectrice, positionnez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui coupe les deux côtés de l’angle.
Placez ensuite la pointe sèche du compas sur chacun des points où l’arc coupe les côtés de l’angle, et tracez deux arcs se croisant à l’intérieur de l’angle.
Tracez une ligne droite du sommet de l’angle au point d’intersection des deux arcs. Cette ligne est la bissectrice de l’angle.

[d.] $\angle\,150^\circ$

Tracez l’angle de $150^\circ$ .
Pour construire la bissectrice, positionnez la pointe sèche du compas sur le sommet de l’angle et tracez un arc qui coupe les deux côtés de l’angle.
Placez ensuite la pointe sèche du compas sur chacun des points où l’arc coupe les côtés de l’angle, et tracez deux arcs se croisant à l’intérieur de l’angle.
Tracez une ligne droite du sommet de l’angle au point d’intersection des deux arcs. Cette ligne est la bissectrice de l’angle.

Exercice 7 : déterminer les bissectrices
Dans les figures a et d, la demi-droite rouge semble effectivement être la bissectrice de l’angle. En effet, une bissectrice est une demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.

Pour démontrer cela, examinons chaque figure en détail :

a. L’angle formé par les deux segments noirs semble être divisé en deux angles égaux par la demi-droite rouge. La demi-droite rouge semble donc être la bissectrice de l’angle.

b. La demi-droite rouge n’est pas positionnée au milieu de l’angle formé par les deux segments noirs. Elle n’est donc pas la bissectrice de cet angle.

c. La demi-droite rouge n’est pas positionnée au milieu de l’angle formé par les deux segments noirs. Elle n’est donc pas la bissectrice de cet angle.

d. L’angle formé par les deux segments noirs semble être divisé en deux angles égaux par la demi-droite rouge. La demi-droite rouge semble donc être la bissectrice de l’angle.

e. La demi-droite rouge n’est pas positionnée au milieu de l’angle formé par les deux segments noirs. Elle n’est donc pas la bissectrice de cet angle.

Ainsi, les demi-droites rouges des figures a et d semblent être les bissectrices des angles formés :

$a\,et\,d$

Exercice 8 : indiquer quelle droite est la bissectrice
Dans chaque cas, la bissectrice de l’angle est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles égaux.

a. La bissectrice de l’angle est la demi-droite représentée par la ligne violette.

b. La bissectrice de l’angle est la demi-droite représentée par la ligne bleue.

Exercice 9 : construire la bissectrice des angles
« `markdown
1. Pour construire la bissectrice de l’angle $\angle\,WXY$ :
– Placez la pointe sèche du compas sur le point .
– Tracez un arc de cercle interceptant les segments et en deux nouveaux points (disons sur et sur ).
– Sans changer l’ouverture du compas, placez la pointe sèche sur le point et tracez un arc.
– Répétez le processus depuis le point pour que les deux arcs se coupent en un point .
– Tracez la ligne , laquelle est la bissectrice de l’angle $\angle\,WXY$ .

2. Pour construire la bissectrice de l’angle $\angle\,WZY$ :
– Placez la pointe sèche du compas sur le point .
– Tracez un arc de cercle interceptant les segments et en deux nouveaux points (disons sur et sur ).
– Sans changer l’ouverture du compas, placez la pointe sèche sur le point et tracez un arc.
– Répétez le processus depuis le point pour que les deux arcs se coupent en un point .
– Tracez la ligne , laquelle est la bissectrice de l’angle $\angle\,WZY$ .

Ainsi, les bissectrices des angles $\angle\,WXY$ et $\angle\,WZY$ sont correctement tracées.
« `

Exercice 10 : tracer un angle et la bissectrice
« `
1. La bissectrice d’un angle $\widehat{ABC}$ de $32^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $16^\circ$ .

2. La bissectrice d’un angle $\widehat{UST}$ de $180^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $90^\circ$ .

3. La bissectrice d’un angle $\widehat{ZXY}$ de $67^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $33.5^\circ$ .

4. La bissectrice d’un angle $\widehat{WZD}$ de $90^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $45^\circ$ .

5. La bissectrice d’un angle $\widehat{PRT}$ de $127^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $63.5^\circ$ .

6. La bissectrice d’un angle $\widehat{LKI}$ de $154^\circ$ est une droite qui le divise en deux angles de $77^\circ$ .

Exercice 11 : triangle et bissectrice
a. Tracer le triangle UST avec les longueurs suivantes :
$UT\,=\,3\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,US\,=\,5\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,ST\,=\,7\,\%2C\,cm$

b. Construire les bissectrices des angles $\hat{UST}$ , $\hat{UTS}$ , et $\hat{TUS}$ .

c. Les trois bissectrices se rencontrent en un même point à l’intérieur du triangle UST . Ce point est appelé le centre du cercle inscrit du triangle.

Exercice 12 : problème de construction
a. Trace un cercle de centre puis un diamètre de ce cercle.

b. Trace au compas la médiatrice du segment . Elle coupe le cercle en et .

c. Trace au compas la bissectrice de l’angle AOC et prolonge-la pour qu’elle coupe le cercle en deux points. Appelons ces points et .

d. Trace au compas la bissectrice de l’angle BOC et prolonge-la pour qu’elle coupe le cercle en deux points. Appelons ces points et .

e. Relie successivement les points obtenus (, , , , , , , et ) sur ce cercle. Tu obtiendras un octogone régulier.

$\begin{tikzpicture}%0D%0A%25\,Trace\,du\,cercle%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,circle\,(3cm)%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Points\,et\,diametres%0D%0A\draw\,(-3%2C0)\,--\,(3%2C0)\,node%5Bmidway%2C\,below%5D\,{%24A%24}\,node%5Bmidway%2C\,above%5D\,{%24B%24}%3B%0D%0A\draw\,(0%2C-3)\,--\,(0%2C3)\,node%5Bmidway%2C\,left%5D\,{%24C%24}\,node%5Bmidway%2C\,right%5D\,{%24D%24}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Centre\,du\,cercle%0D%0A\node\,at\,(0%2C0)\,{%24O%24}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Traces\,des\,bissectrices%0D%0A\draw%5Bgray%2C\,dashed%5D\,(3%2C0)\,--\,(3%2Acos(22.5)%2C\,3%2Asin(22.5))%3B%0D%0A\draw%5Bgray%2C\,dashed%5D\,(-3%2C0)\,--\,(3%2Acos(135-22.5)%2C\,3%2Asin(135-22.5))%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Points\,d'intersection\,des\,bissectrices%0D%0A\node\,at\,(3%2Acos(22.5)%2C\,3%2Asin(22.5))\,{%24E%24}%3B%0D%0A\node\,at\,(3%2Acos(135-22.5)%2C\,3%2Asin(135-22.5))\,{%24F%24}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Bissectrices\,finales%0D%0A\draw\,(3%2C0)\,--\,(3%2Acos(22.5)%2C\,3%2Asin(22.5))\,node%5Bmidway%2C\,below\,right%5D\,{%24E%24}%3B%0D%0A\draw\,(-3%2C0)\,--\,(3%2Acos(135-22.5)%2C\,3%2Asin(135-22.5))\,node%5Bmidway%2C\,above\,left%5D\,{%24F%24}%3B%0D%0A\draw\,(0%2C3)\,--\,(3%2Acos(45)%2C\,3%2Asin(45))\,node%5Bparent\,anchor=-1cm%5D\,node%5Bmidway%2C\,above\,right%5D\,{%24G%24}%3B%0D%0A\draw\,(0%2C-3)\,--\,(3%2Acos(225)%2C\,3%2Asin(225))\,node%5Bmidway%2C\,below\,left%5D\,{%24H%24}%3B%0D%0A%0D%0A%25\,Octogone%0D%0A\draw%5Bthick%5D%0D%0A(-3%2C0)\,--\,(3%2Acos(22.5)%2C\,3%2Asin(22.5))%0D%0A--\,(3%2Acos(45)%2C\,3%2Asin(45))%0D%0A--\,(0%2C3)%0D%0A--\,(3%2Acos(135-22.5)%2C\,3%2Asin(135-22.5))%0D%0A--\,(-3%2C0)\,--\,(3%2Acos(225)%2C\,3%2Asin(225))%0D%0A--\,(3%2Acos(315)%2C\,3%2Asin(315))%0D%0A--\,(3%2C0)%0D%0A--\,(3%2Acos(22.5)%2C\,3%2Asin(22.5))%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$

Ainsi, les points , , , , , , , et connectés dans cet ordre forment un octogone régulier.

Exercice 13 : construction de la bissectrice d’un angle au compas
« `
1. Pour l’angle de $45^\circ$ au point :
$La\,bissectrice\,de\,l'angle\,\,45^\circ\,\,est\,un\,angle\,de\,\,\frac{45^\circ}{2}\,=\,22.5^\circ.$
On trace donc une droite passant par le point qui crée un angle de $22.5^\circ$ avec les deux demi-droites $\overline{BA}$ et $\overline{BC}$ .

2. Pour l’angle de $67^\circ$ au point :
$La\,bissectrice\,de\,l'angle\,\,67^\circ\,\,est\,un\,angle\,de\,\,\frac{67^\circ}{2}\,=\,33.5^\circ.$
On trace donc une droite passant par le point qui crée un angle de $33.5^\circ$ avec les deux demi-droites $\overline{DE}$ et $\overline{DF}$ .

3. Pour l’angle de $135^\circ$ au point :
$La\,bissectrice\,de\,l'angle\,\,135^\circ\,\,est\,un\,angle\,de\,\,\frac{135^\circ}{2}\,=\,67.5^\circ.$
On trace donc une droite passant par le point qui crée un angle de $67.5^\circ$ avec les deux demi-droites $\overline{LM}$ et $\overline{LN}$ .

4. Pour l’angle de $149^\circ$ au point :
$La\,bissectrice\,de\,l'angle\,\,149^\circ\,\,est\,un\,angle\,de\,\,\frac{149^\circ}{2}\,=\,74.5^\circ.$
On trace donc une droite passant par le point qui crée un angle de $74.5^\circ$ avec les deux demi-droites $\overline{GH}$ et $\overline{GK}$ .
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Pour chaque bissectrice, on utilise un compas et une règle non graduée de la manière suivante :
1. Placer la pointe du compas sur le sommet de l’angle.
2. Dessiner un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle.
3. Placer la pointe du compas sur chaque point d’intersection de l’arc avec les côtés de l’angle et dessiner deux arcs de cercle qui se croisent.
4. Tracer la droite passant par le sommet de l’angle et le point de croisement des deux arcs de cercle.

Voir Corrigés 11 à 13 ...