Fonctions usuelles : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les fonctions usuelles en 1ère constituent un pilier fondamental des mathématiques au collège, permettant aux élèves de développer leur raisonnement logique et leur capacité d’analyse. Ces exercices de fonctions travaillent des compétences essentielles comme la lecture de graphiques, l’identification de relations entre variables et la compréhension des tableaux de valeurs. Maîtriser les fonctions mathématiques de base prépare efficacement les collégiens aux notions plus complexes qu’ils rencontreront en 4ème et 3ème. Ces corrections d’exercices de 1ère offrent un accompagnement méthodologique pour consolider ces apprentissages cruciaux.

Exercice 1 – fonctions carré et inverse.

Fonction de référence :

$u(x) = x^2 - 1$

Identification des courbes :

• Fonction u : $u(x) = x^2 - 1$

C’est une parabole tournée vers le haut, sommet en (0 ; -1).

Courbe bleue (parabole passant par (0 ; -1))

• Fonction -u : $-u(x) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1$

C’est une parabole tournée vers le bas, sommet en (0 ; 1).

Courbe rouge (parabole passant par (0 ; 1))

• Fonction u + 2 : $u(x) + 2 = x^2 - 1 + 2 = x^2 + 1$

C’est une parabole tournée vers le haut, sommet en (0 ; 1).

Courbe orange (parabole passant par (0 ; 1), tournée vers le haut)

• Fonction $-frac{1}{4}u$ :

$-frac{1}{4}u(x) = -frac{1}{4}(x^2 - 1) = -frac{1}{4}x^2 + frac{1}{4}$

C’est une parabole tournée vers le bas, sommet en $(0~;~frac{1}{4})$ .

Courbe verte (parabole « aplatie », tournée vers le bas)

Exercice 2 – logiciel de géométrie et distance minimale.

1) a) Construction avec un logiciel de géométrie dynamique :

Il suffit de tracer la courbe d’équation et de placer le point A(2;0). Le point M() peut être déplacé sur la courbe et la distance AM s’affiche dynamiquement.

1) b) Position de M pour laquelle AM semble minimale :

En déplaçant le point M sur la courbe, on observe que la distance AM semble minimale lorsque M est proche du point de coordonnées (1;1).

2) Vérification de la formule AM = $sqrt{x^2-3x+4}$ :

Le point M a pour coordonnées () et le point A a pour coordonnées (2;0).

La distance AM est donnée par :

$AM=sqrt{(x-2)^2+(sqrt{x}-0)^2}$

$AM=sqrt{(x-2)^2+x}$

$AM=sqrt{x^2-4x+4+x}$

$AM=sqrt{x^2-3x+4}$

La formule est donc vérifiée.

3) Position de M pour laquelle AM est minimale :

Pour minimiser AM, il faut minimiser pour xgeq0 .

On calcule la dérivée : $f'(x)=2x-3$

$f'(x)=0$ pour $x=frac{3}{2}=1{,}5$

Comme 0″ alt= »f »(x)=2>0″>, la fonction f admet un minimum en x=1{,}5 .

La position de M pour laquelle AM est minimale est donc .

La distance minimale est : $AM_{min}=sqrt{(1{,}5)^2-3times 1{,}5+4}=sqrt{2{,}25-4{,}5+4}=sqrt{1{,}75}=frac{sqrt{7}}{2}$

Exercice 3 – tableau de variation et images.

Lecture du tableau :

À partir du tableau de variations, on peut lire les valeurs suivantes :

• $f(-4) = 3$

• $f(-1) = -2$

• $f(2) = 1$

• $f(5) = -5$

Vérification de chaque affirmation :

1) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0) < f(1)" alt="f(0) : On ne peut pas savoir
Les valeurs f(0) et f(1) ne sont pas données dans le tableau.

2) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(-3) < f(4)" alt="f(-3) : On ne peut pas savoir
Les valeurs f(-3) et f(4) ne sont pas données dans le tableau.

3) f(5) » alt= »f(0) > f(5) »> : On ne peut pas savoir
La valeur f(0) n’est pas donnée dans le tableau.

4) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(3) < f(5)" alt="f(3) : On ne peut pas savoir
La valeur f(3) n’est pas donnée dans le tableau.

5) f(-3) » alt= »f(2) > f(-3) »> : On ne peut pas savoir
La valeur f(-3) n’est pas donnée dans le tableau.

6) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(3) < f(4)" alt="f(3) : On ne peut pas savoir
Les valeurs f(3) et f(4) ne sont pas données dans le tableau.

Conclusion : Pour toutes les affirmations proposées, on ne peut pas savoir si elles sont vraies ou fausses car les valeurs nécessaires ne figurent pas dans le tableau de variations donné.

Exercice 4 – préciser le sens de variation des fonctions usuelles.

1) f : x ↦ -2x + 5 sur ℝ

Cette fonction est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$ avec $a = -2$ et $b = 5$ .

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -2 < 0" alt="a = -2 , la fonction f est strictement décroissante sur ℝ.

2) g : x ↦ x² sur ℝ

Cette fonction est la fonction carré.

• Sur $]-infty ; 0]$ , la fonction g est strictement décroissante.

• Sur $[0 ; +infty[$ , la fonction g est strictement croissante.

3) h : x ↦ 3x – 7 sur ℝ

Cette fonction est une fonction affine de la forme $h(x) = ax + b$ avec $a = 3$ et $b = -7$ .

Comme 0″ alt= »a = 3 > 0″>, la fonction h est strictement croissante sur ℝ.

4) l : x ↦ $frac{1}{x}$ sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

Cette fonction est la fonction inverse.

• Sur $]-infty ; 0[$ , la fonction l est strictement décroissante.

• Sur $]0 ; +infty[$ , la fonction l est strictement décroissante.

Exercice 5 – comparer des nombres sans les calculer.

1) Comparer $1{,}15^2$ et $1{,}3^2$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1{,}15<1{,}3" alt="1{,}15 et que la fonction $xmapsto x^2$ est croissante sur $mathbb{R}_+$ :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1{,}15^2<1{,}3^2" alt="1{,}15^2

2) Comparer $(-2{,}05)^2$ et $(-1{,}99)^2$

$(-2{,}05)^2=(2{,}05)^2$ et $(-1{,}99)^2=(1{,}99)^2$

Comme 1{,}99″ alt= »2{,}05>1{,}99″> et que la fonction $xmapsto x^2$ est croissante sur $mathbb{R}_+$ :

(-1{,}99)^2″ alt= »(-2{,}05)^2>(-1{,}99)^2″>

3) Comparer $frac{1}{sqrt{2}+1}$ et $frac{1}{sqrt{2}+3}$

On a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sqrt{2}+1<sqrt{2}+3" alt="sqrt{2}+1

Comme la fonction $xmapsto frac{1}{x}$ est décroissante sur $mathbb{R}_+^*$ :

frac{1}{sqrt{2}+3} » alt= »frac{1}{sqrt{2}+1}>frac{1}{sqrt{2}+3} »>

4) Comparer $-frac{5}{0{,}8}$ et $-frac{5}{0{,}7}$

On a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}7<0{,}8" alt="0{,}7

Donc frac{5}{0{,}8} » alt= »frac{5}{0{,}7}>frac{5}{0{,}8} »> (fonction $xmapsto frac{5}{x}$ décroissante)

En multipliant par , on change le sens de l’inégalité :

-frac{5}{0{,}7} » alt= »-frac{5}{0{,}8}>-frac{5}{0{,}7} »>

Exercice 6 – résoudre des équations et des inéquations.

1) Résoudre les équations suivantes :

1) $frac{1}{x}=-2$

En multipliant les deux membres par x (avec x ≠ 0) : 1 = -2x

Donc x = $-frac{1}{2}$

2) $frac{1}{x}=frac{3}{4}$

En multipliant les deux membres par x (avec x ≠ 0) : 1 = $frac{3x}{4}$

Donc 4 = 3x, soit x = $frac{4}{3}$

3) $frac{-3}{x}=frac{1}{5}$

En multipliant les deux membres par x (avec x ≠ 0) : -3 = $frac{x}{5}$

Donc x = -15

2) Donner un encadrement de $frac{1}{x}$ :

1) 2 ≤ x ≤ 5

Puisque x > 0, on peut inverser en changeant le sens des inégalités :

$frac{1}{5}leqfrac{1}{x}leqfrac{1}{2}$

2) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-4<x<-frac{1}{2}" alt="-4<x

Puisque x < 0, on peut inverser en changeant le sens des inégalités :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-2<frac{1}{x}<-frac{1}{4}" alt="-2<frac{1}{x}

3) 10² ≤ x ≤ 10⁴, soit 100 ≤ x ≤ 10000

Puisque x > 0, on peut inverser en changeant le sens des inégalités :

$frac{1}{10000}leqfrac{1}{x}leqfrac{1}{100}$ soit $10^{-4}leqfrac{1}{x}leq10^{-2}$

4) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-1<xleq-10^{-2}" alt="-1 soit -1 < x ≤ -0,01

Puisque x < 0, on peut inverser en changeant le sens des inégalités :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-100leqfrac{1}{x}<-1" alt="-100leqfrac{1}{x}

3) Résoudre les inéquations à l’aide du graphique :

1) x² > 1

D’après le graphique de y = x², on a x² > 1 pour x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[

2) x² ≤ 4

D’après le graphique de y = x², on a x² ≤ 4 pour x ∈ [-2 ; 2]

3) 2″ alt= »frac{1}{x}>2″>

D’après le graphique de $y=frac{1}{x}$ , on a 2″ alt= »frac{1}{x}>2″> pour x ∈ ]0 ; 0,5[

4) $frac{1}{x}leqfrac{1}{2}$

D’après le graphique de $y=frac{1}{x}$ , on a $frac{1}{x}leqfrac{1}{2}$ pour x ∈ ]-∞ ; 0[ ∪ [2 ; +∞[

Exercice 7 – fonction racine carrée et valeur absolue.

Première partie : Images par la fonction racine carrée

3) $sqrt{frac{4}{25}}=frac{sqrt{4}}{sqrt{25}}=frac{2}{5}=0{,}4$

4) $sqrt{10^8}=10^4=10,000$

5) $sqrt{4times 10^{-6}}=2times 10^{-3}=0{,}002$

Deuxième partie : Antécédents par la fonction racine carrée

1) 3^2=9 donc l’antécédent de 3 est 9

2) 0^2=0 donc l’antécédent de 0 est 0

3) $(sqrt{5})^2=5$ donc l’antécédent de sqrt{5} est 5

4) donc l’antécédent de -1 n’existe pas (la fonction racine carrée ne prend que des valeurs positives)

5) $(10^{-2})^2=10^{-4}$ donc l’antécédent de $10^{-2}$ est $10^{-4}$

Troisième partie : Calculs

1) |8|=8

2) |0|=0

4) car 2pi » alt= »6>2pi »>

5) car 1″ alt= »sqrt{2}>1″>

Quatrième partie : Valeurs absolues

1) |-4|=4

3) car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sqrt{5}<3" alt="sqrt{5}

4) car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1<pi" alt="1

5) car sqrt{2} » alt= »2>sqrt{2} »>

Exercice 8 – valeur absolue et inverse.

1) Résoudre |x| = 5

La valeur absolue de x égale 5 signifie que x = 5 ou x = -5.

Solution :

2) Résoudre |x| = √2

La valeur absolue de x égale √2 signifie que x = √2 ou x = -√2.

Solution :

3) Résoudre |x| = -π

Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Comme -π < 0, cette équation n'a pas de solution.

Solution :

Compléter par (avec 0 < a < b < 3) :

Comme 0 < a < b, on a √a < √b (la fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[).

Réponse : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sqrt{a}<sqrt{b}" alt="sqrt{a}

2) $frac{1}{sqrt{a}}...frac{1}{sqrt{b}}$

Comme 0 < a < b, on a √a < √b, donc frac{1}{sqrt{b}} » alt= »frac{1}{sqrt{a}}>frac{1}{sqrt{b}} »> (la fonction inverse change le sens des inégalités).

Comme 0 < a < b, on a |a| = a et |b| = b, donc |a| < |b|.

Comme 0 < a < b, on a a² < b² (la fonction carré est croissante sur [0;+∞[).

5) $frac{1}{a^2}...frac{1}{b^2}$

Comme 0 < a < b, on a a² < b², donc frac{1}{b^2} » alt= »frac{1}{a^2}>frac{1}{b^2} »>

6) $frac{-4}{a^2}...frac{-4}{b^2}$

Comme frac{1}{b^2} » alt= »frac{1}{a^2}>frac{1}{b^2} »>, en multipliant par -4 (négatif), on obtient <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{-4}{a^2}<frac{-4}{b^2}" alt="frac{-4}{a^2}

Comme √a < √b, on a √a – 1 < √b – 1.

Comme 0 < a < b < 3, on a a – 3 < 0 et b – 3 < 0, donc |a – 3| = 3 – a et |b – 3| = 3 – b.

Puisque a 3 – b, donc |a – 3| > |b – 3|.

Comme 0 < a < b 0 et 3 – b > 0, donc |3 – a| = 3 – a et |3 – b| = 3 – b.

Puisque a 3 – b, donc |3 – a| > |3 – b|.

10)

Comme |a| -2|b|.

Exercice 9 – fonction linéaire, affine et inverse.

Première partie : Fonction croissante sur un intervalle I

Une fonction croissante a une dérivée positive (ou nulle). Pour les fonctions affines , le coefficient directeur donne le sens de variation.

1) : coefficient directeur = 1 > 0 → croissante

2) : coefficient directeur = 1 > 0 → croissante

3) : coefficient directeur = -3 < 0 → décroissante

4) : coefficient directeur = -7 < 0 → décroissante

5) : coefficient directeur = -2 < 0 → décroissante

6) : coefficient directeur = 4 > 0 → croissante

Deuxième partie : Fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle I

Une fonction est strictement positive si elle est toujours supérieure à 0, et décroissante si sa dérivée est négative.

1) $frac{1}{u}$ : Si 0″ alt= »u>0″>, alors 0″ alt= »frac{1}{u}>0″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{d}{du}(frac{1}{u})=-frac{1}{u^2}<0" alt="frac{d}{du}(frac{1}{u})=-frac{1}{u^2} → strictement positive et décroissante

2) $-frac{2}{u}$ : Si 0″ alt= »u>0″>, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-frac{2}{u}<0" alt="-frac{2}{u} → strictement négative

3) : Si 0″ alt= »u>0″>, alors 0″ alt= »sqrt{u}>0″> et 0″ alt= »frac{d}{du}(sqrt{u})=frac{1}{2sqrt{u}}>0″> → strictement positive et croissante

Exercice 10 – encadrement d’un nombre.

1) Comparaisons :

1) Comparons 0,3 ; et $0{,}3^2$

On a : $0{,}3^2=0{,}09$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<0{,}3<1" alt="0<0{,}3, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}3^2<0{,}3<sqrt{0{,}3}" alt="0{,}3^2<0{,}3

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}09<0{,}3<sqrt{0{,}3}" alt="0{,}09<0{,}3

2) Comparons 1,2 ; et $1{,}2^2$

On a : $1{,}2^2=1{,}44$

Comme 1″ alt= »1{,}2>1″>, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sqrt{1{,}2}<1{,}2<1{,}2^2" alt="sqrt{1{,}2}<1{,}2

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sqrt{1{,}2}<1{,}2<1{,}44" alt="sqrt{1{,}2}<1{,}2

2) Encadrements de :

1) Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<x<4" alt="0<x, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<sqrt{x}<2" alt="0<sqrt{x}

2) Si $0leq xleq 0{,}04$ , alors $0leqsqrt{x}leq 0{,}2$

3) Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1leq x<9times 10^6" alt="1leq x, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1leqsqrt{x}<3000" alt="1leqsqrt{x}

3) Encadrements avec $0leq xleq 9$ :

1) : $0leqsqrt{x}leq 3$ , donc $-5leqsqrt{x}-5leq -2$

2) : $0leqsqrt{x}leq 3$ , donc $0leq 2sqrt{x}leq 6$

Ainsi : $-5leq -2sqrt{x}+1leq 1$

3) : $1leq 10-xleq 10$ , donc

4) : $1leqsqrt{x}+1leq 4$ , donc $1leqsqrt{sqrt{x}+1}leq 2$

5) $-sqrt{x^2+19}$ : $19leq x^2+19leq 100$ , donc $sqrt{19}leqsqrt{x^2+19}leq 10$

Ainsi : $-10leq -sqrt{x^2+19}leq -sqrt{19}$

4) Comparaison de X et Y :

1) On a et

Calculons

Comme 0″ alt= »a>0″> et 0″ alt= »b>0″>, on a

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