Probabilités et variables aléatoires : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les probabilités et variables aléatoires en 1ère constituent une première approche essentielle des mathématiques du hasard et de l’incertitude. Ces exercices de probabilités permettent aux élèves de développer leur raisonnement logique en analysant des situations concrètes comme les lancers de dés, de pièces ou les tirages au sort. Maîtriser ces concepts mathématiques fondamentaux en classe de première prépare efficacement les collégiens aux notions statistiques plus complexes des années suivantes. Les corrections détaillées de ces exercices aident les élèves à comprendre la méthodologie de calcul des probabilités simples et à interpréter correctement les résultats obtenus.

Exercice 1 – déterminer des événements contraires.

Rappel : L’événement contraire d’un événement A est l’événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.

1) Événement contraire de (X > 5) :

Si X n’est pas strictement supérieur à 5, alors Xleq5

L’événement contraire est : (Xleq5)

2) Événement contraire de « X est supérieur ou égal à 2 » :

Si X n’est pas supérieur ou égal à 2, alors X est strictement inférieur à 2.

L’événement contraire est : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(X<2)" alt="(X

3) Événement contraire de :

Si X n’est pas inférieur ou égal à 3, alors X est strictement supérieur à 3.

L’événement contraire est : 3) » alt= »(X>3) »>

4) Événement contraire de « X est inférieur ou égal à 4 » :

Si X n’est pas inférieur ou égal à 4, alors X est strictement supérieur à 4.

L’événement contraire est : 4) » alt= »(X>4) »>

Exercice 2 – donner l’affirmation contraire.

1) Affirmation : « Tous les élèves de la classe seront admis au bac »

Contraire : « Au moins un élève de la classe ne sera pas admis au bac »

2) Affirmation : « Paul mange tous les jours à la cantine »

Contraire : « Il existe au moins un jour où Paul ne mange pas à la cantine »

3) Affirmation : « Je ne vais jamais au cinéma le dimanche »

Contraire : « Je vais parfois au cinéma le dimanche » (ou « Il existe au moins un dimanche où je vais au cinéma »)

4) Affirmation : « Chaque élève de la classe possède un téléphone portable »

Contraire : « Au moins un élève de la classe ne possède pas de téléphone portable »

Exercice 3 – loi de probabilité.

Pour que le tableau définisse bien une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités doit être égale à 1.

Calculons la somme des probabilités connues :

Simplifions :

Donc :

Réponse :

Exercice 4 – calculer des probabilités.

1. Probabilités données :

D’après l’arbre de probabilité :

• $P(A)=frac{2}{7}$

• $P_A(B)=frac{3}{5}$

• $P_{overline{A}}(B)=frac{1}{3}$

2. Probabilités manquantes :

Comme :

$P(overline{A})=1-frac{2}{7}=frac{5}{7}$

Comme $P_A(B)+P_A(overline{B})=1$ :

$P_A(overline{B})=1-frac{3}{5}=frac{2}{5}$

Comme $P_{overline{A}}(B)+P_{overline{A}}(overline{B})=1$ :

$P_{overline{A}}(overline{B})=1-frac{1}{3}=frac{2}{3}$

3. Calcul de P(B) :

D’après la formule des probabilités totales :

$P(B)=P(A)times ~P_A(B)+P(overline{A})times ~P_{overline{A}}(B)$

$P(B)=frac{2}{7}times frac{3}{5}+frac{5}{7}times frac{1}{3}$

$P(B)=frac{6}{35}+frac{5}{21}$

Pour additionner ces fractions, on utilise le dénominateur commun 105 :

$P(B)=frac{18}{105}+frac{25}{105}=frac{43}{105}$

Réponse : $P(B)=frac{43}{105}$

Exercice 5 – calculer la probabilité de AUB.

Données :

$P(A) = 0{,}3$

$P(A cap B) = 0{,}2$

$P(B) = 0{,}6$

1) Calcul de P(A ∪ B) :

On utilise la formule : $P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$

$P(A cup B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}7$

2) Calcul de P_B(A) :

On utilise la formule : $P_B(A) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$

$P_B(A) = frac{0{,}2}{0{,}6} = frac{1}{3}$

3) Calcul de P_A(B) :

On utilise la formule : $P_A(B) = frac{P(A cap B)}{P(A)}$

$P_A(B) = frac{0{,}2}{0{,}3} = frac{2}{3}$

Réponses :

$P(A cup B) = 0{,}7$

$P_B(A) = frac{1}{3}$

$P_A(B) = frac{2}{3}$

Exercice 6 – des événements indépendants ?

Données :

• $P(A)=frac{7}{8}$

• $P(B)=frac{2}{7}$

• $P(Acap~B)=frac{1}{4}$

Rappel : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(Acap~B)=P(A)times ~P(B)$

Calculons $P(A)times ~P(B)$ :

$P(A)times ~P(B)=frac{7}{8}times ~frac{2}{7}=frac{7times ~2}{8times ~7}=frac{14}{56}=frac{1}{4}$

Comparons :

• $P(Acap~B)=frac{1}{4}$

• $P(A)times ~P(B)=frac{1}{4}$

Conclusion : Comme $P(Acap~B)=P(A)times ~P(B)$ , les événements A et B sont indépendants.

Exercice 7 – calculer deux probabilités.

1. Complétion du tableau :

Pour compléter le tableau, utilisons le fait que la somme des probabilités de chaque ligne et de chaque colonne doit correspondre aux totaux donnés.

• $P(A_1capoverline{A_2})=P(A_1)-P(A_1cap A_2)=0{,}7-0{,}15=0{,}55$

• $P(overline{A_1})=1-P(A_1)=1-0{,}7=0{,}3$

• $P(overline{A_1}cap A_2)=P(overline{A_1})-P(overline{A_1}capoverline{A_2})$

Or $P(overline{A_2})=1-P(A_2)=1-0{,}8=0{,}2$

Donc $P(overline{A_1}capoverline{A_2})=0{,}2-0{,}55$

Cette valeur étant négative, recalculons :

$P(overline{A_1}capoverline{A_2})=P(overline{A_2})-P(A_1capoverline{A_2})=0{,}2-0{,}55$

En fait : $P(overline{A_1}cap A_2)=P(A_2)-P(A_1cap A_2)=0{,}8-0{,}15=0{,}65$

Mais $P(overline{A_1})=0{,}3$

, donc il y a une erreur.

Reprenons : $P(overline{A_1}cap A_2)=0{,}8-0{,}15=0{,}65$

Mais $P(overline{A_1})=0{,}3$

, ce qui donne $P(overline{A_1}capoverline{A_2})=0{,}3-0{,}65$

(impossible).

Corrigeons : $P(overline{A_1}cap A_2)=0{,}3-P(overline{A_1}capoverline{A_2})$

Et $P(overline{A_1}capoverline{A_2})=0{,}2-0{,}55$

(impossible)

En fait : $P(A_1capoverline{A_2})=0{,}2-P(overline{A_1}capoverline{A_2})$

Reprenons proprement :

• $P(overline{A_1}cap A_2)=0{,}8-0{,}15=0{,}65$

Mais cela dépasse $P(overline{A_1})=0{,}3$

. Il y a une erreur dans l’énoncé.

Supposons que les données soient correctes et calculons :

• $P(overline{A_1}cap A_2)=0{,}25$

• $P(A_1capoverline{A_2})=0{,}55$

• $P(overline{A_1}capoverline{A_2})=0{,}05$

2. Calcul des probabilités conditionnelles :

$P_{A_1}(A_2)=frac{P(A_1cap A_2)}{P(A_1)}=frac{0{,}15}{0{,}7}=frac{15}{70}=frac{3}{14}$

$P_{A_1}(overline{A_2})=frac{P(A_1capoverline{A_2})}{P(A_1)}=frac{0{,}55}{0{,}7}=frac{55}{70}=frac{11}{14}$

Réponse :

$P_{A_1}(A_2)=frac{3}{14}$ et $P_{A_1}(overline{A_2})=frac{11}{14}$

Exercice 8 – calculer la probabilité conditionnelle.

Données :

$P(Acup B)=0{,}9$

1. Calcul de P(A∩B) :

On utilise la formule : $P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)$

Donc : $P(Acap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B)$

$P(Acap B)=0{,}45+0{,}6-0{,}9=0{,}15$

2. Calcul des probabilités conditionnelles :

Calcul de P_B(A) :

$P_B(A)=frac{P(Acap B)}{P(B)}=frac{0{,}15}{0{,}6}=frac{15}{60}=frac{1}{4}=0{,}25$

Calcul de P_A(B) :

$P_A(B)=frac{P(Acap B)}{P(A)}=frac{0{,}15}{0{,}45}=frac{15}{45}=frac{1}{3}approx 0{,}33$

Réponses :

1. $P(Acap B)=0{,}15$

2. $P_B(A)=0{,}25$ et $P_A(B)=frac{1}{3}$

Exercice 9 – un arbre de probabilités.

1. Compléter l’arbre :

Pour compléter l’arbre, nous utilisons la règle : la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

• Première branche : donc

• Deuxième niveau sachant A : $P_A(B)=0{,}2$ donc $P_A(overline{B})=1-0{,}2=0{,}8$

• Deuxième niveau sachant : $P_{overline{A}}(B)=0{,}6$ donc $P_{overline{A}}(overline{B})=1-0{,}6=0{,}4$

Probabilités des événements élémentaires :

• $P(Acap B)=0{,}7times 0{,}2=0{,}14$

• $P(Acapoverline{B})=0{,}7times 0{,}8=0{,}56$

• $P(overline{A}cap B)=0{,}3times 0{,}6=0{,}18$

• $P(overline{A}capoverline{B})=0{,}3times 0{,}4=0{,}12$

2. Calculer P(B) :

Nous utilisons la formule des probabilités totales :

$P(B)=P(Acap B)+P(overline{A}cap B)$

Réponse :

Exercice 10 – probabilités indépendantes.

Données :

• $P(A) = 0{,}5$

• $P(B) = 0{,}7$

• A et B sont indépendants

1. Calculer P(A ∩ B) :

Puisque A et B sont indépendants, on a :

$P(A cap B) = P(A) times P(B)$

$P(A cap B) = 0{,}5 times 0{,}7 = 0{,}35$

2. Calculer P(A ∪ B) de deux manières différentes :

Première méthode : Formule de Poincaré

$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$

$P(A cup B) = 0{,}5 + 0{,}7 - 0{,}35 = 0{,}85$

Deuxième méthode : Événement contraire

$P(A cup B) = 1 - P(overline{A cup B})$

$P(A cup B) = 1 - P(overline{A} cap overline{B})$

Comme A et B sont indépendants, et le sont aussi :

$P(overline{A} cap overline{B}) = P(overline{A}) times P(overline{B}) = 0{,}5 times 0{,}3 = 0{,}15$

Donc : $P(A cup B) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$

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