Vecteurs et droites du plan : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les vecteurs et droites du plan constituent un chapitre fondamental des mathématiques en 1ère, introduisant les élèves aux concepts géométriques essentiels du collège. Cette leçon développe la représentation dans l’espace, le repérage de points et la compréhension des relations géométriques entre droites parallèles, sécantes et perpendiculaires. Nos exercices corrigés de géométrie permettent aux collégiens de maîtriser progressivement le tracé de vecteurs, le calcul de coordonnées et l’analyse des propriétés des droites dans le plan. Ces compétences mathématiques sont indispensables pour réussir en géométrie et préparer les apprentissages plus complexes des classes supérieures.

Exercice 1 – déterminer si les droites sont parallèles.

Méthode : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Pour une droite passant par deux points, le coefficient directeur est : $m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

1) A(3;-2), B(-1;-1), C(-3;2) et D(1;3)

Coefficient directeur de (AB) : $m_{AB}=frac{-1-(-2)}{-1-3}=frac{1}{-4}=-frac{1}{4}$

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD}=frac{3-2}{1-(-3)}=frac{1}{4}$

$m_{AB}neq m_{CD}$ donc les droites ne sont pas parallèles.

2) A(-9;-2), B(1;3), C(3;-2) et D(1;-3)

Coefficient directeur de (AB) : $m_{AB}=frac{3-(-2)}{1-(-9)}=frac{5}{10}=frac{1}{2}$

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD}=frac{-3-(-2)}{1-3}=frac{-1}{-2}=frac{1}{2}$

$m_{AB}=m_{CD}=frac{1}{2}$ donc les droites sont parallèles.

3) A(-1;2), B(-1;3), C(3;2) et D(4;2)

Pour (AB) : donc (AB) est verticale.

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD}=frac{2-2}{4-3}=frac{0}{1}=0$ donc (CD) est horizontale.

Une droite verticale et une droite horizontale ne sont pas parallèles.

4) A(-1/2;7/5), B(3/5;3), C(9/5;-1) et D(-6/5;-2)

Coefficient directeur de (AB) : $m_{AB}=frac{3-frac{7}{5}}{frac{3}{5}-(-frac{1}{2})}=frac{frac{15-7}{5}}{frac{6+5}{10}}=frac{frac{8}{5}}{frac{11}{10}}=frac{8}{5}times frac{10}{11}=frac{16}{11}$

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD}=frac{-2-(-1)}{-frac{6}{5}-frac{9}{5}}=frac{-1}{-frac{15}{5}}=frac{-1}{-3}=frac{1}{3}$

$m_{AB}neq m_{CD}$ donc les droites ne sont pas parallèles.

5) A(14;4), B(-18;-12), C(2;4) et D(-18;-4)

Coefficient directeur de (AB) : $m_{AB}=frac{-12-4}{-18-14}=frac{-16}{-32}=frac{1}{2}$

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD}=frac{-4-4}{-18-2}=frac{-8}{-20}=frac{2}{5}$

$m_{AB}neq m_{CD}$ donc les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 2 – montrer que des droites sont parallèles.

Méthode : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (même pente).

1) E(2 ; 6), H(10 ; 6), C(1 ; 1) et D(9 ; -1)

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD} = frac{-1-1}{9-1} = frac{-2}{8} = -frac{1}{4}$

Coefficient directeur de (EH) : $m_{EH} = frac{6-6}{10-2} = frac{0}{8} = 0$

$m_{CD} neq m_{EH}$ donc les droites ne sont pas parallèles.

2) E(-3 ; 10), H(-3 ; 2), C(4 ; 7) et D(4 ; 8)

La droite (EH) est verticale (abscisses identiques : -3)

La droite (CD) est verticale (abscisses identiques : 4)

Deux droites verticales sont parallèles. Les droites sont parallèles.

3) E(2 ; 3), H(3 ; 9/2), C(-3 ; 2) et D(-1 ; 5)

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD} = frac{5-2}{-1-(-3)} = frac{3}{2}$

Coefficient directeur de (EH) : $m_{EH} = frac{frac{9}{2}-3}{3-2} = frac{frac{3}{2}}{1} = frac{3}{2}$

$m_{CD} = m_{EH} = frac{3}{2}$ donc les droites sont parallèles.

4) E(-2/3 ; -3/4), H(1 ; -2), C(1 ; -1) et D(9 ; -7)

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD} = frac{-7-(-1)}{9-1} = frac{-6}{8} = -frac{3}{4}$

Coefficient directeur de (EH) : $m_{EH} = frac{-2-(-frac{3}{4})}{1-(-frac{2}{3})} = frac{-frac{5}{4}}{frac{5}{3}} = -frac{5}{4} times frac{3}{5} = -frac{3}{4}$

$m_{CD} = m_{EH} = -frac{3}{4}$ donc les droites sont parallèles.

5) E(√2 ; 1/√3), H(0 ; 2/√3), C(√3 ; √2) et D(-√3 ; 0)

Coefficient directeur de (CD) : $m_{CD} = frac{0-sqrt{2}}{-sqrt{3}-sqrt{3}} = frac{-sqrt{2}}{-2sqrt{3}} = frac{sqrt{2}}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{6}$

Coefficient directeur de (EH) : $m_{EH} = frac{frac{2}{sqrt{3}}-frac{1}{sqrt{3}}}{0-sqrt{2}} = frac{frac{1}{sqrt{3}}}{-sqrt{2}} = -frac{1}{sqrt{2}sqrt{3}} = -frac{sqrt{6}}{6}$

$m_{CD} neq m_{EH}$ donc les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 3 – déterminer si des points sont alignés.

Méthode : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs vec{AB} et vec{AC} sont colinéaires.

1) A(-9 ; 4), B(1 ; -1) et C(4 ; -2)

$vec{AB}(1-(-9) ; -1-4) = vec{AB}(10 ; -5)$

$vec{AC}(4-(-9) ; -2-4) = vec{AC}(13 ; -6)$

Vérifions si $vec{AC} = kvec{AB}$ :

$frac{13}{10} = 1{,}3$ et $frac{-6}{-5} = 1{,}2$

Les rapports sont différents donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2) A(-4 ; 0), B(-2 ; 1) et C(3 ; 7/2)

$vec{AB}(-2-(-4) ; 1-0) = vec{AB}(2 ; 1)$

$vec{AC}(3-(-4) ; frac{7}{2}-0) = vec{AC}(7 ; frac{7}{2})$

Vérifions si $vec{AC} = kvec{AB}$ :

$frac{7}{2} = 3{,}5$ et $frac{frac{7}{2}}{1} = 3{,}5$

Les rapports sont égaux donc les points A, B et C sont alignés.

3) A(-4 ; 4), B(-4 ; 6) et C(-3 ; 2)

$vec{AB}(-4-(-4) ; 6-4) = vec{AB}(0 ; 2)$

$vec{AC}(-3-(-4) ; 2-4) = vec{AC}(1 ; -2)$

Le vecteur vec{AB} a une abscisse nulle alors que vec{AC} a une abscisse non nulle.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Exercice 4 – vecteurs colinéaires.

Rappel : Deux vecteurs vec{u} et vec{v} sont colinéaires s’il existe un nombre réel tel que .

1) $vec{u}begin{pmatrix}3\-2end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}-11\5end{pmatrix}$

Si , alors : -11=3k donc $k=-frac{11}{3}$

Vérifions avec la deuxième composante : $5=-2k=-2times left(-frac{11}{3}right)=frac{22}{3}$

Or $5neqfrac{22}{3}$ . Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) $vec{a}begin{pmatrix}frac{5}{2}\frac{1}{3}end{pmatrix}$ et $vec{b}begin{pmatrix}15\frac{4}{9}\frac{9}{2}end{pmatrix}$

Les vecteurs n’ont pas la même dimension (2D et 3D), ils ne peuvent pas être colinéaires.

3) $vec{r}begin{pmatrix}-sqrt{2}\-3end{pmatrix}$ et $vec{s}begin{pmatrix}-2\-3sqrt{2}end{pmatrix}$

Si , alors : $-2=ktimes (-sqrt{2})$ donc $k=frac{-2}{-sqrt{2}}=frac{2}{sqrt{2}}=sqrt{2}$

Vérifions : $-3sqrt{2}=sqrt{2}times (-3)=-3sqrt{2}$ ✓

Les vecteurs sont colinéaires avec .

4) $vec{a}begin{pmatrix}3\frac{2}{5}\frac{12}{5}end{pmatrix}$ et $vec{u}begin{pmatrix}frac{14}{5}\6\frac{6}{7}end{pmatrix}$

Si , alors : $frac{14}{5}=3k$ donc $k=frac{14}{15}$

Vérifions avec la deuxième composante : $6=ktimes frac{2}{5}=frac{14}{15}times frac{2}{5}=frac{28}{75}$

Or $6neqfrac{28}{75}$ . Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

5) $vec{b}begin{pmatrix}sqrt{5}\-4sqrt{3}end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}sqrt{20}\-sqrt{24}end{pmatrix}$

Simplifions vec{v} : $sqrt{20}=sqrt{4times 5}=2sqrt{5}$ et $sqrt{24}=sqrt{4times 6}=2sqrt{6}$

Donc $vec{v}begin{pmatrix}2sqrt{5}\-2sqrt{6}end{pmatrix}$

Si , alors : donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.

Exercice 5 – vérifier si des points sont alignés.

Méthode : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs vec{AB} et vec{AC} sont colinéaires, c’est-à-dire si $x_Btimes y_C - y_Btimes x_C = x_Atimes (y_B - y_C) + y_Atimes (x_C - x_B)$ .

1) F( $frac{2}{3}$ ; 1), G(-2 ; $frac{1}{3}$ ) et H(5 ; 2)

$vec{FG} = (-2 - frac{2}{3} ; frac{1}{3} - 1) = (-frac{8}{3} ; -frac{2}{3})$

$vec{FH} = (5 - frac{2}{3} ; 2 - 1) = (frac{13}{3} ; 1)$

Déterminant : $(-frac{8}{3}) times 1 - (-frac{2}{3}) times frac{13}{3} = -frac{8}{3} + frac{26}{9} = -frac{24}{9} + frac{26}{9} = frac{2}{9} neq 0$

Les points F, G et H ne sont pas alignés.

2) B(0 ; 0), C( sqrt{2} ; sqrt{6} ) et D(4 ; 4 sqrt{3} )

$vec{BC} = (sqrt{2} ; sqrt{6})$

$vec{BD} = (4 ; 4sqrt{3})$

Déterminant : $sqrt{2} times 4sqrt{3} - sqrt{6} times 4 = 4sqrt{6} - 4sqrt{6} = 0$

Les points B, C et D sont alignés.

3) E(1 ; 2), F(-3 ; 8,28) et G(3 ; 2 – π)

$vec{EF} = (-4 ; 6{,}28)$

$vec{EG} = (2 ; -pi)$

Déterminant : $(-4) times (-pi) - 6{,}28 times 2 = 4pi - 12{,}56 approx 12{,}57 - 12{,}56 neq 0$

Les points E, F et G ne sont pas alignés.

4) A(-6 ; 4), B( $sqrt{2} - 2$ ; ) et D( $sqrt{5} - 2$ ; )

$vec{AB} = (sqrt{2} + 4 ; -sqrt{2} - 4)$

$vec{AD} = (sqrt{5} + 4 ; -sqrt{5} - 4)$

On remarque que $vec{AB} = (sqrt{2} + 4)(1 ; -1)$ et $vec{AD} = (sqrt{5} + 4)(1 ; -1)$

Les points A, B et D sont alignés.

5) C(π ; π), D(1 ; 2 – π) et H(π – 4 ; π – 2)

$vec{CD} = (1 - pi ; 2 - 2pi)$

$vec{CH} = (-4 ; -2)$

On remarque que $vec{CD} = 2(frac{1-pi}{2} ; 1-pi)$ et $vec{CH} = -2(2 ; 1)$

Déterminant : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi

Exercice 6 – vecteurs colinéaires et parallélogramme.

1) Vérification de la colinéarité des vecteurs

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.

Cherchons un réel k tel que .

Cela revient à résoudre : $begin{pmatrix}-3end{pmatrix}=kbegin{pmatrix}0\1end{pmatrix}$

Ce qui donne le système : $begin{cases}-3=ktimes 0=ktimes 1end{cases}$

De la première équation : -3=0 , ce qui est impossible.

Réponse 1 : FAUX – Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) Condition pour qu’ABCD soit un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme si et seulement si .

Si , alors .

Donc (sauf cas particulier où les vecteurs sont nuls).

Réponse 2 : FAUX – Cette condition ne garantit pas un parallélogramme.

3) Position du point E

Si $vec{EF}=frac{5}{6}vec{FG}$ , alors :

$vec{EG}=vec{EF}+vec{FG}=frac{5}{6}vec{FG}+vec{FG}=frac{11}{6}vec{FG}$

Comme 1″ alt= »frac{11}{6}>1″>, le point E n’appartient pas au segment [FG].

Réponse 3 : FAUX – E n’est pas un point du segment [FG].

4) Colinéarité des vecteurs paramétrés

Les vecteurs $begin{pmatrix}sqrt{2}\xend{pmatrix}$ et $begin{pmatrix}sqrt{18}\3xend{pmatrix}$ sont colinéaires s’il existe k tel que :

$begin{pmatrix}sqrt{18}\3xend{pmatrix}=kbegin{pmatrix}sqrt{2}\xend{pmatrix}$

Cela donne : et 3x=kx

De la première équation : $k=frac{sqrt{18}}{sqrt{2}}=sqrt{frac{18}{2}}=sqrt{9}=3$

De la deuxième équation : 3x=3x , ce qui est toujours vrai.

Réponse 4 : VRAI – Les vecteurs sont colinéaires pour tout réel x.

Exercice 7 – déterminer les valeurs de x pour que les vecteurs soient colinéaires.

Rappel : Deux vecteurs vec{u} et vec{v} sont colinéaires si et seulement si avec ou si le déterminant est nul : .

1) $vec{u}begin{pmatrix}frac{2x+1}{2}\1end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}-1\3end{pmatrix}$

Déterminant : $frac{2x+1}{2}times 3-1times (-1)=0$

$frac{3(2x+1)}{2}+1=0$

$frac{6x+3}{2}+1=0$

$frac{6x+3+2}{2}=0$

6x+5=0

Réponse : $x=-frac{5}{6}$

2) $vec{u}begin{pmatrix}3\xend{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}x\frac{3}{4}end{pmatrix}$

Déterminant : $3times frac{3}{4}-xtimes x=0$

$frac{9}{4}-x^2=0$

$x^2=frac{9}{4}$

Réponse : $x=frac{3}{2}$ ou $x=-frac{3}{2}$

3) $vec{u}begin{pmatrix}frac{1}{x}\2end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}3\xend{pmatrix}$ (avec xneq0 )

Déterminant : $frac{1}{x}times x-2times 3=0$

1-6=0

-5=0

Réponse : Aucune valeur de ne convient.

4) $vec{u}begin{pmatrix}frac{x+1}{3}\1end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}2\xend{pmatrix}$

Déterminant : $frac{x+1}{3}times x-1times 2=0$

$frac{x(x+1)}{3}-2=0$

$frac{x^2+x}{3}-2=0$

Discriminant : $Delta=1^2-4times 1times (-6)=1+24=25$

$x=frac{-1pm5}{2}$

Réponse : x=2 ou x=-3

Exercice 8 – déterminer les coordonnées des points d’intersection.

Étape 1 : Déterminer l’équation de la droite (AB)

On calcule le coefficient directeur de la droite (AB) :

$m=frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=frac{4-(-1)}{-7-7}=frac{5}{-14}=-frac{5}{14}$

L’équation de la droite (AB) est de la forme y=mx+p .

En utilisant le point A(7 ; -1) :

$-1=-frac{5}{14}times 7+p$

$-1=-frac{5}{2}+p$

$p=-1+frac{5}{2}=frac{3}{2}$

L’équation de la droite (AB) est : $y=-frac{5}{14}x+frac{3}{2}$

Étape 2 : Point d’intersection avec l’axe des abscisses

Sur l’axe des abscisses, y=0 .

$0=-frac{5}{14}x+frac{3}{2}$

$frac{5}{14}x=frac{3}{2}$

$x=frac{3}{2}times frac{14}{5}=frac{21}{5}$

Le point d’intersection avec l’axe des abscisses est : $left(frac{21}{5};0right)$

Étape 3 : Point d’intersection avec l’axe des ordonnées

Sur l’axe des ordonnées, x=0 .

$y=-frac{5}{14}times 0+frac{3}{2}=frac{3}{2}$

Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées est : $left(0;frac{3}{2}right)$

Réponse : La droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point $left(frac{21}{5};0right)$ et l’axe des ordonnées au point $left(0;frac{3}{2}right)$ .

Exercice 9 – montrer que les vecteurs sont colinéaires avec la relation de Chasles.

1) $vec{u}=4vec{AB}-frac{1}{3}vec{AC}$ et

Calculons 3vec{u} :

$3vec{u}=3left(4vec{AB}-frac{1}{3}vec{AC}right)=12vec{AB}-vec{AC}$

Donc : les vecteurs sont colinéaires.

2) $vec{u}=frac{2}{3}vec{AB}+frac{5}{6}vec{AC}$ et $vec{v}=3vec{AB}+frac{15}{4}vec{AC}$

Calculons $frac{9}{2}vec{u}$ :

$frac{9}{2}vec{u}=frac{9}{2}left(frac{2}{3}vec{AB}+frac{5}{6}vec{AC}right)=frac{9}{2}times frac{2}{3}vec{AB}+frac{9}{2}times frac{5}{6}vec{AC}$

$frac{9}{2}vec{u}=3vec{AB}+frac{15}{4}vec{AC}=vec{v}$

Donc $vec{v}=frac{9}{2}vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.

3) $vec{u}=frac{5}{4}vec{CA}+frac{15}{2}vec{AB}$ et

Réécrivons vec{u} en utilisant :

$vec{u}=frac{5}{4}(-vec{AC})+frac{15}{2}vec{AB}=frac{15}{2}vec{AB}-frac{5}{4}vec{AC}$

Calculons $-frac{4}{5}vec{u}$ :

$-frac{4}{5}vec{u}=-frac{4}{5}left(frac{15}{2}vec{AB}-frac{5}{4}vec{AC}right)=-6vec{AB}+vec{AC}=vec{v}$

Donc $vec{v}=-frac{4}{5}vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.

Exercice 10 – relation de Chasles et colinéarité.

Données : On a $vec{AM} = kvec{AB}$ où est un réel.

1) Pour que A soit le milieu de [MB] :

Si A est le milieu de [MB], alors $vec{AM} = vec{MB}$ .

Par la relation de Chasles : $vec{MB} = vec{MA} + vec{AB} = -vec{AM} + vec{AB}$

Donc : $vec{AM} = -vec{AM} + vec{AB}$

$2vec{AM} = vec{AB}$

$vec{AM} = frac{1}{2}vec{AB}$

Par comparaison avec $vec{AM} = kvec{AB}$ , on obtient : $k = frac{1}{2}$

2) Pour que M soit sur le cercle de centre B et de rayon 2AB :

Si M est sur ce cercle, alors $BM = 2AB$ .

Par la relation de Chasles : $vec{BM} = vec{BA} + vec{AM} = -vec{AB} + kvec{AB} = (k-1)vec{AB}$

Donc : $BM = |k-1| times AB$

Pour que $BM = 2AB$ , il faut : $|k-1| = 2$

Donc : $k-1 = 2$ ou $k-1 = -2$

D’où : $k = 3$ ou $k = -1$

3) Pour que M appartienne à (BA) :

M appartient à la droite (BA) si et seulement si les vecteurs vec{BM} et vec{BA} sont colinéaires.

On a : $vec{BM} = (k-1)vec{AB}$ et $vec{BA} = -vec{AB}$

Ces vecteurs sont toujours colinéaires car $vec{BM} = -(k-1)vec{BA}$

Donc M appartient à (BA) pour toute valeur de $k in mathbb{R}$ .

Réponses :

1) $k = frac{1}{2}$

2) $k = 3$ ou $k = -1$

3) Pour tout $k in mathbb{R}$

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