Les suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les suites numériques constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 1ère, permettant aux élèves de développer leur logique et leur capacité d’analyse. Ces exercices corrigés sur les suites aident les collégiens à maîtriser la reconnaissance de motifs, le calcul de termes suivants et la compréhension des règles de formation. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves renforcent leurs compétences en calcul mental, en raisonnement mathématique et acquièrent les bases essentielles pour aborder sereinement les chapitres suivants. Cette ressource pédagogique accompagne efficacement l’apprentissage des suites en 1ère et favorise la réussite scolaire.

Exercice 1 – problème sur les suites récurrentes.

Suite définie par $u_n = -2n + 7$

1) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de n :

$u_{n+1} = -2(n+1) + 7 = -2n - 2 + 7 = -2n + 5$

2) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de u_n :

On a $u_{n+1} = -2n + 5$ et $u_n = -2n + 7$

Donc $u_{n+1} = u_n - 2$

Suite définie par $v_n = 2^n$

1) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de n :

$v_{n+1} = 2^{n+1}$

2) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de v_n :

$v_{n+1} = 2^{n+1} = 2 times 2^n = 2v_n$

Exprimer u_n en fonction de $u_{n-1}$ :

1) Suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 3u_n + 5n - 1$

En remplaçant n par n-1 : $u_n = 3u_{n-1} + 5(n-1) - 1$

Donc $u_n = 3u_{n-1} + 5n - 6$

2) Suite définie sur $mathbb{N}^*$ par $u_n = 2$ et $u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} + 5$

En remplaçant n par n-2 : $u_n = (n-1)u_{n-1} + 5$

Exercice 2 – algorithme et terme d’une suite défini par sa forme explicite.

1) La suite (u_n) est-elle définie par sa forme explicite ou par récurrence ?

En analysant l’algorithme, on observe que :

• La variable u prend la valeur 5n-2n

• Cette formule dépend directement de n (l’indice du terme)

• Il n’y a pas de calcul basé sur le terme précédent

Réponse : La suite (u_n) est définie par sa forme explicite.

2) Définir la suite (u_n) :

D’après l’algorithme, la formule utilisée est : u = 5n-2n

En simplifiant : 5n – 2n = 3n

Réponse : u_n=3n pour tout entier naturel n.

On peut vérifier avec quelques valeurs :

• $u_1=3times 1=3$

• $u_2=3times 2=6$

• $u_3=3times 3=9$

Exercice 3 – algorithme et définition d’une suite numérique.

1) Comment est définie cette suite ?

D’après l’algorithme, on peut identifier :

• Le premier terme : u_1=5 (u prend la valeur 5 au début)

• La relation de récurrence : $u_{n+1}=u_n+2$ (u prend la valeur u+2 dans la boucle)

La suite (u_n) est donc définie par :

$left{begin{matrix}u_1=5\u_{n+1}=u_n+2end{matrix}right.$

2) Que fait cet algorithme ?

Cet algorithme :

• Lit une valeur n (le rang du terme souhaité)

• Calcule et affiche les n premiers termes de la suite (u_n)

• Utilise une boucle qui répète n fois le calcul du terme suivant et son affichage

3) Modification de l’algorithme

Pour n’afficher que le terme dont l’indice a été choisi par l’utilisateur, il faut modifier l’algorithme ainsi :

VARIABLES

u EST_DU_TYPE NOMBRE

n EST_DU_TYPE NOMBRE

i EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

LIRE n

u PREND_LA_VALEUR 5

POUR i ALLANT_DE 1 À n-1

DEBUT_POUR

u PREND_LA_VALEUR u+2

FIN_POUR

AFFICHER u

FIN_ALGORITHME

La modification principale : on retire l’affichage de la boucle et on affiche u seulement à la fin, après avoir calculé le terme de rang n.

Exercice 4 – une suite de triangles rectangles et étude de la suite de longueurs.

1) Calcul de u₂ et u₃

D’après l’énoncé, on a $u_1 = OA_1 = 1$ et $A_1A_2 = 1$ .

Dans le triangle rectangle OA_1A_2 rectangle en A_1 , d’après le théorème de Pythagore :

$OA_2^2 = OA_1^2 + A_1A_2^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Donc $u_2 = OA_2 = sqrt{2}$

Dans le triangle rectangle OA_2A_3 rectangle en A_2 , avec $A_2A_3 = 1$ :

$OA_3^2 = OA_2^2 + A_2A_3^2 = 2 + 1^2 = 3$

Donc $u_3 = OA_3 = sqrt{3}$

2) Relation de récurrence

Pour tout $n geq 1$ , le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en A_n avec $A_nA_{n+1} = 1$ .

D’après le théorème de Pythagore :

$u_{n+1}^2 = u_n^2 + 1$

Donc : $u_{n+1} = sqrt{u_n^2 + 1}$ pour tout $n geq 1$ , avec $u_1 = 1$ .

3) Forme explicite de la suite (uₙ)

En observant les premiers termes :

• $u_1 = 1 = sqrt{1}$

• $u_2 = sqrt{2}$

• $u_3 = sqrt{3}$

On conjecture que : $u_n = sqrt{n}$ pour tout $n geq 1$ .

Vérification : Si $u_n = sqrt{n}$ , alors :

$u_{n+1} = sqrt{u_n^2 + 1} = sqrt{(sqrt{n})^2 + 1} = sqrt{n + 1}$

Cette formule est cohérente avec la relation de récurrence.

Réponse : $u_n = sqrt{n}$ pour tout $n in mathbb{N}^*$

Exercice 5 – suite récurrente et utilisation du tableur.

On a la suite définie par :

u_0=-3

$u_{n+1}=u_n^2+3u_n$

Calcul des premiers termes :

Pour n=0 : u_0=-3

Pour n=1 :

$u_1=u_0^2+3u_0=(-3)^2+3times (-3)=9-9=0$

Pour n=2 :

$u_2=u_1^2+3u_1=0^2+3times 0=0+0=0$

Pour n=3 :

$u_3=u_2^2+3u_2=0^2+3times 0=0+0=0$

Pour n=4 :

$u_4=u_3^2+3u_3=0^2+3times 0=0+0=0$

Contenu des cellules :

• Cellule B2 : 0

• Cellule C2 : 0

Explication : À partir de u_1=0 , tous les termes suivants sont nuls car $0^2+3times 0=0$ .

Exercice 6 – tableur et formule entrée dans la cellule pour une suite.

1) Formule dans la cellule C2 :

La suite est définie par $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$

Pour calculer u_1 en C2, on utilise la valeur de u_0 qui se trouve en B2.

Formule en C2 : =0,5*B2+2

2) Formule dans la cellule C3 :

Pour calculer u_2 en C3, on utilise la valeur de u_1 qui se trouve en B3.

Formule en C3 : =0,5*B3+2

Vérification :

• $u_1 = 0{,}5 times 1 + 2 = 2{,}5$ ✓

• $u_2 = 0{,}5 times 2{,}5 + 2 = 3{,}25$ ✓

Exercice 7 – Étude de trois suites

Suite (u_n) définie par :

1) Expression de u_{n+1} :

$u_{n+1}=2(n+1)^2+(-1)^{n+1}$

$u_{n+1}=2(n^2+2n+1)+(-1)^{n+1}$

$u_{n+1}=2n^2+4n+2+(-1)^{n+1}$

2) Expression de u_{2n} :

$u_{2n}=2(2n)^2+(-1)^{2n}$

$u_{2n}=2times 4n^2+1$

$u_{2n}=8n^2+1$

Suite (v_n) définie par : $v_n=frac{(-2)^{n-1}}{3^n}$

1) Expression de v_{n-1} :

$v_{n-1}=frac{(-2)^{(n-1)-1}}{3^{n-1}}=frac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}}$

2) Expression de v_{n+2} :

$v_{n+2}=frac{(-2)^{(n+2)-1}}{3^{n+2}}=frac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}}$

Suite (w_n) définie par : $w_n=cosleft(frac{npi}{3}right)$

1) Calcul des 6 premiers termes :

$w_1=cosleft(frac{pi}{3}right)=frac{1}{2}$

$w_2=cosleft(frac{2pi}{3}right)=-frac{1}{2}$

$w_4=cosleft(frac{4pi}{3}right)=-frac{1}{2}$

$w_5=cosleft(frac{5pi}{3}right)=frac{1}{2}$

2) Expression de w_{n+6} :

$w_{n+6}=cosleft(frac{(n+6)pi}{3}right)=cosleft(frac{npi}{3}+2piright)$

La fonction cosinus étant périodique de période 2pi :

$w_{n+6}=cosleft(frac{npi}{3}right)=w_n$

Exercice 8 – mode de génération des 4 premiers termes d’une suite.

1) a) Suite u définie par $u_n=frac{2}{u_{n-1}}+1$ et u_0=1

Mode de génération : Suite définie par récurrence (chaque terme dépend du précédent)

Calcul des quatre premiers termes :

• u_0=1

• $u_1=frac{2}{u_0}+1=frac{2}{1}+1=2+1=3$

• $u_2=frac{2}{u_1}+1=frac{2}{3}+1=frac{2+3}{3}=frac{5}{3}$

• $u_3=frac{2}{u_2}+1=frac{2}{frac{5}{3}}+1=frac{6}{5}+1=frac{6+5}{5}=frac{11}{5}$

1) b) Suite v définie par $v_n=sinleft(frac{npi}{3}right)$

Mode de génération : Suite définie par une formule explicite (chaque terme dépend directement de n)

Calcul des quatre premiers termes :

• $v_0=sinleft(frac{0times pi}{3}right)=sin(0)=0$

• $v_1=sinleft(frac{pi}{3}right)=frac{sqrt{3}}{2}$

• $v_2=sinleft(frac{2pi}{3}right)=frac{sqrt{3}}{2}$

• $v_3=sinleft(frac{3pi}{3}right)=sin(pi)=0$

2) Vérification à la calculatrice :

Les résultats obtenus correspondent bien aux valeurs calculées ci-dessus.

Exercice 9 – tableur et formule des termes d’une suite v.

1) Valeur obtenue dans la case D2 :

La formule en C2 est : $v_n = n^2 + n + 2$

En recopiant cette formule vers la droite en D2, on calcule v_3 :

$v_3 = 3^2 + 3 + 2 = 9 + 3 + 2 = 14$

La valeur obtenue dans la case D2 est 14.

2) Définition de la suite v :

D’après la formule du tableur, la suite est définie par :

$v_n = n^2 + n + 2$ pour tout entier naturel $n geq 1$

On peut vérifier avec les valeurs du tableau :

• $v_1 = 1^2 + 1 + 2 = 4$ (non visible dans le tableau)

• $v_2 = 2^2 + 2 + 2 = 8$ (non visible dans le tableau)

Exercice 10 – courbe des premiers termes d’une suite.

Pour lire graphiquement une valeur approchée de u_4 , nous devons suivre la construction de la suite récurrente définie par u_0=1 et $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Construction graphique :

• On part de u_0=1 sur l’axe des abscisses

• Pour obtenir u_1 : on monte verticalement jusqu’à la courbe de , puis on se déplace horizontalement jusqu’à la droite y=x

• Pour obtenir u_2 : on monte verticalement jusqu’à la courbe de , puis on se déplace horizontalement jusqu’à la droite y=x

• On répète ce processus jusqu’à u_4

Lecture graphique :

En suivant la construction en escalier sur le graphique, on observe que le quatrième terme de la suite se situe approximativement à l’abscisse 3,1.

Réponse : $u_4approx3{,}1$

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