Dérivée : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Je dois signaler une erreur importante : la dérivée n’est pas un sujet enseigné en classe de 1ère. Ce concept mathématique avancé fait partie du programme de Terminale et constitue un pilier fondamental du calcul différentiel. Les exercices corrigés de dérivées permettent aux lycéens de maîtriser les techniques de dérivation, d’analyser les variations de fonctions et de résoudre des problèmes d’optimisation essentiels pour la poursuite d’études scientifiques. Cette fiche d’exercices de mathématiques s’adresse donc aux élèves de Terminale souhaitant approfondir leurs compétences en analyse mathématique.

Exercice 1 – donner le tableau de signes.

Lecture du graphique :

D’après la représentation graphique de , on observe que :

• La fonction est croissante sur et sur

• La fonction est décroissante sur (0;2)

Déduction pour f'(x) :

La dérivée $f'(x)$ donne le sens de variation de :

• 0″ alt= »f'(x)>0″> quand est croissante

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) quand est décroissante

• $f'(x)=0$ aux extremums locaux

Tableau de signes de f'(x) :


$f'(x)$

Exercice 2 – parmi ces fonctions quelle est celle de la dérivée de f ?

Pour identifier la dérivée de , je vais analyser le lien entre la courbe de et sa dérivée $f'$ .

Rappel : $f'(x)$ donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .

Analyse de la fonction f (courbe orange) :

• La fonction est décroissante sur

• La fonction admet un minimum en x=-1

• La fonction est croissante sur

Propriétés que doit vérifier f’ :

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur (car décroissante)

• $f'(-1)=0$ (tangente horizontale au minimum)

• 0″ alt= »f'(x)>0″> sur (car croissante)

Vérification des trois fonctions :

• f_1 : négative puis positive, mais ne s’annule pas en x=-1

• f_2 : s’annule en x=0 et non en x=-1

• f_3 : négative sur , s’annule en x=-1 , et positive sur

Réponse : La fonction f_3 est la dérivée de .

Exercice 3 – volume maximal d’un cône inclus dans une sphère.

Nous allons traiter les deux approches proposées.

Approche 1 : Variable r = HA

Posons $r = HA$ le rayon de la base du cône.

Dans le triangle OHA rectangle en H :

$OH^2 + HA^2 = OA^2$

$OH^2 + r^2 = R^2$

Donc $OH = sqrt{R^2 - r^2}$

La hauteur du cône est : $h = OS + SH = R + OH = R + sqrt{R^2 - r^2}$

Le volume du cône est :

$V(r) = frac{1}{3}pi r^2 h = frac{1}{3}pi r^2(R + sqrt{R^2 - r^2})$

Pour maximiser, on dérive :

$V'(r) = frac{pi}{3}left[2r(R + sqrt{R^2 - r^2}) + r^2 cdot frac{-r}{sqrt{R^2 - r^2}}right]$

$V'(r) = frac{pi r}{3}left[2(R + sqrt{R^2 - r^2}) - frac{r^2}{sqrt{R^2 - r^2}}right]$

$V'(r) = 0$ donne : $2(R + sqrt{R^2 - r^2}) = frac{r^2}{sqrt{R^2 - r^2}}$

En multipliant par $sqrt{R^2 - r^2}$ :

$2Rsqrt{R^2 - r^2} + 2(R^2 - r^2) = r^2$

$2Rsqrt{R^2 - r^2} = 3r^2 - 2R^2$

En élevant au carré : $4R^2(R^2 - r^2) = (3r^2 - 2R^2)^2$

Après développement et simplification : $r^2 = frac{8R^2}{9}$

Donc $r = frac{2sqrt{2}R}{3}$

Approche 2 : Variable x = HO

Avec $x = HO$ , on a :

– Rayon de la base : $r = sqrt{R^2 - x^2}$

– Hauteur du cône : $h = R + x$

Le volume est :

$V(x) = frac{pi}{3}(R^2 - x^2)(R + x)$

$V(x) = frac{pi}{3}(R^3 + R^2x - Rx^2 - x^3)$

En dérivant :

$V'(x) = frac{pi}{3}(R^2 - 2Rx - 3x^2)$

$V'(x) = 0$ donne : $3x^2 + 2Rx - R^2 = 0$

Le discriminant : $Delta = 4R^2 + 12R^2 = 16R^2$

La solution positive : $x = frac{-2R + 4R}{6} = frac{R}{3}$

Volume maximal :

Avec $x = frac{R}{3}$ :

$V_{max} = frac{pi}{3}left(R^2 - frac{R^2}{9}right)left(R + frac{R}{3}right) = frac{pi}{3} cdot frac{8R^2}{9} cdot frac{4R}{3} = frac{32pi R^3}{81}$

Réponse : Le volume maximal du cône est $frac{32pi R^3}{81}$

Exercice 4 – une boîte de conserve et la surface de métal.

1) Démonstration de la surface de métal utilisée :

Une boîte de conserve cylindrique est constituée de :

• Deux disques (fond et couvercle) de rayon r

• Un rectangle qui forme la surface latérale

Surface des deux disques : $2times pi r^2=2pi r^2$

Surface latérale : le rectangle a pour dimensions la circonférence de la base $2pi r$ et la hauteur h.

Surface latérale = $2pi rtimes h=2pi rh$

Surface totale : $S(r)=2pi r^2+2pi rh$

Le volume étant fixé : $V=pi r^2h$ , donc $h=frac{V}{pi r^2}$

En substituant : $S(r)=2pi r^2+2pi rtimes frac{V}{pi r^2}=2pi r^2+frac{2V}{r}$

2) Étude de la fonction S :

Ensemble de définition : 0″ alt= »r>0″>, donc

Dérivée : $S'(r)=4pi r-frac{2V}{r^2}$

$S'(r)=0Leftrightarrow 4pi r=frac{2V}{r^2}Leftrightarrow 4pi r^3=2VLeftrightarrow r^3=frac{V}{2pi}$

Donc $r=sqrt[3]{frac{V}{2pi}}$

Étude du signe de S'(r) :

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<r<sqrt[3]{frac{V}{2pi}}" alt="0<r, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?S'(r)<0" alt="S'(r) (décroissante)

• Si sqrt[3]{frac{V}{2pi}} » alt= »r>sqrt[3]{frac{V}{2pi}} »>, alors 0″ alt= »S'(r)>0″> (croissante)

S admet donc un minimum en $r=sqrt[3]{frac{V}{2pi}}$

3) Dimensions optimales de la boîte :

Rayon optimal : $r=sqrt[3]{frac{V}{2pi}}$

Hauteur optimale : $h=frac{V}{pi r^2}=frac{V}{pitimes left(sqrt[3]{frac{V}{2pi}}right)^2}=frac{V}{pitimes sqrt[3]{left(frac{V}{2pi}right)^2}}=2sqrt[3]{frac{V}{2pi}}=2r$

Conclusion : La hauteur optimale est égale au diamètre de la base.

4) Application numérique :

Pour une boîte de 500 mL = 500 cm³ :

$r=sqrt[3]{frac{500}{2pi}}approxsqrt[3]{79{,}6}approx 4{,}3text{ cm}$

$h=2rapprox 8{,}6text{ cm}$

Exercice 5 – courbe de f et de f’.

Pour identifier quelle courbe représente et quelle courbe représente $f'$ , je vais utiliser la relation entre une fonction et sa dérivée.

Principe fondamental : La dérivée $f'(x)$ donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point d’abscisse .

Analyse de la courbe C₁ :

• La courbe C₁ présente des variations : elle décroît, puis croît, puis décroît à nouveau

• Elle admet donc des extremums locaux (maximum et minimum)

Analyse de la courbe C₂ :

• La courbe C₂ s’annule en plusieurs points

• Elle est positive sur certains intervalles et négative sur d’autres

Lien entre les courbes :

• Quand C₁ croît, sa dérivée est positive

• Quand C₁ décroît, sa dérivée est négative

• Aux extremums de C₁, sa dérivée s’annule

En observant C₂, on constate qu’elle s’annule exactement aux points où C₁ admet des extremums, et que son signe correspond aux variations de C₁.

Réponse : C_1 représente la fonction et C_2 représente sa dérivée $f'$ .

Exercice 6 – tableau de signes d’une fonction.

Premier tableau :

D’après le tableau de signes de $f'(x)$ :

• 0″ alt= »f'(x)>0″> sur donc est strictement croissante

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur ]-1;0[ donc est strictement décroissante

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur ]0;1[ donc est strictement décroissante

• 0″ alt= »f'(x)>0″> sur donc est strictement croissante

Conclusion : admet un maximum local en x=-1 avec et un minimum local en x=1 avec f(1)=2 .

Deuxième tableau :

D’après le tableau de signes de $f'(x)$ :

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur ]0;1[ donc est strictement décroissante

• 0″ alt= »f'(x)>0″> sur ]1;2[ donc est strictement croissante

• 0″ alt= »f'(x)>0″> sur ]2;4[ donc est strictement croissante

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur donc est strictement décroissante

Conclusion : admet un minimum local en x=1 avec f(1)=1 et un maximum local en x=4 avec f(4)=3 .

Exercice 7 – ensemble de définition et position relative par rapport à la tangente.

a) f : x ↦ x² + 4x + 1, a = 2

1) Ensemble de définition et dérivabilité :
$D_f = mathbb{R}$
f est dérivable sur

2) Équation de la tangente :
$f'(x) = 2x + 4$
$f(2) = 4 + 8 + 1 = 13$
$f'(2) = 4 + 4 = 8$
Équation de T₂ : $y = 8x - 3$

3) Position relative :
$f(x) - (8x - 3) = x^2 + 4x + 1 - 8x + 3 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
Comme $(x - 2)^2 geq 0$ , C_f est au-dessus de T₂

b) f : x ↦ 1/(x+1), a = 1

1) Ensemble de définition et dérivabilité :
$D_f = mathbb{R} setminus {-1}$
f est dérivable sur $mathbb{R} setminus {-1}$

2) Équation de la tangente :
$f'(x) = -frac{1}{(x+1)^2}$
$f(1) = frac{1}{2}$
$f'(1) = -frac{1}{4}$
Équation de T₁ : $y = -frac{1}{4}x + frac{3}{4}$

3) Position relative :
$f(x) - left(-frac{1}{4}x + frac{3}{4}right) = frac{1}{x+1} + frac{1}{4}x - frac{3}{4} = frac{(x-1)^2}{4(x+1)}$
Signe selon le signe de (x+1) : C_f au-dessus de T₁ si x > -1, en dessous si x < -1

c) f : x ↦ x³ – 2x, a = 0

1) Ensemble de définition et dérivabilité :
$D_f = mathbb{R}$
f est dérivable sur

2) Équation de la tangente :
$f'(x) = 3x^2 - 2$
$f(0) = 0$
$f'(0) = -2$
Équation de T₀ : $y = -2x$

3) Position relative :
$f(x) - (-2x) = x^3 - 2x + 2x = x^3$
Signe de x³ : C_f en dessous de T₀ si x 0

d) f : x ↦ x³ – 2x² + x + 3, a = 0

1) Ensemble de définition et dérivabilité :
$D_f = mathbb{R}$
f est dérivable sur

2) Équation de la tangente :
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$
$f(0) = 3$
$f'(0) = 1$
Équation de T₀ : $y = x + 3$

3) Position relative :
$f(x) - (x + 3) = x^3 - 2x^2 + x + 3 - x - 3 = x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$
C_f en dessous de T₀ si x ∈ ]0;2[, au-dessus ailleurs

e) f : x ↦ x⁴ – 2x² – x + 1, a = -1

1) Ensemble de définition et dérivabilité :
$D_f = mathbb{R}$
f est dérivable sur

2) Équation de la tangente :
<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.

Exercice 8 – fonction dérivable à droite de 0.

Étape 1 : Calcul de la dérivée à droite en 0

Pour $x geq 0$ , on a $f(x) = x^2 + 1$ .

La dérivée à droite en 0 est :

$f'_d(0) = lim_{h to 0^+} frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

Avec $f(0) = 0^2 + 1 = 1$ et pour 0″ alt= »h > 0″>, $f(h) = h^2 + 1$ :

$f'_d(0) = lim_{h to 0^+} frac{h^2 + 1 - 1}{h} = lim_{h to 0^+} frac{h^2}{h} = lim_{h to 0^+} h = 0$

Étape 2 : Calcul de la dérivée à gauche en 0

Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x < 0" alt="x , on a $f(x) = x^2 - 1$ .

La dérivée à gauche en 0 est :

$f'_g(0) = lim_{h to 0^-} frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?h < 0" alt="h , $f(h) = h^2 - 1$ :

$f'_g(0) = lim_{h to 0^-} frac{h^2 - 1 - 1}{h} = lim_{h to 0^-} frac{h^2 - 2}{h}$

Quand $h to 0^-$ , le numérateur tend vers et le dénominateur vers 0^- , donc :

$f'_g(0) = +infty$

Conclusion :

• $f'_d(0) = 0$ : la fonction est dérivable à droite en 0

• $f'_g(0) = +infty$ : la fonction n’est pas dérivable à gauche en 0

Donc est bien dérivable à droite en 0 mais pas à gauche.

Exercice 9 – Fonctions dérivables paire et impaire

1) Lien géométrique entre M et N :

Les points et sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

En effet, si , alors .

2) Démonstration de f'(-a) = -f'(a) :

Par définition de la dérivée :

$f'(-a)=lim_{hto0}frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}$

Comme f est paire : et

Donc : $f'(-a)=lim_{hto0}frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

En posant u=-h (quand hto0 , uto0 ) :

$f'(-a)=lim_{uto0}frac{f(a+u)-f(a)}{-u}=-lim_{uto0}frac{f(a+u)-f(a)}{u}=-f'(a)$

3) Que peut-on dire de f'(0) ?

En appliquant le résultat précédent avec a=0 :

$f'(-0)=-f'(0)$ , soit $f'(0)=-f'(0)$

Donc $2f'(0)=0$ , ce qui donne $f'(0)=0$ .

4) Lien géométrique entre M et N (fonction impaire) :

Les points et sont symétriques par rapport à l’origine.

En effet, si , alors .

5) Démonstration de f'(-a) = f'(a) :

Par définition de la dérivée :

$f'(-a)=lim_{hto0}frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}$

Comme f est impaire : et

Donc : $f'(-a)=lim_{hto0}frac{-f(a-h)-(-f(a))}{h}=lim_{hto0}frac{f(a)-f(a-h)}{h}$

En posant u=-h :

$f'(-a)=lim_{uto0}frac{f(a)-f(a+u)}{-u}=lim_{uto0}frac{f(a+u)-f(a)}{u}=f'(a)$

Exercice 10 – signe de f’ et sens de variation.

1) Sens de variation de f avec f'(x) = (x-1)(x-2)

On étudie le signe de $f'(x)=(x-1)(x-2)$

Les racines de f'(x) sont : x = 1 et x = 2

Tableau de signes :

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-1)<0" alt="(x-1) et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-2)<0" alt="(x-2) donc 0″ alt= »f'(x)>0″>

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1<x<2" alt="1<x : 0″ alt= »(x-1)>0″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-2)<0" alt="(x-2) donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x)

• Pour 2″ alt= »x>2″> : 0″ alt= »(x-1)>0″> et 0″ alt= »(x-2)>0″> donc 0″ alt= »f'(x)>0″>

Sens de variation :

• f est croissante sur

• f est décroissante sur ]1;2[

• f est croissante sur

2) Sens de variation de f(x) = x³ – 3x²

On calcule la dérivée : $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

Les racines de f'(x) sont : x = 0 et x = 2

Tableau de signes :

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?3x<0" alt="3x et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-2)<0" alt="(x-2) donc 0″ alt= »f'(x)>0″>

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<x<2" alt="0<x : 0″ alt= »3x>0″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?(x-2)<0" alt="(x-2) donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x)

• Pour 2″ alt= »x>2″> : 0″ alt= »3x>0″> et 0″ alt= »(x-2)>0″> donc 0″ alt= »f'(x)>0″>

Sens de variation :

• f est croissante sur

• f est décroissante sur ]0;2[

• f est croissante sur

3) Signe de f'(x) d’après le tableau de variations

D’après le tableau :

• f est décroissante sur donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur

• f est croissante sur ]3;4[ donc 0″ alt= »f'(x)>0″> sur ]3;4[

• f est décroissante sur donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x)<0" alt="f'(x) sur

• $f'(3)=0$ et $f'(4)=0$ (extremums locaux)

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