Second degré et polynômes : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les polynômes du second degré constituent un chapitre fondamental des mathématiques en 1ère, introduisant les élèves aux concepts algébriques avancés. Cette notion essentielle développe les compétences de calcul littéral et la résolution d’équations, préparant efficacement aux classes supérieures. Nos corrections d’exercices détaillées permettront aux collégiens de maîtriser les techniques de factorisation, le développement d’expressions et l’identification des différentes formes polynomiales. Grâce à ces exercices corrigés de mathématiques, les élèves renforcent leur compréhension des fonctions polynômes et acquièrent une solide base algébrique indispensable pour leur parcours scolaire.

Exercice 1 – tableau de valeurs et sommet d’une parabole.

1) Coordonnées du sommet de la parabole :

Pour une fonction du second degré, le sommet de la parabole correspond au point où la fonction atteint sa valeur minimale ou maximale.

En observant le tableau de valeurs :

• Pour x=0 :

• Pour x=1 :

• Pour x=2 :

• Pour x=3 :

La valeur minimale est -13{,}5 atteinte pour x=1 .

Les coordonnées du sommet sont :

2) Forme canonique de f :

La forme canonique d’une fonction du second degré est :

où sont les coordonnées du sommet.

D’après la question 1) : alpha=1 et

Donc : $f(x)=a(x-1)^2-13{,}5$

Pour déterminer , utilisons un point du tableau, par exemple :

$f(0)=a(0-1)^2-13{,}5=-12{,}5$

$atimes 1-13{,}5=-12{,}5$

La forme canonique est : $f(x)=(x-1)^2-13{,}5$

Exercice 2 – variations d’une fonction du second degré.

1) Fonction $f_1(x) = (x-1)^2 + 10$

Cette fonction est sous forme canonique $a(x-alpha)^2 + beta$ avec 0″ alt= »a = 1 > 0″>, $alpha = 1$ et $beta = 10$ .

Comme 0″ alt= »a > 0″>, la parabole est tournée vers le haut.

Variations : f_1 est décroissante sur $]-infty ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +infty[$ .

Minimum : $f_1(1) = 10$

2) Fonction $f_2(x) = -2(x-5)^2 + 2$

Cette fonction est sous forme canonique avec <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -2 < 0" alt="a = -2 , $alpha = 5$ et $beta = 2$ .

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a < 0" alt="a , la parabole est tournée vers le bas.

Variations : f_2 est croissante sur $]-infty ; 5]$ et décroissante sur $[5 ; +infty[$ .

Maximum : $f_2(5) = 2$

3) Fonction $f_3(x) = 3x^2 + frac{1}{3}$

On peut écrire $f_3(x) = 3(x-0)^2 + frac{1}{3}$ avec 0″ alt= »a = 3 > 0″>, $alpha = 0$ et $beta = frac{1}{3}$ .

Comme 0″ alt= »a > 0″>, la parabole est tournée vers le haut.

Variations : f_3 est décroissante sur $]-infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +infty[$ .

Minimum : $f_3(0) = frac{1}{3}$

4) Fonction $f_4(x) = -2(x+3)^2 - 5$

Cette fonction est sous forme canonique avec <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -2 < 0" alt="a = -2 , $alpha = -3$ et $beta = -5$ .

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a < 0" alt="a , la parabole est tournée vers le bas.

Variations : f_4 est croissante sur $]-infty ; -3]$ et décroissante sur $[-3 ; +infty[$ .

Maximum : $f_4(-3) = -5$

Exercice 3 – variations et fonctions du second degré.

1) Étude de $f_1(x) = x^2 - x + 1$

Cette fonction est de la forme $ax^2 + bx + c$ avec 0″ alt= »a = 1 > 0″>, donc la parabole est tournée vers le haut.

L’abscisse du sommet est : $x_S = -frac{b}{2a} = -frac{(-1)}{2 times 1} = frac{1}{2}$

Variations : f_1 est décroissante sur $left]-infty ; frac{1}{2}right]$ et croissante sur $left[frac{1}{2} ; +inftyright[$

2) Étude de $f_2(x) = -frac{1}{2}(x-5)(x+3)$

Développons : $f_2(x) = -frac{1}{2}(x^2 - 2x - 15) = -frac{1}{2}x^2 + x + frac{15}{2}$

Ici <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -frac{1}{2} < 0" alt="a = -frac{1}{2} , donc la parabole est tournée vers le bas.

L’abscisse du sommet est : $x_S = -frac{b}{2a} = -frac{1}{2 times (-frac{1}{2})} = 1$

Variations : f_2 est croissante sur $]-infty ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; +infty[$

3) Étude de $f_3(x) = frac{3}{2}x^2 - frac{4}{3}$

Ici 0″ alt= »a = frac{3}{2} > 0″> et $b = 0$ , donc la parabole est tournée vers le haut.

L’abscisse du sommet est : $x_S = -frac{b}{2a} = -frac{0}{2 times frac{3}{2}} = 0$

Variations : f_3 est décroissante sur $]-infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +infty[$

4) Étude de $f_4(x) = 3x^2 - 6x + 3$

Ici 0″ alt= »a = 3 > 0″>, donc la parabole est tournée vers le haut.

L’abscisse du sommet est : $x_S = -frac{b}{2a} = -frac{(-6)}{2 times 3} = frac{6}{6} = 1$

Variations : f_4 est décroissante sur $]-infty ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +infty[$

Exercice 4 – tableau de variation de fonctions.

1) Détermination de la fonction f :

D’après le tableau de variations, la fonction f est croissante sur puis décroissante sur avec un maximum en x=-1 où f(-1)=2 .

La fonction f est du second degré avec f(0)=1 .

Puisque f admet un maximum, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a<0" alt="a.

La forme canonique est :

En utilisant f(0)=1 :

Donc a=-1

Réponse :

2) Détermination de la fonction g :

D’après le tableau de variations, la fonction g est décroissante sur puis croissante sur avec un minimum en x=3 où g(3)=-2 .

La fonction g est du second degré avec g(1)=0 .

Puisque g admet un minimum, on a 0″ alt= »a>0″>.

La forme canonique est :

En utilisant g(1)=0 :

$g(1)=a(1-3)^2-2=atimes 4-2=4a-2=0$

Donc 4a=2 soit $a=frac{1}{2}$

Réponse : $g(x)=frac{1}{2}(x-3)^2-2=frac{1}{2}x^2-3x+frac{5}{2}$

Exercice 5 – nombre de solutions d’équations.

Pour déterminer le nombre de solutions de chaque équation du second degré, nous calculons le discriminant $Delta = b^2 - 4ac$ .

1) $x^2 + x + 1 = 0$

$a = 1, b = 1, c = 1$

$Delta = 1^2 - 4 times 1 times 1 = 1 - 4 = -3$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta < 0" alt="Delta donc 0 solution.

2) $-2x^2 + x + 1 = 0$

$a = -2, b = 1, c = 1$

$Delta = 1^2 - 4 times (-2) times 1 = 1 + 8 = 9$

0″ alt= »Delta > 0″> donc 2 solutions.

3) $frac{1}{2}x^2 - 4x - frac{3}{2} = 0$

$a = frac{1}{2}, b = -4, c = -frac{3}{2}$

$Delta = (-4)^2 - 4 times frac{1}{2} times (-frac{3}{2}) = 16 + 3 = 19$

0″ alt= »Delta > 0″> donc 2 solutions.

4) $sqrt{2}x^2 - x + frac{1}{2} = 0$

$a = sqrt{2}, b = -1, c = frac{1}{2}$

$Delta = (-1)^2 - 4 times sqrt{2} times frac{1}{2} = 1 - 2sqrt{2}$

Comme 1″ alt= »2sqrt{2} approx 2{,}83 > 1″>, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta < 0" alt="Delta donc 0 solution.

Réponse : 1) 0 solution ; 2) 2 solutions ; 3) 2 solutions ; 4) 0 solution

Exercice 6 – Équations du second degré

Partie 1 : Nombre de solutions selon le paramètre m

Discriminant :

• Si : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta<0" alt="Delta, aucune solution

• Si m=-2 ou m=2 : Delta=0 , une solution

• Si : 0″ alt= »Delta>0″>, deux solutions

Discriminant :

• Si frac{1}{3} » alt= »m>frac{1}{3} »> : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta<0" alt="Delta, aucune solution

• Si $m=frac{1}{3}$ : Delta=0 , une solution

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?m<frac{1}{3}" alt="m : 0″ alt= »Delta>0″>, deux solutions

Partie 2 : Résolution d’équations

$x_1=frac{-1+3}{2}=1$ et $x_2=frac{-1-3}{2}=-2$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta=4-12=-8<0" alt="Delta=4-12=-8

Aucune solution réelle.

3) $frac{3}{4}x^2+frac{5}{4}x+frac{3}{4}=0$

En multipliant par 4 :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta=25-36=-11<0" alt="Delta=25-36=-11

Aucune solution réelle.

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2=-frac{1}{3}<0" alt="x^2=-frac{1}{3}

Aucune solution réelle.

Partie 3 : Résolution d’équations (suite)

$x=frac{-4pm2sqrt{7}}{2}=-2pmsqrt{7}$

2) $x^2+frac{1}{2}x=0$

$x(x+frac{1}{2})=0$

x=0 ou $x=-frac{1}{2}$

3) $4x^2+2x-frac{1}{2}=0$

En multipliant par 2 :

$x=frac{-4pm4sqrt{3}}{16}=frac{-1pmsqrt{3}}{4}$

x=0 ou

Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?4x^2+x+1=0" alt="4x^2

Exercice 7 – racine d’un polynôme.

Pour déterminer si est racine du trinôme P(x) , il faut vérifier si P(a)=0 .

1) Pour a = 1 :

$P(1)=8times 1^2-7times 1-1=8-7-1=0$

Donc a=1 est racine de P(x) .

2) Pour a = 0 :

$P(0)=-0^2+2times 0-1=-1neq0$

Donc a=0 n’est pas racine de P(x) .

3) Pour a = -2 :

$P(-2)=(-2)^2-2times (-2)-4=4+4-4=4neq0$

Donc a=-2 n’est pas racine de P(x) .

4) Pour a = 2 :

Donc a=2 n’est pas racine de P(x) .

Réponse : Seul a=1 est racine du trinôme correspondant.

Exercice 8 – jardin et aire d’une allée.

Données :

• Jardin carré de côté 10 m

• Allée en graviers de largeur constante le long du bord

• On veut que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur

Soit x la largeur de l’allée en mètres.

Calcul de l’aire du carré intérieur :

Le côté du carré intérieur mesure : 10-2x m

Aire du carré intérieur : m²

Calcul de l’aire de l’allée :

Aire totale du jardin : m²

Aire de l’allée = Aire totale – Aire du carré intérieur

Aire de l’allée = m²

Résolution de l’équation :

$x=5-frac{5sqrt{2}}{2}$

Réponse : La largeur de l’allée doit être de $x=5-frac{5sqrt{2}}{2}approx1{,}46$ m

Exercice 9 – balle et longueur d’un terrain de tennis.

Données :

• Point A : la balle est à 1 m du filet et à une hauteur de 0,9 m

• Point B : la balle franchit le filet à une hauteur de 1,1 m

• Point C : la balle atteint une hauteur maximale de 1,3 m

• Longueur du terrain : 23,77 m

Analyse du graphique :

D’après le graphique, on peut observer que :

• Le point A se situe à l’abscisse x = 0

• Le filet se trouve à x = 1 (puisque la balle est à 1 m du filet en A)

• La trajectoire de la balle suit une parabole qui redescend après le point C

Détermination de la sortie du terrain :

En observant le graphique, la trajectoire parabolique de la balle continue à descendre après avoir atteint son maximum en C.

La balle va retomber sur le terrain. Pour qu’elle sorte du terrain, il faudrait qu’elle atterrisse au-delà de la ligne de fond.

D’après le tracé de la parabole sur le graphique, on peut voir que la balle redescend et semble atterrir dans les limites du terrain (la courbe coupe l’axe des abscisses avant la limite du terrain).

Réponse : Non, la balle ne sortira pas du terrain. Elle retombera à l’intérieur des limites du court de tennis.

Exercice 10 – réalisation d’un logo.

Données :

• $BC=10text{ cm}$

• x=CM

• M est un point du segment [BC]

Condition à respecter :

L’aire de la partie blanche doit être égale à la moitié de l’aire du demi-disque de diamètre [BC].

Calcul de l’aire du demi-disque de diamètre [BC] :

Le rayon du demi-disque de diamètre [BC] est $R=frac{BC}{2}=frac{10}{2}=5text{ cm}$

Aire du demi-disque de diamètre [BC] = $frac{pi R^2}{2}=frac{pi times 5^2}{2}=frac{25pi}{2}text{ cm}^2$

Calcul de l’aire de la partie blanche :

La partie blanche est constituée de :

• L’aire du demi-disque de diamètre [BC] moins l’aire du demi-disque de diamètre [CM]

• Moins l’aire du demi-disque de diamètre [MB]

Le rayon du demi-disque de diamètre [CM] est $r_1=frac{x}{2}$

Le rayon du demi-disque de diamètre [MB] est $r_2=frac{MB}{2}=frac{10-x}{2}$

Aire de la partie blanche = $frac{25pi}{2}-frac{pi x^2}{8}-frac{pi(10-x)^2}{8}$

Résolution de l’équation :

L’aire de la partie blanche = $frac{1}{2}times frac{25pi}{2}=frac{25pi}{4}$

$frac{25pi}{2}-frac{pi x^2}{8}-frac{pi(10-x)^2}{8}=frac{25pi}{4}$

En divisant par :

$frac{25}{2}-frac{x^2}{8}-frac{(10-x)^2}{8}=frac{25}{4}$

$frac{x^2+(10-x)^2}{8}=frac{25}{2}-frac{25}{4}=frac{25}{4}$

Réponse : $x=5text{ cm}$

Le point M doit être positionné au milieu du segment [BC], c’est-à-dire à 5 cm du point C.

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