Loi binomiale et intervalle de fluctuation : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La loi binomiale et l’intervalle de fluctuation constituent des notions fondamentales en probabilités que les élèves de 1ère découvrent progressivement. Ces exercices corrigés de mathématiques permettent de développer le raisonnement statistique et la compréhension des phénomènes aléatoires. Grâce à ces corrections détaillées, les collégiens acquièrent les compétences essentielles pour analyser des situations probabilistes et interpréter des résultats statistiques. Cette approche méthodique renforce leur maîtrise des calculs de probabilités et prépare efficacement les évaluations en classe de première.

Exercice 1 – pièce truquée et probabilité.

Question 1 : Doit-on conseiller à Sara de jouer à ce jeu ?

Calculons l’espérance de gain de Sara :

• Probabilité de tomber sur pile : $P(pile)=1-frac{3}{4}=frac{1}{4}$

• Probabilité de tomber sur face : $P(face)=frac{3}{4}$

Espérance de gain :

$E=frac{1}{4}times 8+frac{3}{4}times (-4)$

Réponse : L’espérance de gain est de -1 €. Sara perd en moyenne 1 € par partie, donc on ne doit pas lui conseiller de jouer.

Question 2 : Probabilité d’obtenir au moins une fois Pile en 4 lancers

Il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement contraire :

P(au moins un Pile) = 1 – P(aucun Pile) = 1 – P(4 Face consécutives)

$P(4~Face)=left(frac{3}{4}right)^4=frac{81}{256}$

$P(au~moins~un~Pile)=1-frac{81}{256}=frac{175}{256}$

Réponse : La probabilité d’obtenir au moins une fois Pile est $frac{175}{256}$

Exercice 2 – une urne contenant des boules.

Première partie : Détermination du contenu de l’urne

Soit r le nombre de boules rouges, n le nombre de boules noires et v le nombre de boules vertes.

D’après l’énoncé :

• $r = 2n$ (deux fois plus de boules rouges que de boules noires)

• $v = 3r$ (trois fois plus de boules vertes que de boules rouges)

En substituant : $v = 3 times 2n = 6n$

Le nombre total de boules est : $n + 2n + 6n = 9n$

La probabilité de tirer une boule rouge est :

$P(rouge) = frac{2n}{9n} = frac{2}{9}$

Deuxième partie : Simplification des expressions

1) $left(frac{1}{3}right)^4 times left(frac{2}{3}right)^2 = frac{1^4}{3^4} times frac{2^2}{3^2} = frac{1}{81} times frac{4}{9} = frac{4}{729}$

2) $14 times left(frac{2}{7}right)^2 times left(frac{5}{7}right)^3 = 14 times frac{4}{49} times frac{125}{343} = 14 times frac{500}{16807} = frac{7000}{16807}$

3) $1000 times left(frac{1}{10}right)^2 times left(frac{9}{10}right)^8 = 1000 times frac{1}{100} times frac{9^8}{10^8} = 10 times frac{9^8}{10^8} = frac{9^8}{10^7}$

4) $45 times left(frac{2}{3}right)^5 times left(frac{6}{5}right)^3 = 45 times frac{32}{243} times frac{216}{125} = frac{45 times 32 times 216}{243 times 125} = frac{311040}{30375}$

Exercice 3 – jeu de dé cubique équilibré et expérience de Bernoulli.

1) Pourquoi cette expérience aléatoire est-elle une expérience de Bernoulli ?

Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : succès ou échec.

Dans ce jeu :

• Succès : obtenir 5 ou plus au dé (résultats possibles : 5 ou 6) → Zehuan gagne 10€

• Échec : obtenir moins de 5 au dé (résultats possibles : 1, 2, 3 ou 4) → Zehuan perd 4€

Il n’y a que deux issues possibles, donc c’est bien une expérience de Bernoulli.

2) Déterminer l’espérance de X.

X représente le gain de Zehuan après une partie.

Les valeurs possibles de X sont :

• X=10 si le dé affiche 5 ou 6

• X=-4 si le dé affiche 1, 2, 3 ou 4

Calcul des probabilités :

• $P(X=10)=P(text{obtenir}~5~text{ou}~6)=frac{2}{6}=frac{1}{3}$

• $P(X=-4)=P(text{obtenir}~1,~2,~3~text{ou}~4)=frac{4}{6}=frac{2}{3}$

L’espérance de X est :

$E(X)=10times frac{1}{3}+(-4)times frac{2}{3}$

$E(X)=frac{10}{3}-frac{8}{3}=frac{2}{3}$

Réponse : $E(X)=frac{2}{3}approx0{,}67$ €

Le jeu est favorable à Zehuan car l’espérance est positive.

Exercice 4 – calculer des probabilités.

1) Déterminer la valeur de p :

La somme des probabilités doit être égale à 1 :

6p=1

$p=frac{1}{6}$

2) Calculer les probabilités :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<0)=P(X=-2)=0{,}1" alt="P(X

3)=P(X=6)=0{,}1″ alt= »P(X>3)=P(X=6)=0{,}1″>

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-2<X<3)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}3+0{,}4=0{,}7" alt="P(-2<X

3) Calculer E(X) :

$E(X)=(-16)times frac{1}{6}+3times frac{2}{3}+24times frac{1}{12}$

$E(X)=-frac{16}{6}+frac{6}{3}+frac{24}{12}=-frac{8}{3}+2+2$

$E(X)=-frac{8}{3}+4=frac{-8+12}{3}=frac{4}{3}$

4) Déterminer la valeur de a :

On sait que E(X)=12 :

$E(X)=(-4)times 0{,}1+8times 0{,}5+atimes 0{,}4=12$

a=21

Exercice 5 – loi de probabilité d’une variable aléatoire.

Étape 1 : Vérification que la somme des probabilités vaut 1

Pour que ce soit une loi de probabilité, on doit avoir :

Cette condition est bien vérifiée.

Étape 2 : Calcul de l’espérance E(X)

L’espérance d’une variable aléatoire discrète est :

$E(X)=sum x_i times P(X=x_i)$

Donc :

$E(X)=(-5)times 0{,}2+(-1)times 0{,}3+3times 0{,}1+7times 0{,}3+atimes 0{,}1$

Étape 3 : Résolution de l’équation E(X) = 0

On veut E(X)=0 , donc :

$a=frac{-1{,}1}{0{,}1}=-11$

Réponse : a=-11

Exercice 6 – déterminer la valeur de p.

Propriété : Pour une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

Calcul :

$frac{1}{6}+frac{2}{5}+p=1$

Réduction au même dénominateur :

$frac{1}{6}=frac{5}{30}$ et $frac{2}{5}=frac{12}{30}$

$frac{5}{30}+frac{12}{30}+p=1$

$frac{17}{30}+p=1$

$p=1-frac{17}{30}$

$p=frac{30}{30}-frac{17}{30}$

Réponse : $p=frac{13}{30}$

Exercice 7 – calculer des probabilités.

Calcul de P(X > 1) :

P(X > 1) correspond aux valeurs de X strictement supérieures à 1, donc X = 2 et X = 4.

P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0,2 + 0,2 = 0,4

Calcul de P(1 ≤ X < 2) :

P(1 ≤ X < 2) correspond aux valeurs de X supérieures ou égales à 1 et strictement inférieures à 2, donc X = 1.

P(1 ≤ X < 2) = P(X = 1) = 0,25

Calcul de P(X < 2) :

P(X < 2) correspond aux valeurs de X strictement inférieures à 2, donc X = 0 et X = 1.

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,35 + 0,25 = 0,6

Réponse :

P(X > 1) = 0,4

P(1 ≤ X < 2) = 0,25

P(X < 2) = 0,6

Exercice 8 – déterminer l’espérance de la variable aléatoire.

D’après le tableau, la variable aléatoire Y peut prendre les valeurs -12, 4 et 9 avec les probabilités respectives $frac{1}{6}$ , $frac{1}{2}$ et $frac{1}{3}$ .

L’espérance de Y se calcule par la formule :

$E(Y)=sum{x_itimes {P(Y=x_i)}$

Donc :

$E(Y)=(-12)times frac{1}{6}+4times frac{1}{2}+9times frac{1}{3}$

Réponse : E(Y)=3

Exercice 9 – un jeu de dominos.

1) Identification de la variable aléatoire S

La variable aléatoire S correspond à la somme des points sur les deux faces d’un domino tiré au hasard.

2) Détermination des valeurs possibles de S

En observant le jeu de dominos, on peut identifier toutes les valeurs possibles :

• Valeur minimale : $S_{min}=0+0=0$

• Valeur maximale : $S_{max}=6+6=12$

Donc S peut prendre les valeurs :

3) Calcul du nombre total de dominos

Un jeu de dominos complet contient tous les dominos possibles avec des faces allant de 0 à 6 points.

Nombre total de dominos : $frac{7times 8}{2}=28$ dominos

4) Dénombrement pour chaque valeur de S

• S=0 : domino (0,0) → 1 domino

• S=1 : domino (0,1) → 1 domino

• S=2 : dominos (0,2), (1,1) → 2 dominos

• S=3 : dominos (0,3), (1,2) → 2 dominos

• S=4 : dominos (0,4), (1,3), (2,2) → 3 dominos

• S=5 : dominos (0,5), (1,4), (2,3) → 3 dominos

• S=6 : dominos (0,6), (1,5), (2,4), (3,3) → 4 dominos

• S=7 : dominos (1,6), (2,5), (3,4) → 3 dominos

• S=8 : dominos (2,6), (3,5), (4,4) → 3 dominos

• S=9 : dominos (3,6), (4,5) → 2 dominos

• S=10 : dominos (4,6), (5,5) → 2 dominos

• S=11 : domino (5,6) → 1 domino

• S=12 : domino (6,6) → 1 domino

5) Loi de probabilité de S

$P(S=0)=frac{1}{28}$ ; $P(S=1)=frac{1}{28}$ ; $P(S=2)=frac{2}{28}=frac{1}{14}$

$P(S=3)=frac{2}{28}=frac{1}{14}$ ; $P(S=4)=frac{3}{28}$ ; $P(S=5)=frac{3}{28}$

$P(S=6)=frac{4}{28}=frac{1}{7}$ ; $P(S=7)=frac{3}{28}$ ; $P(S=8)=frac{3}{28}$

$P(S=9)=frac{2}{28}=frac{1}{14}$ ; $P(S=10)=frac{2}{28}=frac{1}{14}$

$P(S=11)=frac{1}{28}$ ; $P(S=12)=frac{1}{28}$

Exercice 10 – tirage d’un jeton dans une urne.

1. Loi de probabilité de X :

Comptons les jetons dans l’urne :

• Jetons verts avec 1 : 4 jetons

• Jetons bleus avec 2 : 6 jetons

• Jetons rouges avec 4 : 5 jetons

Total : 15 jetons

La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1, 2 et 4.

$P(X=1)=frac{4}{15}$

$P(X=2)=frac{6}{15}=frac{2}{5}$

$P(X=4)=frac{5}{15}=frac{1}{3}$

2. Loi de probabilité de Y :

Après modifications :

• Jetons verts avec 1 : $4times 2=8$ jetons

• Jetons bleus avec 2 : 6 jetons (inchangés)

• Jetons rouges avec 4 : $frac{5}{2}=2{,}5$ jetons

Comme on ne peut pas avoir 2,5 jetons, on considère qu’il y a 2 ou 3 jetons rouges selon l’interprétation.

Prenons 2 jetons rouges. Total : jetons

La variable aléatoire Y peut prendre les valeurs 1, 2 et 4.

$P(Y=1)=frac{8}{16}=frac{1}{2}$

$P(Y=2)=frac{6}{16}=frac{3}{8}$

$P(Y=4)=frac{2}{16}=frac{1}{8}$

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