Limites et variations de suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les limites et variations de suites constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 1ère, développant chez les élèves des compétences essentielles en logique et raisonnement mathématique. Cette notion permet aux collégiens de comprendre les comportements de suites numériques et d’analyser leurs évolutions, renforçant ainsi leur capacité d’abstraction et de résolution de problèmes. Nos exercices corrigés sur les suites accompagnent les élèves dans la maîtrise de ces concepts clés, en proposant des méthodes progressives pour déterminer les limites et étudier les variations. Ces compétences mathématiques sont cruciales pour construire un socle solide avant l’entrée au lycée et développer un raisonnement scientifique rigoureux.

Exercice 1 – fonction et monotonie d’une suite.

1) Suite $u_n = 4n - 7$

On a $f(x) = 4x - 7$ définie sur $[1 ; +infty[$

0″ alt= »f'(x) = 4 > 0″> pour tout $x geq 1$

Donc est strictement croissante sur $[1 ; +infty[$

La suite (u_n) est strictement croissante.

2) Suite $u_n = sqrt{n}$

On a $f(x) = sqrt{x}$ définie sur $[1 ; +infty[$

0″ alt= »f'(x) = frac{1}{2sqrt{x}} > 0″> pour tout 1″ alt= »x > 1″>

Donc est strictement croissante sur $[1 ; +infty[$

La suite (u_n) est strictement croissante.

3) Suite $u_n = n^2 - 4n + 5$

On a $f(x) = x^2 - 4x + 5$ définie sur $[1 ; +infty[$

$f'(x) = 2x - 4$

$f'(x) = 0 Leftrightarrow x = 2$

Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1 leq x < 2" alt="1 leq x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) < 0" alt="f'(x) donc décroissante

Pour 2″ alt= »x > 2″> : 0″ alt= »f'(x) > 0″> donc croissante

Comme $n geq 3$ , on a 2″ alt= »n > 2″>, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

4) Suite $u_n = frac{1}{4n}$

On a $f(x) = frac{1}{4x}$ définie sur $[1 ; +infty[$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) = -frac{1}{4x^2} < 0" alt="f'(x) = -frac{1}{4x^2} pour tout $x geq 1$

Donc est strictement décroissante sur $[1 ; +infty[$

La suite (u_n) est strictement décroissante.

Exercice 2 – étudier la monotonie de suites.

1) Étude de la suite $u_n = n^2 - 13n + 36$

On pose $f(x) = x^2 - 13x + 36$ pour 0″ alt= »x geq a > 0″>.

Calculons la dérivée : $f'(x) = 2x - 13$

$f'(x) = 0 Leftrightarrow 2x - 13 = 0 Leftrightarrow x = frac{13}{2} = 6{,}5$

Étude du signe de $f'(x)$ :

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x < 6{,}5" alt="x alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) < 0" alt="f'(x) : est décroissante

• Si 6{,}5″ alt= »x > 6{,}5″> alors 0″ alt= »f'(x) > 0″> : est croissante

Conclusion :

• Si $a geq 7$ , alors la suite (u_n) est croissante

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0 < a leq 6" alt="0 , alors la suite (u_n) est décroissante puis croissante

2) Étude de la suite $u_n = frac{n+2}{3n+2}$

On pose $f(x) = frac{x+2}{3x+2}$ pour 0″ alt= »x geq a > 0″>.

Calculons la dérivée en utilisant la formule $left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

Avec $u(x) = x+2$ donc $u'(x) = 1$

Et $v(x) = 3x+2$ donc $v'(x) = 3$

$f'(x) = frac{1 times (3x+2) - (x+2) times 3}{(3x+2)^2}$

$f'(x) = frac{3x+2 - 3x-6}{(3x+2)^2} = frac{-4}{(3x+2)^2}$

Pour 0″ alt= »x > 0″>, on a 0″ alt= »(3x+2)^2 > 0″>, donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) = frac{-4}{(3x+2)^2} < 0" alt="f'(x) = frac{-4}{(3x+2)^2}

Conclusion : Pour tout 0″ alt= »a > 0″>, la suite est décroissante

Exercice 3 – démontrer que la suite n’est pas monotone.

1) Suite définie par $u_n = 3n^2 - 3^n$

Calculons les premiers termes :

• $u_1 = 3 times 1^2 - 3^1 = 3 - 3 = 0$

• $u_2 = 3 times 2^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3$

• $u_3 = 3 times 3^2 - 3^3 = 27 - 27 = 0$

• $u_4 = 3 times 4^2 - 3^4 = 48 - 81 = -33$

On a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_1 < u_2" alt="u_1 mais u_3″ alt= »u_2 > u_3″>. La suite n’est pas monotone.

2) Suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = (u_n - 1)^2$

Calculons les premiers termes :

• $u_0 = 1$

• $u_1 = (u_0 - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$

• $u_2 = (u_1 - 1)^2 = (0 - 1)^2 = 1$

• $u_3 = (u_2 - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$

On a u_1″ alt= »u_0 > u_1″> mais <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_1 < u_2" alt="u_1 . La suite n’est pas monotone.

3) Suite définie par $u_n = left(-frac{1}{2}right)^n$

Calculons les premiers termes :

• $u_0 = left(-frac{1}{2}right)^0 = 1$

• $u_1 = left(-frac{1}{2}right)^1 = -frac{1}{2}$

• $u_2 = left(-frac{1}{2}right)^2 = frac{1}{4}$

On a u_1″ alt= »u_0 > u_1″> mais <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_1 < u_2" alt="u_1 . La suite n’est pas monotone.

Exercice 4 – déterminer le sens de variation de la suite.

Première partie : Déterminer le sens de variation

1) $u_n=sqrt{n}+2$

Méthode 1 : Étude de $u_{n+1}-u_n$

$u_{n+1}-u_n=sqrt{n+1}+2-(sqrt{n}+2)=sqrt{n+1}-sqrt{n}$

Comme n » alt= »n+1>n »>, on a sqrt{n} » alt= »sqrt{n+1}>sqrt{n} »>, donc 0″ alt= »u_{n+1}-u_n>0″>.

La suite (u_n) est croissante.

2) $u_n=frac{1}{n+1}$

Méthode 2 : Étude du rapport $frac{u_{n+1}}{u_n}$ (suite à termes strictement positifs)

$frac{u_{n+1}}{u_n}=frac{frac{1}{n+2}}{frac{1}{n+1}}=frac{1}{n+2}times frac{n+1}{1}=frac{n+1}{n+2}$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?n+1<n+2" alt="n+1, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{n+1}{n+2}<1" alt="frac{n+1}{n+2}.

La suite (u_n) est décroissante.

Méthode 3 : Étude de la fonction associée

Soit définie sur

$f'(x)=6x+1$

Pour xgeq1 , on a 0″ alt= »f'(x)=6x+1geq7>0″>.

La fonction est croissante sur .

La suite (u_n) est croissante.

Deuxième partie : Étudier la monotonie

$u_{n+1}-u_n=3(n+1)^2-3n^2=3(n^2+2n+1)-3n^2=3(2n+1)=6n+3$

Pour ngeq1 , on a 0″ alt= »6n+3geq9>0″>.

La suite est strictement croissante.

2) $u_n=frac{2n+5}{n+1}$

$u_{n+1}-u_n=frac{2(n+1)+5}{(n+1)+1}-frac{2n+5}{n+1}=frac{2n+7}{n+2}-frac{2n+5}{n+1}$

$u_{n+1}-u_n=frac{(2n+7)(n+1)-(2n+5)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_{n+1}-u_n=frac{2n^2+9n+7-(2n^2+9n+10)}{(n+2)(n+1)}=frac{-3}{(n+2)(n+1)}<0" alt="u_{n+1}-u_n=frac{2n^2+9n+7-(2n^2+9n+10)}{(n+2)(n+1)}=frac{-3}{(n+2)(n+1)}

La suite est strictement décroissante.

3) $u_n=sqrt{n+1}$

Soit sur .

0″ alt= »f'(x)=frac{1}{2sqrt{x+1}}>0″> pour xgeq1 .

La suite est strictement croissante.

4) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi

Exercice 5 – etudier la monotonie de ces suites en choisissant la méthode adaptée.

1) Suite $u_n = n - n^2$

Méthode : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$

$u_{n+1} - u_n = (n+1) - (n+1)^2 - (n - n^2)$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?= n + 1 – n^2 – 2n – 1 – n + n^2 = -2n < 0" alt="= n + 1 – n^2 – 2n – 1 – n + n^2 = -2n

Pour tout $n geq 1$ , on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_{n+1} – u_n < 0" alt="u_{n+1} – u_n .

La suite (u_n) est strictement décroissante.

2) Suite $u_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n}$

Méthode : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$

$u_{n+1} = u_n + frac{1}{n+1}$

Donc 0″ alt= »u_{n+1} – u_n = frac{1}{n+1} > 0″> pour tout $n in mathbb{N}^*$ .

La suite (u_n) est strictement croissante.

3) Suite $u_n = 3n times left(frac{1}{3}right)^n$

Méthode : Étude du rapport $frac{u_{n+1}}{u_n}$ (car 0″ alt= »u_n > 0″>)

$frac{u_{n+1}}{u_n} = frac{3(n+1) times left(frac{1}{3}right)^{n+1}}{3n times left(frac{1}{3}right)^n}$

$= frac{n+1}{n} times frac{1}{3} = frac{n+1}{3n}$

On compare ce rapport à 1 : $frac{n+1}{3n} lessgtr 1$

$n+1 lessgtr 3n Leftrightarrow 1 lessgtr 2n Leftrightarrow n lessgtr frac{1}{2}$

Pour $n geq 1$ , on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{u_{n+1}}{u_n} < 1" alt="frac{u_{n+1}}{u_n} , donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_{n+1} < u_n" alt="u_{n+1} .

La suite (u_n) est strictement décroissante.

Suite récurrente 1 : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = (u_n + 1)^2$

Méthode : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$

$u_{n+1} - u_n = (u_n + 1)^2 - u_n = u_n^2 + 2u_n + 1 - u_n = u_n^2 + u_n + 1$

Comme $u_n geq 1$ pour tout (par récurrence), on a 0″ alt= »u_n^2 + u_n + 1 > 0″>.

La suite (u_n) est strictement croissante.

Suite récurrente 2 : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = frac{u_n}{n+2}$

Méthode : Étude du rapport <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{u_{n+1}}{u_n}" alt="frac

Exercice 6 – monotonie de différentes suites.

1) Étude de la suite $u_n = frac{sqrt{n}}{2^n}$

Pour étudier la monotonie, nous calculons $frac{u_{n+1}}{u_n}$ :

$frac{u_{n+1}}{u_n} = frac{frac{sqrt{n+1}}{2^{n+1}}}{frac{sqrt{n}}{2^n}} = frac{sqrt{n+1}}{2^{n+1}} times frac{2^n}{sqrt{n}} = frac{sqrt{n+1}}{2sqrt{n}}$

Nous cherchons quand <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?frac{sqrt{n+1}}{2sqrt{n}} < 1" alt="frac{sqrt{n+1}}{2sqrt{n}}

Conclusion : La suite est strictement décroissante pour $n geq 1$ .

2) Étude de la suite récurrente $u_{n+1} = frac{u_n}{1+u_n^2}$ avec $u_0 = 4$

Soit $f(x) = frac{x}{1+x^2}$ pour 0″ alt= »x > 0″>.

Calculons $f'(x) = frac{1+x^2-xtimes 2x}{(1+x^2)^2} = frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

Pour 1″ alt= »x > 1″>, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) < 0" alt="f'(x) , donc est décroissante.

De plus, pour 1″ alt= »x > 1″> : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x) = frac{x}{1+x^2} < frac{x}{x^2} = frac{1}{x} < x" alt="f(x) = frac{x}{1+x^2} < frac{x}{x^2} = frac{1}{x}

Comme 1″ alt= »u_0 = 4 > 1″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?u_{n+1} = f(u_n) < u_n" alt="u_{n+1} = f(u_n) , la suite est strictement décroissante.

Conclusion : La suite est strictement décroissante.

3) Étude de la suite $u_n = frac{1}{n+1} - frac{1}{n}$

$u_n = frac{n-(n+1)}{n(n+1)} = frac{-1}{n(n+1)}$

Calculons $u_{n+1} - u_n$ :

$u_{n+1} - u_n = frac{-1}{(n+1)(n+2)} - frac{-1}{n(n+1)} = frac{1}{n(n+1)} - frac{1}{(n+1)(n+2)}$

0″ alt= »u_{n+1} – u_n = frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)} = frac{2}{n(n+1)(n+2)} > 0″>

Conclusion : La suite est strictement croissante.

4) Étude de la suite $u_n = n!$

Nous avons $u_{n+1} = (n+1)!$ et $u_n = n!$

Donc 0″ alt= »u_{n+1} – u_n = (n+1)! – n! = (n+1) times n! – n! = n!(n+1-1) = n! times n > 0″>

Conclusion : La suite est strictement croissante pour $n geq 1$ .

Exercice 7 – problème de plutonium et de suites.

1) Expression de m_t+1 en fonction de m_t

La quantité de plutonium 239 diminue de 0,003 % tous les ans.

Cela signifie qu’il reste chaque année : de la quantité précédente.

Donc : $m_{t+1}=m_ttimes frac{99{,}997}{100}=0{,}99997times m_t$

2) Nature de la suite (m_t) et expression de m_t

La suite (m_t) est une suite géométrique de raison et de premier terme m_0=1 gramme.

Expression générale : $m_t=m_0times q^t=1times (0{,}99997)^t=(0{,}99997)^t$

3) Sens de variation de la suite (m_t)

Puisque <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<q=0{,}99997<1" alt="0<q=0{,}99997, la suite géométrique (m_t) est strictement décroissante.

4) Demi-vie du plutonium 239

On cherche le nombre d’années tel que $m_t=frac{1}{2}$ .

On résout : $(0{,}99997)^t=0{,}5$

En prenant le logarithme : $ttimes ln(0{,}99997)=ln(0{,}5)$

Donc : $t=frac{ln(0{,}5)}{ln(0{,}99997)}approxfrac{-0{,}693}{-0{,}00003}approx23100$

La demi-vie du plutonium 239 est d’environ 23 100 années.

Exercice 8 – suite arithmétique et monotonie.

Rappel : Pour une suite arithmétique (u_n) de raison :

• Si 0″ alt= »r>0″>, la suite est strictement croissante

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?r<0" alt="r, la suite est strictement décroissante

• Si r=0 , la suite est constante

1) Suite avec $u_0=frac{1}{3}$ et r=0{,}4

Comme 0″ alt= »r=0{,}4>0″>, la suite (u_n) est strictement croissante.

2) Suite avec u_0=10 et r=-2

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?r=-2<0" alt="r=-2, la suite (u_n) est strictement décroissante.

3) Suite avec u_0=-2 et r=-2

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?r=-2<0" alt="r=-2, la suite (u_n) est strictement décroissante.

4) Suite avec u_0=-5 et $r=frac{1}{4}$

Comme 0″ alt= »r=frac{1}{4}>0″>, la suite (u_n) est strictement croissante.

Exercice 9 – suite géométrique et monotonie.

1) Suite géométrique avec $v_0 = -5$ et $q = frac{1}{4}$

Le terme général est : $v_n = v_0 times q^n = -5 times left(frac{1}{4}right)^n$

Étudions $v_{n+1} - v_n$ :

$v_{n+1} - v_n = -5 times left(frac{1}{4}right)^{n+1} - left(-5 times left(frac{1}{4}right)^nright)$

$= -5 times left(frac{1}{4}right)^n times left(frac{1}{4} - 1right)$

0″ alt= »= -5 times left(frac{1}{4}right)^n times left(-frac{3}{4}right) = frac{15}{4} times left(frac{1}{4}right)^n > 0″>

La suite (v_n) est strictement croissante.

2) Suite géométrique avec $v_0 = frac{1}{5}$ et $q = 6$

Le terme général est : $v_n = frac{1}{5} times 6^n$

Étudions $v_{n+1} - v_n$ :

$v_{n+1} - v_n = frac{1}{5} times 6^{n+1} - frac{1}{5} times 6^n$

0″ alt= »= frac{1}{5} times 6^n times (6 – 1) = frac{5}{5} times 6^n = 6^n > 0″>

La suite (v_n) est strictement croissante.

3) Suite géométrique avec $v_0 = 5$ et $q = -frac{1}{5}$

Le terme général est : $v_n = 5 times left(-frac{1}{5}right)^n$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?q = -frac{1}{5} < 0" alt="q = -frac{1}{5} , les termes alternent de signe :

• Si est pair : 0″ alt= »v_n = 5 times left(frac{1}{5}right)^n > 0″>

• Si est impair : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?v_n = -5 times left(frac{1}{5}right)^n < 0" alt="v_n = -5 times left(frac{1}{5}right)^n

La suite (v_n) n’est pas monotone (elle oscille).

4) Suite géométrique avec $v_0 = -frac{1}{2}$ et $q = -frac{1}{2}$

Le terme général est : $v_n = -frac{1}{2} times left(-frac{1}{2}right)^n$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?q = -frac{1}{2} < 0" alt="q = -frac{1}{2} , les termes alternent de signe.

Calculons les premiers termes :

$v_0 = -frac{1}{2}$ , $v_1 = frac{1}{4}$ , $v_2 = -frac{1}{8}$ , $v_3 = frac{1}{16}$ …

La suite (v_n) n’est pas monotone (elle oscille).

Exercice 10 – par lecture graphique, indiquer si la suite est monotone.

1) Analyse du premier graphique :

En observant les points qui représentent les termes de la suite, on constate que :

• Les valeurs oscillent entre des valeurs positives (au-dessus de 0) et des valeurs négatives (en dessous de 0)

• La suite n’est ni croissante ni décroissante de manière constante

• Les termes alternent entre des valeurs hautes et basses

Conclusion : La suite représentée dans le graphique 1) n’est pas monotone.

Limite éventuelle : Par lecture graphique, les points semblent osciller autour de la valeur 0, mais sans converger vers une valeur précise. La suite ne semble pas avoir de limite.

2) Analyse du deuxième graphique :

En observant les points qui représentent les termes de la suite, on constate que :

• Les valeurs augmentent progressivement de gauche à droite

• Chaque terme semble supérieur ou égal au précédent

• La suite présente un comportement croissant

Conclusion : La suite représentée dans le graphique 2) est monotone croissante.

Limite éventuelle : Par lecture graphique, les points semblent se stabiliser vers une valeur proche de 2. La suite semble converger vers $lim_{nto+infty}u_n=2$ .

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