Angles orientés et trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les angles orientés et la trigonométrie constituent des notions fondamentales du programme de mathématiques en 1ère qui préparent les élèves aux concepts géométriques avancés. Cette série d’exercices corrigés permet aux collégiens de maîtriser la mesure des angles, comprendre leur orientation dans le plan et découvrir les premières approches de la trigonométrie. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves développent leur raisonnement géométrique, apprennent à utiliser les outils de mesure et renforcent leurs compétences en calcul d’angles. Ces exercices progressifs accompagnent efficacement l’apprentissage de ces concepts essentiels pour la suite du parcours mathématique au collège.

Exercice 1 – donner plusieurs nombres réels ayant le même point-image.

Première partie :

1) Pour $frac{2pi}{3}$ :

Les nombres réels ayant le même point-image sont : $frac{2pi}{3}+2kpi$ où

Exemples : $frac{2pi}{3}$ , $frac{2pi}{3}+2pi=frac{8pi}{3}$ , $frac{2pi}{3}-2pi=-frac{4pi}{3}$

2) Pour $frac{pi}{5}$ :

Les nombres réels ayant le même point-image sont : $frac{pi}{5}+2kpi$ où

Exemples : $frac{pi}{5}$ , $frac{pi}{5}+2pi=frac{11pi}{5}$ , $frac{pi}{5}-2pi=-frac{9pi}{5}$

3) Pour $-frac{27pi}{4}$ :

Les nombres réels ayant le même point-image sont : $-frac{27pi}{4}+2kpi$ où

Exemples : $-frac{27pi}{4}$ , $-frac{27pi}{4}+8pi=-frac{5pi}{4}$ , $-frac{27pi}{4}+6pi=-frac{3pi}{4}$

4) Pour $frac{3pi}{10}$ :

Les nombres réels ayant le même point-image sont : $frac{3pi}{10}+2kpi$ où

Exemples : $frac{3pi}{10}$ , $frac{3pi}{10}+2pi=frac{23pi}{10}$ , $frac{3pi}{10}-2pi=-frac{17pi}{10}$

Deuxième partie :

1) Tous les nombres réels ayant le même point-image que $frac{pi}{3}$ sont :

$frac{pi}{3}+2kpi$ où

2) Tous les nombres réels ayant le même point-image que $-frac{3pi}{5}$ sont :

$-frac{3pi}{5}+2kpi$ où

Exercice 2 – convertir les mesures des angles orientés.

1) Conversion des angles en degrés :

Pour convertir un angle de radians en degrés, on utilise la formule : $text{angle en degr'es} = text{angle en radians} times frac{180}{pi}$

• $frac{5pi}{6} = frac{5pi}{6} times frac{180}{pi} = frac{5 times 180}{6} = frac{900}{6} = 150°$

• $frac{3pi}{4} = frac{3pi}{4} times frac{180}{pi} = frac{3 times 180}{4} = frac{540}{4} = 135°$

• $frac{pi}{5} = frac{pi}{5} times frac{180}{pi} = frac{180}{5} = 36°$

• $frac{5pi}{8} = frac{5pi}{8} times frac{180}{pi} = frac{5 times 180}{8} = frac{900}{8} = 112{,}5°$

• $frac{2pi}{3} = frac{2pi}{3} times frac{180}{pi} = frac{2 times 180}{3} = frac{360}{3} = 120°$

2) Placement sur le cercle trigonométrique :

Sur le cercle trigonométrique, on place les points en partant de l’axe des abscisses positif et en tournant dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) :

• $frac{pi}{5}$ (36°) : dans le 1er quadrant

• $frac{5pi}{8}$ (112,5°) : dans le 2ème quadrant

• $frac{2pi}{3}$ (120°) : dans le 2ème quadrant

• $frac{3pi}{4}$ (135°) : dans le 2ème quadrant

• $frac{5pi}{6}$ (150°) : dans le 2ème quadrant

Exercice 3 – cercle trigonométrique et angles orientés.

1) Conversion en degrés :

Pour convertir de radians en degrés, on utilise la formule : $text{angle en degrés} = text{angle en radians} times frac{180°}{pi}$

• $frac{pi}{3} = frac{pi}{3} times frac{180°}{pi} = frac{180°}{3} = 60°$

• $frac{3pi}{10} = frac{3pi}{10} times frac{180°}{pi} = frac{3 times 180°}{10} = frac{540°}{10} = 54°$

• $frac{2pi}{5} = frac{2pi}{5} times frac{180°}{pi} = frac{2 times 180°}{5} = frac{360°}{5} = 72°$

• $frac{7pi}{8} = frac{7pi}{8} times frac{180°}{pi} = frac{7 times 180°}{8} = frac{1260°}{8} = 157{,}5°$

• $frac{pi}{4} = frac{pi}{4} times frac{180°}{pi} = frac{180°}{4} = 45°$

2) Placement sur le cercle trigonométrique :

Sur le cercle trigonométrique orienté dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) :

• $frac{pi}{3}$ (60°) : dans le 1er quadrant

• $frac{3pi}{10}$ (54°) : dans le 1er quadrant

• $frac{2pi}{5}$ (72°) : dans le 1er quadrant

• $frac{7pi}{8}$ (157,5°) : dans le 2ème quadrant

• $frac{pi}{4}$ (45°) : dans le 1er quadrant

Exercice 4 – placer les point-image sur le cercle trigonométrique.

Pour placer les points-images sur le cercle trigonométrique, nous devons convertir chaque angle en mesure équivalente entre 0 et 2π.

1) Pour l’angle $-frac{pi}{3}$ :

Angle négatif, on tourne dans le sens horaire de $frac{pi}{3}$ radians (60°).

Position équivalente : $2pi-frac{pi}{3}=frac{5pi}{3}$

2) Pour l’angle $-frac{pi}{2}$ :

Angle négatif, on tourne dans le sens horaire de $frac{pi}{2}$ radians (90°).

Position équivalente : $2pi-frac{pi}{2}=frac{3pi}{2}$

3) Pour l’angle $frac{11pi}{8}$ :

Cet angle est compris entre et $frac{3pi}{2}$ (3ème quadrant).

$frac{11pi}{8}=frac{11pi}{8}$ (déjà entre 0 et 2π)

4) Pour l’angle $frac{5pi}{8}$ :

Cet angle est compris entre $frac{pi}{2}$ et (2ème quadrant).

$frac{5pi}{8}=frac{5pi}{8}$ (déjà entre 0 et 2π)

5) Pour l’angle $frac{17pi}{6}$ :

Cet angle est supérieur à 2π, on retire un tour complet :

$frac{17pi}{6}-2pi=frac{17pi}{6}-frac{12pi}{6}=frac{5pi}{6}$

Positions finales sur le cercle :

• $-frac{pi}{3}$ → 4ème quadrant

• $-frac{pi}{2}$ → axe des ordonnées négatif

• $frac{11pi}{8}$ → 3ème quadrant

• $frac{5pi}{8}$ → 2ème quadrant

• $frac{17pi}{6}$ → 2ème quadrant (position $frac{5pi}{6}$ )

Exercice 5 – représenter l’arc de cercle sur le cercle trigonométrique.

1) Intervalle $left[-frac{pi}{4};0right]$

L’arc commence au point d’angle $-frac{pi}{4}$ (quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre depuis l’axe des abscisses) et se termine au point d’angle 0 (sur l’axe des abscisses positif). L’arc est tracé en rouge dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre).

2) Intervalle $left[frac{pi}{2};frac{3pi}{4}right]$

L’arc commence au point d’angle $frac{pi}{2}$ (sur l’axe des ordonnées positif) et se termine au point d’angle $frac{3pi}{4}$ (dans le deuxième quadrant). L’arc est tracé en rouge dans le sens direct.

3) Intervalle $left[frac{pi}{2};frac{5pi}{4}right]cupleft[frac{7pi}{4};2piright]$

Il s’agit de l’union de deux arcs :

– Premier arc : de $frac{pi}{2}$ à $frac{5pi}{4}$ (de l’axe des ordonnées positif au troisième quadrant)

– Deuxième arc : de $frac{7pi}{4}$ à 2pi (du quatrième quadrant jusqu’à l’axe des abscisses positif)

4) Intervalle $left[-frac{2pi}{3};-frac{pi}{6}right]cupleft[0;frac{pi}{2}right]$

Il s’agit de l’union de deux arcs :

– Premier arc : de $-frac{2pi}{3}$ à $-frac{pi}{6}$ (du troisième quadrant au quatrième quadrant)

– Deuxième arc : de 0 à $frac{pi}{2}$ (de l’axe des abscisses positif à l’axe des ordonnées positif)

Exercice 6 – donner la mesure des angles orientés.

Données :

Les points A, B, C, D et E sont respectivement point-images des nombres suivants :

$frac{pi}{4},frac{2pi}{3},frac{5pi}{6},-frac{3pi}{4}$ et $-frac{pi}{4}$

Rappel : La mesure d’un angle orienté est la différence des arguments : arg(V) – arg(U)

arg(A) – arg(I) = $frac{pi}{4}-0=frac{pi}{4}$

arg(B) – arg(A) = $frac{2pi}{3}-frac{pi}{4}=frac{8pi-3pi}{12}=frac{5pi}{12}$

arg(A) – arg(C) = $frac{pi}{4}-frac{5pi}{6}=frac{3pi-10pi}{12}=-frac{7pi}{12}$

arg(B) – arg(D) = $frac{2pi}{3}-(-frac{3pi}{4})=frac{2pi}{3}+frac{3pi}{4}=frac{8pi+9pi}{12}=frac{17pi}{12}$

arg(E) – arg(C) = $-frac{pi}{4}-frac{5pi}{6}=-frac{3pi+10pi}{12}=-frac{13pi}{12}$

arg(D) – arg(E) = $-frac{3pi}{4}-(-frac{pi}{4})=-frac{3pi}{4}+frac{pi}{4}=-frac{2pi}{4}=-frac{pi}{2}$

Exercice 7 – angles orientés dans un carré.

Dans un carré ABCD de centre O, calculons les mesures des angles orientés :

De A vers B en tournant dans le sens direct : $(vec{OA},vec{OB}) = frac{pi}{2}$

De A vers C (diagonalement opposé) : $(vec{OA},vec{OC}) = pi$

De B vers A en tournant dans le sens direct : $(vec{OB},vec{OA}) = frac{3pi}{2}$ ou $-frac{pi}{2}$

De AO vers AD : $(vec{AO},vec{AD}) = frac{pi}{4}$

De CB vers CD en tournant dans le sens direct : $(vec{CB},vec{CD}) = frac{pi}{2}$

De CA vers CB : $(vec{CA},vec{CB}) = frac{pi}{4}$

Exercice 8 – mesure principale d’un angle orienté

Rappel : La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure appartenant à l’intervalle .

1) Pour $-frac{7pi}{5}$ :

On calcule : $-frac{7pi}{5}=-1{,}4pi$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-1{,}4pi<-pi" alt="-1{,}4pi, on ajoute 2pi :

$-frac{7pi}{5}+2pi=-frac{7pi}{5}+frac{10pi}{5}=frac{3pi}{5}$

2) Pour $frac{18pi}{4}=frac{9pi}{2}$ :

On calcule : $frac{9pi}{2}=4{,}5pi$

On soustrait $4times 2pi=8pi$ :

$frac{9pi}{2}-8pi=frac{9pi}{2}-frac{16pi}{2}=-frac{7pi}{2}$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-frac{7pi}{2}<-pi" alt="-frac{7pi}{2}, on ajoute 2pi :

$-frac{7pi}{2}+2pi=-frac{7pi}{2}+frac{4pi}{2}=-frac{3pi}{2}$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-frac{3pi}{2}<-pi" alt="-frac{3pi}{2}, on ajoute encore 2pi :

$-frac{3pi}{2}+2pi=frac{pi}{2}$

3) Pour $frac{4pi}{7}$ :

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<frac{4pi}{7}<pi" alt="0<frac{4pi}{7}, cette mesure appartient déjà à .

La mesure principale est $frac{4pi}{7}$ .

4) Pour $frac{7pi}{10}$ :

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0<frac{7pi}{10}<pi" alt="0<frac{7pi}{10}, cette mesure appartient déjà à .

La mesure principale est $frac{7pi}{10}$ .

Réponses :

1) $frac{3pi}{5}$

2) $frac{pi}{2}$

3) $frac{4pi}{7}$

4) $frac{7pi}{10}$

Exercice 9 – mesure principale d’un angle

Rappel : La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure appartenant à l’intervalle .

1) Angle $frac{21pi}{4}$

On divise par 2pi pour trouver le nombre de tours :

$frac{21pi}{4}=frac{21pi}{4}times frac{1}{2pi}=frac{21}{8}=2{,}625$

Donc $frac{21pi}{4}=2times 2pi+frac{5pi}{4}$

Or pi » alt= »frac{5pi}{4}>pi »>, donc $frac{5pi}{4}-2pi=-frac{3pi}{4}$

Mesure principale : $-frac{3pi}{4}$

2) Angle $frac{37pi}{7}$

$frac{37pi}{7}div2pi=frac{37}{14}=2{,}64...$

Donc $frac{37pi}{7}=2times 2pi+frac{9pi}{7}$

Or pi » alt= »frac{9pi}{7}>pi »>, donc $frac{9pi}{7}-2pi=-frac{5pi}{7}$

Mesure principale : $-frac{5pi}{7}$

3) Angle $frac{2pi}{3}$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-pi<frac{2pi}{3}<pi" alt="-pi<frac{2pi}{3}, l’angle est déjà dans l’intervalle principal.

Mesure principale : $frac{2pi}{3}$

4) Angle $frac{23pi}{10}$

$frac{23pi}{10}div2pi=frac{23}{20}=1{,}15$

Donc $frac{23pi}{10}=1times 2pi+frac{3pi}{10}$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-pi<frac{3pi}{10}<pi" alt="-pi<frac{3pi}{10}, on a la mesure principale.

Mesure principale : $frac{3pi}{10}$

Exercice 10 – vecteurs et mesure principale d’un angle orienté.

Nous savons que $(vec{u},vec{v})=frac{pi}{6}$ .

1) Pour l’angle :

Nous utilisons la propriété :

Donc $(-vec{u},-vec{v})=frac{pi}{6}$

2) Pour l’angle :

Nous utilisons la propriété :

Donc $(vec{v},vec{u})=-frac{pi}{6}$

3) Pour l’angle :

Nous utilisons la propriété :

Donc $(-vec{v},-vec{u})=-frac{pi}{6}$

4) Pour l’angle :

Nous utilisons la relation :

Donc $(-vec{v},vec{u})=-frac{pi}{6}+pi=frac{5pi}{6}$

Réponses :

1) $frac{pi}{6}$

2) $-frac{pi}{6}$

3) $-frac{pi}{6}$

4) $frac{5pi}{6}$

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «angles orientés et trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

D'autres cours et exercices corrigés

Algorithmes avec Python

angles orientes trigonometrie exercices maths 1ere

Angles orientés et trigonométrie

Second degré

Dérivée

Limites et variations de suites

Produit scalaire dans le plan

Fonctions exponentielles

limites variations suites exercices maths 1ere

Limites et variations de suites

Révise tous les chapitres de maths en ligne.

Exercices de maths interactifs avec saisie au clavier des réponses.

Espace game de maths et de programmation avec scratch, blockly et python du collège au lycée.

📚✏️

👥 8

🎓 L'équipe MATHS PDF

⚡ Mis à jour quotidiennement

👨‍🏫 8 Enseignants Titulaires 👩‍🏫

🏫 Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale en poste dans les écoles primaires, collèges et lycées.
📝 Notre équipe collaborative enrichit quotidiennement nos cours de maths et exercices corrigés.
✅ Expertise multi-niveaux • 📅 Contenu actualisé chaque jour • 🎯 Méthodes éprouvées

📚 Tous nos cours ✏️ Tous nos exercices

Nos applications

Téléchargez la dernière version gratuite de nos applications.

Maths PDF c'est 14 321 977 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.