Produit scalaire dans le plan : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Le produit scalaire dans le plan est une notion fondamentale des mathématiques en 1ère qui permet aux élèves de développer leur compréhension de la géométrie vectorielle. Cette correction d’exercices détaillée aide les collégiens à maîtriser le calcul du produit scalaire, l’interprétation géométrique des vecteurs et les propriétés essentielles de cette opération. Grâce à ces exercices corrigés de mathématiques, les élèves renforcent leurs compétences en calcul vectoriel et consolident leurs acquis pour réussir leurs évaluations. Ces corrections pas à pas facilitent l’apprentissage autonome et permettent une meilleure préparation aux contrôles de géométrie en 1ère.

Exercice 1 – résoudre une équation avec des cosinus.

1) Changement de variable

a) On pose $X=cos x$ avec .

L’équation $4cos^2 x-2(1+sqrt{3})cos x+sqrt{3}=0$ devient :

$4X^2-2(1+sqrt{3})X+sqrt{3}=0$

b) Calculons le discriminant Delta :

$Delta=[-2(1+sqrt{3})]^2-4times 4times sqrt{3}$

$Delta=4(1+sqrt{3})^2-16sqrt{3}$

$Delta=4(4-2sqrt{3})=4(1-sqrt{3})^2$

c) Les solutions de l’équation du second degré sont :

$X_1=frac{2(1+sqrt{3})+2(sqrt{3}-1)}{8}=frac{4sqrt{3}}{8}=frac{sqrt{3}}{2}$

$X_2=frac{2(1+sqrt{3})-2(sqrt{3}-1)}{8}=frac{4}{8}=frac{1}{2}$

2) Solutions de l’équation (1)

On doit résoudre $cos x=frac{sqrt{3}}{2}$ et $cos x=frac{1}{2}$

Sur :

• $cos x=frac{sqrt{3}}{2}$ donne $x=-frac{pi}{6}$ et $x=frac{pi}{6}$

• $cos x=frac{1}{2}$ donne $x=-frac{pi}{3}$ et $x=frac{pi}{3}$

Sur :

$xinleft{pmfrac{pi}{6}+2kpi;pmfrac{pi}{3}+2kpi,kinmathbb{Z}right}$

Exercice 2 – droite et vecteur normal.

Rappel : Une droite d’équation a pour vecteur normal $vec{n}begin{pmatrix}a\bend{pmatrix}$ .

Vérification du vecteur normal :

L’équation a pour vecteur normal $vec{n}begin{pmatrix}2\-8end{pmatrix}$ .

Or $begin{pmatrix}2\-8end{pmatrix}=-2begin{pmatrix}-1\4end{pmatrix}$ .

Donc $vec{n}begin{pmatrix}-1\4end{pmatrix}$ est bien un vecteur normal à la droite. ✓

Vérification du passage par T(14 ; 7) :

On remplace les coordonnées de T dans l’équation :

$2times 14-8times 7+28=28-56+28=0$ ✓

Réponse : Oui, la droite d’équation a bien pour vecteur normal $vec{n}begin{pmatrix}-1\4end{pmatrix}$ et passe par le point T(14 ; 7).

Exercice 3 – rayon et coordonnées du centre du cercle.

Rappel : L’équation d’un cercle de centre (a;b) et de rayon est :

1) Pour le cercle $mathscr{C}_1$ d’équation :

En comparant avec la forme générale :

• a=2 et b=5

• r^2=9 donc

Le centre est (2;5) et le rayon est

2) Pour le cercle $mathscr{C}_2$ d’équation :

On réécrit :

En comparant avec la forme générale :

• a=-3 et b=7

• r^2=5 donc

Le centre est (-3;7) et le rayon est sqrt{5}

Exercice 4 – droites perpendiculaires.

1) Droites (AB) et (CD) :

Calculons les vecteurs directeurs :

$vec{AB} = (-1-1 ; 5-(-3)) = (-2 ; 8)$

$vec{CD} = (7-(-8) ; 7-3) = (15 ; 4)$

Calculons le produit scalaire :

$vec{AB} cdot vec{CD} = (-2) times 15 + 8 times 4 = -30 + 32 = 2$

Conclusion : $vec{AB} cdot vec{CD} neq 0$ , donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.

2) Droite (EF) et droite d₁ :

Calculons le vecteur directeur de (EF) :

$vec{EF} = (3-1 ; 11-7) = (2 ; 4)$

La droite d₁ a pour équation $x + 2y - 7 = 0$ , donc son vecteur normal est $vec{n_1} = (1 ; 2)$ .

Calculons le produit scalaire :

$vec{EF} cdot vec{n_1} = 2 times 1 + 4 times 2 = 2 + 8 = 10$

Conclusion : $vec{EF} cdot vec{n_1} neq 0$ , donc (EF) et d₁ ne sont pas perpendiculaires.

3) Droites d₂ et d₃ :

d₂ : $4x - 8y - 11 = 0$ a pour vecteur normal $vec{n_2} = (4 ; -8)$

d₃ : $-2x - y = 5$ soit $-2x - y - 5 = 0$ a pour vecteur normal $vec{n_3} = (-2 ; -1)$

Calculons le produit scalaire :

$vec{n_2} cdot vec{n_3} = 4 times (-2) + (-8) times (-1) = -8 + 8 = 0$

Conclusion : $vec{n_2} cdot vec{n_3} = 0$ , donc les droites d₂ et d₃ sont perpendiculaires.

Exercice 5 – exprimer un produit scalaire en fonction de vecteurs.

1) Figure :

On trace un triangle ABC avec AB = 3 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.

2) Expression de :

Utilisons la relation de Chasles :

Donc :

Par distributivité :

Or , donc :

$vec{AB}cdotvec{BC}=-AB^2+vec{AB}cdotvec{AC}$

3) Calcul de :

D’abord, calculons avec la formule :

$BC^2=AB^2+AC^2-2vec{AB}cdotvec{AC}$

Donc :

Réponse :

Exercice 6 – calculs de produits scalaires.

Données : Trois points E, F et G du plan tels que EF = 8, FG = 6 et EG = 11.

1) Calcul de $vec{EF} cdot vec{FG}$ :

On utilise la relation de Chasles : $vec{EG} = vec{EF} + vec{FG}$

En calculant $vec{EG}^2$ : $vec{EG}^2 = (vec{EF} + vec{FG})^2 = vec{EF}^2 + 2vec{EF} cdot vec{FG} + vec{FG}^2$

D’où : $11^2 = 8^2 + 2vec{EF} cdot vec{FG} + 6^2$

$121 = 64 + 2vec{EF} cdot vec{FG} + 36$

$121 = 100 + 2vec{EF} cdot vec{FG}$

Donc : $vec{EF} cdot vec{FG} = frac{21}{2} = 10{,}5$

2) Calcul de $vec{FG} cdot vec{GE}$ :

On utilise : $vec{FE} = vec{FG} + vec{GE}$

En calculant $vec{FE}^2$ : $vec{FE}^2 = vec{FG}^2 + 2vec{FG} cdot vec{GE} + vec{GE}^2$

D’où : $8^2 = 6^2 + 2vec{FG} cdot vec{GE} + 11^2$

$64 = 36 + 2vec{FG} cdot vec{GE} + 121$

Donc : $vec{FG} cdot vec{GE} = frac{64 - 157}{2} = -frac{93}{2} = -46{,}5$

3) Calcul de $vec{GF} cdot vec{FE}$ :

On utilise : $vec{GE} = vec{GF} + vec{FE}$

En calculant $vec{GE}^2$ : $vec{GE}^2 = vec{GF}^2 + 2vec{GF} cdot vec{FE} + vec{FE}^2$

D’où : $11^2 = 6^2 + 2vec{GF} cdot vec{FE} + 8^2$

$121 = 36 + 2vec{GF} cdot vec{FE} + 64$

Donc : $vec{GF} cdot vec{FE} = frac{121 - 100}{2} = frac{21}{2} = 10{,}5$

Exercice 7 – calculer des normes de vecteurs.

1) Calcul de ||⃗a||, ||⃗b|| et ||⃗a + ⃗b|| :

On a $vec{a}begin{pmatrix}2\6end{pmatrix}$ et $vec{b}begin{pmatrix}-3\5end{pmatrix}$

Calcul de ||⃗a|| :

$||vec{a}||=sqrt{2^2+6^2}=sqrt{4+36}=sqrt{40}=2sqrt{10}$

Calcul de ||⃗b|| :

$||vec{b}||=sqrt{(-3)^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}$

Calcul de ⃗a + ⃗b :

$vec{a}+vec{b}=begin{pmatrix}2\6end{pmatrix}+begin{pmatrix}-3\5end{pmatrix}=begin{pmatrix}2+(-3)\6+5end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1\11end{pmatrix}$

Calcul de ||⃗a + ⃗b|| :

$||vec{a}+vec{b}||=sqrt{(-1)^2+11^2}=sqrt{1+121}=sqrt{122}$

2) Calcul de ⃗a · ⃗b :

Le produit scalaire est :

$vec{a}cdotvec{b}=2times (-3)+6times 5=-6+30=24$

Réponses :

; ; et

Exercice 8 – calculer des produits scalaires à l’aide de coordonnées.

1) $vec{u}cdotvec{v}=15times 6+(-8)times 9=90-72=18$

2) $vec{s}cdotvec{t}=(-1)times (-3)+(-2)times (-4)=3+8=11$

3) $vec{a}cdotvec{b}=(sqrt{3}-2)times (sqrt{3}+2)+6times 1$

$=(sqrt{3})^2-2^2+6=3-4+6=5$

4) On a et

Donc $vec{c}cdotvec{UV}=sqrt{6}times (5-(sqrt{24}+5))+2times (sqrt{2}-1)$

$=sqrt{6}times (-sqrt{24})+2sqrt{2}-2$

$=-sqrt{6times 24}+2sqrt{2}-2=-sqrt{144}+2sqrt{2}-2=-12+2sqrt{2}-2=-14+2sqrt{2}$

5) On a A(-1;2) et B(-3;6)

Donc

$vec{r}cdotvec{AB}=3times (-2)+7times 4=-6+28=22$

6) On a et

$vec{CD}cdotvec{MR}=(-6)times 5+(-2)times 2=-30-4=-34$

7) On a et

$vec{ST}cdotvec{EF}=(-3)times 3+(-3)times (-1)=-9+3=-6$

Exercice 9 – déterminer les produits scalaires suivants.

On a $vec{u}begin{pmatrix}-1\5end{pmatrix}$ et $vec{v}begin{pmatrix}2\4end{pmatrix}$

1) Calcul de :

$vec{u}cdotvec{v}=(-1)times 2+5times 4=-2+20=18$

2) Calcul de :

$2vec{u}=2begin{pmatrix}-1\5end{pmatrix}=begin{pmatrix}-2\10end{pmatrix}$

$(2vec{u})cdotvec{v}=(-2)times 2+10times 4=-4+40=36$

Ou plus directement : $(2vec{u})cdotvec{v}=2(vec{u}cdotvec{v})=2times 18=36$

3) Calcul de :

$(-vec{u})cdot(3vec{v})=(-1)times 3times (vec{u}cdotvec{v})=-3times 18=-54$

Exercice 10 – ecrire un algorithme qui donne le produit scalaire.

Algorithme :

Variables :

– x₁, y₁ : coordonnées du premier vecteur

– x₂, y₂ : coordonnées du second vecteur

– produit_scalaire : résultat

Début

Afficher « Saisir les coordonnées du premier vecteur : »

Afficher « Abscisse x₁ : »

Lire x₁

Afficher « Ordonnée y₁ : »

Lire y₁

Afficher « Saisir les coordonnées du second vecteur : »

Afficher « Abscisse x₂ : »

Lire x₂

Afficher « Ordonnée y₂ : »

Lire y₂

produit_scalaire ← x₁ × x₂ + y₁ × y₂

Afficher « Le produit scalaire des deux vecteurs est : », produit_scalaire

Fin

Rappel : Si $vec{u}(x_1;y_1)$ et $vec{v}(x_2;y_2)$ alors $vec{u}cdotvec{v}=x_1times {x_2}+y_1times {y_2}$

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