Proportionnalité : corrigés des exercices de maths en CM1.

Exercice 1 : un producteur de fruits et légumes
a. 3 kg de pommes rubinette :

Le prix des pommes rubinettes est de 4 € par kilogramme.

Donc, pour 3 kg :
$3\,\times \,4\,=\,12\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. 5 kg de pommes royal gala :

Le prix des pommes royal gala est de 2 € par kilogramme.

Donc, pour 5 kg :
$5\,\times \,2\,=\,10\,\%2C\,%E2%82%AC$

c. 2 kg de figues fraîches :

Le prix des figues fraîches est de 10 € par kilogramme.

Donc, pour 2 kg :
$2\,\times \,10\,=\,20\,\%2C\,%E2%82%AC$

d. 4 kg de potimarron :

Le prix du potimarron est de 5 € par kilogramme.

Donc, pour 4 kg :
$4\,\times \,5\,=\,20\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 2 : trois paires de chaussettes
a. Calcul du prix de 9 paires de chaussettes :

Le coût de 3 paires de chaussettes est de 4 €.

Le coût d’une paire de chaussettes est donc :
$\frac{4\,\%2C\,%E2%82%AC}{3}\,=\,\frac{4}{3}\,\%2C\,%E2%82%AC$

Pour 9 paires de chaussettes :
$9\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,9\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,3\,\times \,4\,=\,12\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Calcul du prix de 15 paires de chaussettes :

Le coût d’une paire de chaussettes est :
$\frac{4\,\%2C\,%E2%82%AC}{3}\,=\,\frac{4}{3}\,\%2C\,%E2%82%AC$

Pour 15 paires de chaussettes :
$15\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,15\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,5\,\times \,4\,=\,20\,\%2C\,%E2%82%AC$

c. Calcul du prix de 24 paires de chaussettes (deux méthodes) :

Méthode 1 : Calcul direct

Le coût d’une paire de chaussettes est :
$\frac{4\,\%2C\,%E2%82%AC}{3}\,=\,\frac{4}{3}\,\%2C\,%E2%82%AC$

Pour 24 paires de chaussettes :
$24\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,24\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,8\,\times \,4\,=\,32\,\%2C\,%E2%82%AC$

Méthode 2 : Utilisation du coût de plusieurs ensembles de 3 paires

Sachant que 3 paires coûtent 4 € :
$24\,\%2C\,paires\,=\,8\,\times \,3\,\%2C\,paires$

Le coût de 8 ensembles de 3 paires est :
$8\,\times \,4\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,32\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 3 : voiture et consommation

a. La voiture de Zolan consomme 6 L pour parcourir 100 km. Pour 300 km :
$300\,\%2C\,km\,\times \,\frac{6\,\%2C\,L}{100\,\%2C\,km}\,=\,18\,\%2C\,L$

b. Pour 500 km :
$500\,\%2C\,km\,\times \,\frac{6\,\%2C\,L}{100\,\%2C\,km}\,=\,30\,\%2C\,L$

c. Pour 700 km :
$700\,\%2C\,km\,\times \,\frac{6\,\%2C\,L}{100\,\%2C\,km}\,=\,42\,\%2C\,L$

d. Zolan peut parcourir avec 3 L :
$3\,\%2C\,L\,\times \,\frac{100\,\%2C\,km}{6\,\%2C\,L}\,=\,50\,\%2C\,km$

e. Avec 1,5 L :
$1%2C5\,\%2C\,L\,\times \,\frac{100\,\%2C\,km}{6\,\%2C\,L}\,=\,25\,\%2C\,km$

f. Avec 4,5 L :
$4%2C5\,\%2C\,L\,\times \,\frac{100\,\%2C\,km}{6\,\%2C\,L}\,=\,75\,\%2C\,km$

Exercice 4 : recette pour roses des sables au chocolat

a. Complétons le tableau en utilisant les proportions indiquées dans la recette initiale :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Pour\,10\,pers.\,%26\,Pour\,20\,pers.\,%26\,Pour\,5\,pers.\,%26\,Pour\,7\,pers.\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACorn\,flakes\,%26\,200\,\%2C\,g\,%26\,400\,\%2C\,g\,%26\,100\,\%2C\,g\,%26\,140\,\%2C\,g\,\\%0D%0A\hline%0D%0ASucre\,glace\,%26\,150\,\%2C\,g\,%26\,300\,\%2C\,g\,%26\,75\,\%2C\,g\,%26\,105\,\%2C\,g\,\\%0D%0A\hline%0D%0AChocolat\,noir\,%26\,250\,\%2C\,g\,%26\,500\,\%2C\,g\,%26\,125\,\%2C\,g\,%26\,175\,\%2C\,g\,\\%0D%0A\hline%0D%0ABeurre\,%26\,160\,\%2C\,g\,%26\,320\,\%2C\,g\,%26\,80\,\%2C\,g\,%26\,112\,\%2C\,g\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Pour déterminer pour combien de personnes maximum Chama pourra réaliser cette recette, nous devons prendre l’ingrédient limitant, c’est-à-dire celui dont la quantité disponible permettra de préparer le moins de parts.

– Chocolat noir : $600\,\%2C\,g$
– Beurre : $400\,\%2C\,g$

Pour personnes, il faut $250\,\%2C\,g$ de chocolat noir et $160\,\%2C\,g$ de beurre.

Calculons combien de fois Chama peut multiplier la recette pour chaque ingrédient :

$Pour\,le\,chocolat\,noir\,%3A\,\frac{600\,\%2C\,g}{250\,\%2C\,g}\,=\,2%2C4\,\Rightarrow\,2\,\,fois$

$Pour\,le\,beurre\,%3A\,\frac{400\,\%2C\,g}{160\,\%2C\,g}\,=\,2%2C5\,\Rightarrow\,2\,\,fois$

Puisque l’ingrédient limitant dans ce cas est le chocolat noir, Chama pourra faire la recette pour $2\,\times \,10\,=\,20$ personnes.

Conclusion : Chama pourra réaliser la recette pour un maximum de personnes.

Exercice 5 : reproductions et agrandissements
Soit les dimensions de la photo d’origine : $15\,\,cm\,\times \,10\,\,cm$ .

Pour qu’une reproduction soit un agrandissement proportionnel, les ratios de longueur et largeur de la photo d’origine et de la reproduction doivent être égaux.

Calculons les ratios pour chaque reproduction et vérifions s’ils sont proportionnels :

– Reproduction A :

$20\,\,cm\,\times \,15\,\,cm$

$\frac{20}{15}\,=\,\frac{4}{3}\,\quad\,et\,\quad\,\frac{15}{10}\,=\,\frac{3}{2.}$

Les ratios $\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{2}$ ne sont pas égaux, donc A n’est pas proportionnelle à l’original.

– Reproduction B :

$25\,\,cm\,\times \,20\,\,cm$

$\frac{25}{15}\,=\,\frac{5}{3}\,\quad\,et\,\quad\,\frac{20}{10}\,=\,2.$

Les ratios $\frac{5}{3}$ et ne sont pas égaux, donc B n’est pas proportionnelle à l’original.

– Reproduction C :

$30\,\,cm\,\times \,20\,\,cm$

$\frac{30}{15}\,=\,2\,\quad\,et\,\quad\,\frac{20}{10}\,=\,2.$

Les ratios $\frac{30}{15}$ et $\frac{20}{10}$ sont égaux (2), donc C est proportionnelle à l’original.

– Reproduction E :

$45\,\,cm\,\times \,30\,\,cm$

$\frac{45}{15}\,=\,3\,\quad\,et\,\quad\,\frac{30}{10}\,=\,3.$

Les ratios $\frac{45}{15}$ et $\frac{30}{10}$ sont égaux (3), donc E est proportionnelle à l’original.

– Reproduction D :

$30\,\,cm\,\times \,25\,\,cm$

$\frac{30}{15}\,=\,2\,\quad\,et\,\quad\,\frac{25}{10}\,=\,\frac{5}{2}\,=\,2.5.$

Les ratios $\frac{30}{15}$ et $\frac{25}{10}$ ne sont pas égaux, donc D n’est pas proportionnelle à l’original.

Ainsi, les reproductions proportionnelles à la photo d’origine sont les reproductions et .

Exercice 6 : calories et pomme
1.
a. pommes contiennent fois plus de calories qu’une pomme. Soit $2\,\times \,80$ = calories.

b. pommes contiennent fois plus de calories qu’une pomme. Soit $5\,\times \,80$ = calories.

2.
a. mL de jus de pomme contiennent fois moins de calories que mL de jus de pomme, soit $250\,: \,10$ . $250\,: \,10\,=\,25$ calories.

b. mL de jus de pomme contiennent fois moins de calories que mL de jus de pomme, soit $250\,: \,5$ . $250\,: \,5\,=\,50$ calories.

Exercice 7 : une bouteille de soupe
a. Complétons le tableau suivant:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,de\,bouteilles\,achetees\,%26\,2\,%26\,4\,%26\,6\,%26\,8\,%26\,10\,%26\,12\,%26\,15\,%26\,20\,%26\,30\,%26\,50\,\\%0D%0A\hline%0D%0APrix\,paye\,(en\,euros)\,%26\,5\,%26\,10\,%26\,15\,%26\,20\,%26\,25\,%26\,30\,%26\,37.5\,%26\,50\,%26\,75\,%26\,125\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. En lisant le tableau, on obtient les prix suivants :
– Le prix de 8 bouteilles est $8\,\times \,2%2C50\,=\,20\,\%2C\,euros$ .
– Le prix de 15 bouteilles est $15\,\times \,2%2C50\,=\,37.5\,\%2C\,euros$ .
– Le prix de 50 bouteilles est $50\,\times \,2%2C50\,=\,125\,\%2C\,euros$ .

c. Pour déterminer combien de bouteilles de soupe peut-on acheter avec :
– 10 euros : $\frac{10}{2%2C50}\,=\,4\,\%2C\,bouteilles$ .
– 30 euros : $\frac{30}{2%2C50}\,=\,12\,\%2C\,bouteilles$ .
– 75 euros : $\frac{75}{2%2C50}\,=\,30\,\%2C\,bouteilles$ .

Exercice 8 : problème de rectangles
a. Le rectangle H est-il un agrandissement du rectangle F ?

$Dimensions\,de\,\,H\,%3A\,4\,\times \,2$
$Dimensions\,de\,\,F\,%3A\,2\,\times \,1$

On observe que
$\frac{4}{2}\,=\,2\,\quad\,et\,\quad\,\frac{2}{1}\,=\,2$

Oui, le rectangle H est un agrandissement du rectangle F avec un facteur de 2.

b. Le carré E est-il une réduction du carré C ?

$Dimensions\,de\,\,E\,%3A\,2\,\times \,2$
$Dimensions\,de\,\,C\,%3A\,6\,\times \,6$

On observe que
$\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{3}$

Oui, le carré E est une réduction du carré C avec un facteur de $\frac{1}{3}$ .

c. Quel rectangle est un agrandissement du rectangle G ?

$Dimensions\,de\,\,G\,%3A\,2\,\times \,1$

Les rectangles qui peuvent être des agrandissements de G sont ceux dont les dimensions sont des multiples de $2\,\times \,1$ .

$Dimensions\,de\,\,F\,%3A\,2\,\times \,1$
$Dimensions\,de\,\,H\,%3A\,4\,\times \,2$

On voit que H est un agrandissement de G (facteur 2).

d. Quel rectangle est une réduction du rectangle D ?

$Dimensions\,de\,\,D\,%3A\,5\,\times \,3$

Un rectangle de dimensions proportionnelles mais plus petites que $5\,\times \,3$ est $1\,\times \,1$ ou $2%2C5\,\times \,1%2C5$ .

Il n’y en a pas dans cette figure, donc il n’y a pas de réduction proportionnelle exacte de D.

Partie e :

Colorie d’une même couleur les rectangles et les carrés dont les dimensions sont proportionnelles.

– Rouge : E (proportionnel à lui-même)
– Bleu : F et G (proportionnellement identiques)
– Vert : H (proportionnel à G et F par facteur 2)
– Orange : A (n’a pas d’équivalent proportionnel exact indiqué)

On peut donc colorier
– H et F en bleu.
– C et E en vert.

Exercice 9 : vitesse constante
a. En 3 h :

$d\,=\,v\,\times \,t\,=\,12\,\%2C\,\text{km%2Fh}\,\times \,3\,\%2C\,\text{h}\,=\,36\,\%2C\,\text{km}$

En 5 h :

$d\,=\,v\,\times \,t\,=\,12\,\%2C\,\text{km%2Fh}\,\times \,5\,\%2C\,\text{h}\,=\,60\,\%2C\,\text{km}\,$
En $\frac{1}{4}$ h :

$d=v\times t =12\,\times \frac{1}{4}\,\text{h}=3\,\text{km}$

En 1 h 30 :

$d\,=\,v\,\times \,t\,=\,12\,\%2C\,\text{km%2Fh}\,\times \,1.5\,\%2C\,\text{h}\,=\,18\,\%2C\,\text{km}$

b. Pour 24 km :

$t\,=\,\frac{d}{v}\,=\,\frac{24\,\%2C\,\text{km}}{12\,\%2C\,\text{km%2Fh}}\,=\,2\,\%2C\,\text{h}\,$

Pour 72 km :

$t\,=\,\frac{d}{v}\,=\,\frac{72\,\%2C\,\text{km}}{12\,\%2C\,\text{km%2Fh}}\,=\,6\,\%2C\,\text{h}\,$

Pour 30 km :

$t\,=\,\frac{d}{v}\,=\,\frac{30\,\%2C\,\text{km}}{12\,\%2C\,\text{km%2Fh}}\,=\,2.5\,\%2C\,\text{h}\,=\,2\,\%2C\,\text{h}\,\%2C\,30\,\%2C\,\text{min}\,$