Sujet du bac de maths 2025 : France, septembre, jour 2
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2025
France — Sujet 2 (septembre) — 10 septembre 2025
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2) 6 points
De fait, de fait, de fait, de fait, el Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Ensuite, les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.
Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes
Partie A - Premier modèle
À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :
- chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à \(0{,}4\) ;
- la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.
1. Par ailleurs, justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. a. Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
b. De même, calculer \(P(X \leqslant 2)\). Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
3. Calculer \(E(X)\). Interpréter ce résultat.
Partie B - Second modèle
Puis, après une étude d'un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :
- si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est \(0{,}5\)
- par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est \(0{,}3\).
De même, on considère que l'année de référence est 2023.
De fait, on note pour tout entier naturel \(n\) :
- \(E_n\) l'évènement « le phénomène El Niño est dominant l'année \(2023 + n\) » ;
- \(p_n\) la probabilité de l'évènement \(E_n\).
En 2023, El Niño n'était pas dominant. Puis on a ainsi \(p_0 = 0\).
1. Aussi, soit \(n\) un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
2. Justifier que \(p_1 = 0{,}3\).
3. En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}3\]
De fait, on cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.
4. a. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite \((p_n)\).
b. De fait, par ailleurs, montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(p_n \leqslant \dfrac{3}{8}\).
c. Déterminer le sens de variation de la suite \((p_n)\).
d. Par ailleurs, de même, en déduire la convergence de la suite \((p_n)\).
On cherche à déterminer la limite de la suite \((p_n)\).
5. De plus, soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = p_n - \dfrac{3}{8}\) pour tout entier naturel \(n\).
a. Montrer que la suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.
b. Puis, par ailleurs, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[p_n = \dfrac{3}{8}\left(1 - 0{,}2^n\right).\]
c. Calculer la limite de la suite \((p_n)\).
d. Ensuite, interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2 (sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2) 5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Ensuite, dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.
Affirmation 1 : De plus, il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\sin(2x + \pi)\) et \(C\) sa courbe représentative dans un repère donné.
Affirmation 2 : Par ailleurs, une équation de la tangente à \(C\) au point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) est \(y = 6x - 3\pi\).
3. Aussi, on considère la fonction \(F\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(F(x) = (2x + 1)\ln (x)\).
Affirmation 3 : Puis, la fonction \(F\) est une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{2}{x}\).
4. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t) = 45\text{e}^{0{,}06t} + 20\).
Affirmation 4 : Également, la fonction \(g\) est l'unique solution de l'équation différentielle \((E_1)\ y' + 0{,}06y = 1{,}2\) vérifiant \(g(0) = 65\).
5. On considère l'équation différentielle :
\[(E_2) :\quad y' - y = 3\text{e}^{0{,}4x}\]
où \(y\) est une fonction positive de la variable réelle \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(y'\) la fonction dérivée de la fonction \(y\).
Affirmation 5 : Également, les solutions de l'équation \((E_2)\) sont des fonctions convexes sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 (sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2) 4 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~8]\) par
\[f(x) = \dfrac{10\ln \left(- x^2 + 7x + 9\right)}{x}\]
Puis, soit \(C_f\) la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\).
Partie A
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(- x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\).
2. Ensuite, en déduire que pour tout \(x \in ]0~;~8]\), on a \(f(x) \geqslant 0\).
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
Partie B
Puis, de plus, la courbe \(C_f\) est représentée ci-dessous.
De fait, soit \(M\) le point de \(C_f\) d'abscisse \(x\) avec \(x \in ]0~;~8]\).
Ensuite, on appelle \(N\) et \(P\) les projetés orthogonaux du point \(M\) respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire \(\mathcal{A}(x)\) du rectangle \(\text{O}NMP\).
1. Puis, donner les coordonnées des points \(N\) et \(P\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0~;~8]\),
\[\mathcal{A}(x) = 10 \ln \left(-x^2 + 7x + 9\right)\]
3. De même, existe-t-il une position du point \(M\) pour laquelle l'aire du rectangle \(\text{O}NMP\) est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
Partie C
On considère un réel strictement positif \(k\).
Puis, on souhaite déterminer la plus petite valeur de \(x\), approchée au dixième, appartenant à \([3{,}5~;~8]\) pour laquelle l'aire \(\mathcal{A}(x)\) devient inférieure ou égale à \(k\).
De plus, pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous.
Puis, pour rappel, en langage Python, \(\ln (x)\) s'écrit log (\(x\)).
1 from math import * 2 3 def A(x) : 4 return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9) 5 6 def pluspetitevaleur(k) : 7 x = 3.5 8 while A(x).......... : 9 x = x + 0.1 10 return ...........
1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.
2. De fait, quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?
3. Que se passe-t-il lorsque \(k = 35\) ? De plus, justifier.
Exercice 4 (sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2) 5 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).
Ensuite, on considère les points \(\text{A}(4~;~-1~;~3)\), \(\text{B}(-1~;~1~;~-2)\), \(\text{C}(0~;~4~;~5)\) et \(\text{D}(-3~;~-4~;~6)\).
1. a. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.
Ensuite, on admet qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(29x + 30y - 17z = 35\).
b. Puis, les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Ensuite, justifier.
On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.
On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
2. Soit \(P_1\) le plan médiateur du segment [AB].
a. De fait, déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB].
b. En déduire qu'une équation cartésienne de \(P_1\) est : \(5x - 2y + 5z = 10\).
3. Par ailleurs, on note \(P_2\) le plan médiateur du segment [CD].
a. Soit M un point du plan \(P_2\) de coordonnées \((x~;~y~;~z)\).
Exprimer \(\text{MC}^2\) et \(\text{MD}^2\) en fonction des coordonnées de M.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan \(P_2\) est : \(-3x - 8y + z = 10\).
b. Justifier que les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.
4. Soit \(\Delta\) la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l} x & = & -2 - 1{,}9t\\ y & = & t\\ z & = & 4 + 2{,}3t \end{array}\right. \quad \text{où } t \in \mathbb{R}\]
Démontrer que \(\Delta\) est la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\).
On note \(P_3\) le plan médiateur du segment [AC].
On admet qu'une équation cartésienne du plan \(P_3\) est : \(8x - 10y - 4z = - 15\).
5. Démontrer que la droite \(\Delta\) et le plan \(P_3\) sont sécants.
6. Justifier que le point d'intersection entre \(\Delta\) et \(P_3\) est le point H.
Présentation du sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2
L'énoncé du sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2 du 10 septembre 2025 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (6 points) porte sur : loi binomiale, espérance, arbre pondéré, suite arithmético-géométrique, récurrence, suite géométrique auxiliaire. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : combinaisons, dérivée et tangente, primitive, équations différentielles, convexité. Puis, l'exercice 3 (4 points) aborde : signe d'un trinôme, fonction logarithme, dérivée d'une composée, optimisation d'une aire, boucle while en Python. Enfin, l'exercice 4 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : colinéarité, équation cartésienne, plan médiateur, intersection de plans, droite et plan sécants.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 70 minutes pour l'exercice 1, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2025, France, septembre, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2025
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 1
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- France, septembre, jour 1
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
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