Bac de maths : Dérivation et convexité, les exercices des sujets officiels
Tous les exercices du bac de maths Dérivation tirés des sujets officiels, réunis sur une seule page.
Ces annales bac convexité réunissent 58 exercices des sujets de 2021 à 2026 sur la dérivation, les variations et la convexité. Le schéma revient souvent : d’abord calculer une dérivée, ensuite étudier son signe, puis dresser le tableau de variations. Enfin, la dérivée seconde permet d’étudier la convexité.
Plusieurs pièges guettent. Par exemple, dériver un produit comme \(x\,\mathrm{e}^{x}\) exige la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\). De plus, un point d’inflexion n’existe que si la dérivée seconde change de signe. Beaucoup d’élèves se contentent de dire qu’elle s’annule. Les questions de lecture graphique demandent aussi de relier la position de la courbe à ses tangentes.
Pour t’entraîner, commence par les exercices récents en haut de liste. Ensuite, ouvre le sujet complet en un clic. Travaille une heure par exercice de 5 points, calculatrice autorisée. Donc tu t’habitues au rythme réel. La correction se trouve en bas de page.
Toutes les notionsLa correction de ces exercices
Bac de maths : 58 exercices sur dérivation et convexité
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Session 2026
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Convexité de \(f(x)=5\ln(x^2+1)-3x\) conjecturée puis démontrée, avec limites et variations, avant d’utiliser la tangente en 1 pour établir une inégalité logarithmique.
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=x(\ln x)^2\) : limites, variations et solution unique de \(f(x)=2\), puis double intégration par parties avant un passage à la limite.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Fonction \(f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\) étudiée par limites, variations et convexité, puis suite d’intégrales \(I_n\) avec méthode des rectangles en Python et intégration par parties.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Équation différentielle \(y^{\prime}+y=(2x-3)\text{e}^{-x}\) résolue après identification de trois courbes, puis intégrale calculée par deux intégrations par parties, et enfin tangentes passant par l’origine.
France, jour 1 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Détermination graphique des paramètres de \(f(x)=a+\frac{b\ln(x+1)}{x+1}\), ensuite asymptote, variations, équation \(f(x)=1{,}5\) et calcul d’aire.
France, jour 2 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Lecture graphique de nombres dérivés et de primitives, puis étude de \(f(x)=(2x-1)\text{e}^{-2x+3}\) modélisant le contour d’un logo, avec limite, variations et valeurs intermédiaires.
France, septembre, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Étude complète de \(f(x)=(3x-1)\text{e}^{-x}+2\) : limites, variations et solution unique, puis aire sous la courbe par primitive et position par rapport à une tangente.
Session 2025
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Convexité et point d’inflexion de \(f(x)=\text{e}^x\sin x\) donnant l’inégalité \(f(x)\geqslant x\), puis intégration par parties double pour calculer l’aire entre la courbe et la droite \(y=x\).
Centres étrangers, jour 2 Exercice 2 · 6 ptsSpécialité
Détermination des paramètres d’une fonction logistique \(f(x)=\dfrac{1}{a+\text{e}^{-bx}}\) grâce à sa tangente, ensuite variations, équation \(f(\alpha)=0{,}97\) et valeur moyenne calculée par une primitive.
France, jour 1 Exercice 2 · 6 ptsSpécialité
Lectures graphiques de tangentes puis étude de \(f(x)=x\left[2(\ln x)^2-3\ln x+2\right]\), convexité et point d’inflexion, enfin aire entre courbe et tangente par intégration par parties.
France, jour 2 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Lecture graphique de la distance de freinage d’un chariot de manège, puis résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime}+0{,}6y=\text{e}^{-0{,}6t}\) donnant sa vitesse, ensuite étudiée.
France, septembre, jour 2 Exercice 3 · 4 ptsSpécialité
Signe et optimisation de l’aire \(\mathcal{A}(x)=10\ln(-x^2+7x+9)\) d’un rectangle sous une courbe, puis algorithme Python de seuil à compléter et à exécuter.
Session 2024
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Convexité et point d’inflexion de \(f(x)=x\ln(x^2)-1/x\), d’abord lus sur la courbe puis démontrés, avant limites, variations et solution unique de \(f(x)=0\).
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 4 · 4 ptsSpécialité
Primitive de \(a\ln x\) utilisée pour calculer l’aire d’un domaine, puis tangente en un point de la courbe, dont on montre qu’elle découpe un segment de longueur constante.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Variations de la fonction \(f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}\), réinvesties ensuite pour étudier la valeur prédictive positive d’un contrôle antidopage selon la proportion de sportifs dopés.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 2 · 6 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=\frac{\text{e}^x}{x-1}\) sur \(]-\infty;1[\) : limites et asymptote, variations, convexité et tangente en 0, puis solution unique de \(f(x)=-2\).
France, jour 1 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Étude complète de \(x-2+\dfrac12\ln x\) avec limites, convexité et solution \(\alpha\), ensuite variations d’une fonction liée, et enfin aire entre deux courbes calculée par intégration.
France, jour 2 Exercice 4 · 6 ptsSpécialité
Lecture graphique puis étude de \(f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}\) : variations, convexité, point d’inflexion et intégration par parties donnant une aire finie.
France, septembre, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Intégration par parties pour calculer le volume d’un bonbon au chocolat en forme de montagne, puis étude d’une fonction bénéfice contenant \(\ln(q)\) et de son maximum.
France, septembre, jour 2 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Fonction logistique \(f(x)=\frac{6}{1+5\text{e}^{-x}}\) étudiée en variations, convexité et aire par primitive, puis reliée à l’équation différentielle \(y^{\prime}=y-\frac16y^2\).
Session 2023
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Étude d’une fonction auxiliaire exponentielle, de ses limites et de ses deux zéros, puis variations de \(f(x)=\text{e}^{3x}-(2x+1)\text{e}^x\) et justification de sa non-convexité sur \(\mathbb{R}\).
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Lecture graphique de \(f^{\prime}\) pour les variations et la convexité, puis étude de \(f(x)=(x^2-5x+6)\text{e}^x\) : limites, dérivée, tangente en 0 et position par rapport à une droite.
Centres étrangers (groupe 1), jour 1 Exercice 4 · 3 ptsSpécialité
Fonction exponentielle \(f(t)=\text{e}^3-\text{e}^{-0{,}5t^2+t+2}\) modélisant des bactéries, dont on juge trois affirmations vraies ou fausses grâce aux variations, à la limite et au théorème des valeurs intermédiaires.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Fonction logarithme étudiée à travers l’auxiliaire \(g(x)=\ln(x^2)+x-2\) et son unique zéro, avant les limites, variations de \(f(x)=\frac{x-2}{x}\ln x\) et une position relative de courbes.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Convexité et tangente de la fonction logistique \(f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-3x}}\), avec lecture graphique, limites, résolution de \(f(x)=0{,}99\) puis point d’inflexion.
France, jour 1 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Limites, variations et minimum de \(f(x)=x^2-8\ln x\), puis théorème des valeurs intermédiaires pour ses deux zéros et plus petite constante \(k\) rendant \(g_k\) positive.
France, jour 2 Exercice 4 · 5 ptsSpécialité
Fonction \(f(x)=\ln(1+\text{e}^{-x})\) étudiée par ses limites, sa dérivée et sa convexité, ensuite tangente en 0 servant d’inégalité puis parallélisme avec une corde symétrique.
France, septembre, jour 1 Exercice 4 · 7 ptsSpécialité
Fonction auxiliaire \(g\) avec logarithme étudiée par dérivation et théorème des valeurs intermédiaires, puis convexité, point d’inflexion et variations de \(f(x)=\text{e}^x\ln x\).
France, septembre, jour 2 Exercice 2 · 5 ptsSpécialité
Convexité lue sur la courbe de la dérivée, puis limites, points d’intersection avec l’axe, variations et point d’inflexion de \(f(x)=(2-\ln x)\ln x\) établis par le calcul.
Session 2022
Amérique du Nord, jour 1 Exercice 4 · 7 ptsSpécialité
Fonction exponentielle mise à l’épreuve dans six affirmations vrai ou faux : égalités algébriques, tangente horizontale de \(x^2\text{e}^{-x}\), point d’inflexion, limite puis inégalité \(1+\text{e}^{2x}\geqslant 2\text{e}^x\).
Amérique du Nord, jour 2 Exercice 2 · 7 ptsSpécialité
Variations et racine unique d’un polynôme du troisième degré, puis convexité et points d’inflexion de \(f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{1+x^2}\), profil d’un toboggan censé offrir de bonnes sensations.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 1 · 7 ptsSpécialité
Fonction logarithme en six questions à choix multiples : équation, convexité, primitive, ensemble de définition, tangente, puis résolution de l’inéquation \(\ln(x+3)<2\ln(x+1)\).
Centres étrangers, jour 1 Exercice 3 · 7 ptsSpécialité
Variations de \(h(x)=\text{e}^x-x\) réinvesties ensuite pour mesurer l’écart entre la courbe de l’exponentielle et sa tangente en 0 à l’aide de la suite \(u_n\).
Centres étrangers, jour 2 Exercice 2 · 7 ptsSpécialité
Étude de \(f(x)=x\ln(x)+1\) avec limites, variations et convexité, avant d’en tirer la croissance puis la convergence de la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\).
France, jour 2 Exercice 2 · 7 ptsSpécialité
Lecture de la courbe de la dérivée pour retrouver extremums, convexité et signe de \(f^{\prime\prime}\), puis théorèmes de comparaison et convergence de suites dans un questionnaire à choix multiples.
France, jour 2 Exercice 4 · 7 ptsSpécialité
Étude de \(g(x)=(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0{,}2x}-2{,}2\) et d’un polynôme du second degré, ensuite comparées comme trajectoires d’une balle de golf via leurs tangentes.
France, septembre, jour 2 Exercice 2 · 7 ptsSpécialité
Questionnaire à choix multiples mêlant suites géométriques, programme Python itératif, convexité lue sur la courbe de \(f^{\prime}\) et enfin primitive de \((x^2+1)\text{e}^x\).
Liban, jour 1 Exercice 2 · 6 ptsSpécialité
Logarithme népérien au cœur d’un questionnaire à choix multiples : propriétés algébriques, asymptotes, tangente et points d’inflexion de \(h(x)=x^2(1+2\ln x)\), ainsi que seuil d’une évaporation et monotonie d’une suite.
Liban, jour 2 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Questionnaire à choix multiples mêlant convexité de \(x^{1000}+x\), tangente lue sur la courbe de la dérivée, puis bornes, signe et monotonie de plusieurs suites.
Session 2021
Amérique du Nord, mai Exercice A · 5 ptsSpécialité
Propriétés de l’exponentielle mises à l’épreuve en cinq affirmations à justifier : tangente, limite, unicité d’une solution puis convexité de \(g(x)=x^2-5x+\text{e}^x\).
Amérique du Nord, mai Exercice B · 5 ptsSpécialité
Fonction logarithme et convexité étudiées sur \(f(x)=\frac{4+4\ln x}{x}\), d’abord par lecture de tangente, puis avec limites, variations et recherche du point d’inflexion.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Dérivée seconde de \(x\text{e}^{-2x}\) et lecture du graphe de \(f^{\prime}\) dans un QCM de cinq questions, qui mobilise aussi les combinaisons de spécialités puis les défauts de cartes à puces.
Centres étrangers, jour 1 Exercice 3 · 5 ptsSpécialité
Suite arithmético-géométrique modélisant le télétravail dans une entreprise, puis récurrence et convergence d’une suite homographique \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}\) mesurant les salariés satisfaits.
Centres étrangers, jour 2 Exercice 1 · 5 ptsSpécialité
Tangente, limites de suite et de fonction, loi binomiale et dénombrement de codes à 36 signes réunis dans un QCM de cinq questions indépendantes.
Centres étrangers, jour 2 Exercice A — au choix du candidat : fonction ln · 5 ptsSpécialité
Espérance du nombre d’analyses lors d’un dépistage groupé du sang, ensuite étude de \(f(x)=\ln(x)+x\ln(0{,}95)\) pour savoir jusqu’à quelle taille d’échantillon la méthode reste avantageuse.
Centres étrangers, jour 2 Exercice B — au choix du candidat : équation différentielle · 5 ptsSpécialité
Équation différentielle \(y^{\prime}+y=2\text{e}^x-x-1\) résolue après avoir identifié \(f(x)=\text{e}^x+ax+b\text{e}^{-x}\) par lecture graphique, puis variations de \(g\) sur \([1;+\infty[\).
France, jour 1 Exercice 1 · 4 ptsSpécialité
Dérivée, variations, limite et convexité de \(f(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\) sont interrogées à travers quatre questions à choix multiples, notamment grâce à la dérivée seconde fournie.
France, jour 1 Exercice B · 5 ptsSpécialité
Résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime}=y+2x\text{e}^x\) grâce à la solution particulière \(x^2\text{e}^x\), puis étude des variations et de la concavité de cette fonction.
France, jour 2 Exercice au choix du candidat · 5 ptsSpécialité
Logarithme et dérivation pour étudier \(h(x)=1+\dfrac{\ln x}{x^2}\) et la position de deux courbes, ou bien convexité de \((x+2)\text{e}^{-x}\) conjecturée à partir du graphe de \(f^{\prime}\).
France, mars, sujet 1 Exercice 2 — commun à tous les candidats · 5 ptsSpécialité
Limites, asymptote et variations de \(f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}\), puis nombre de solutions de \(f(x)=m\) et recherche d’une tangente parallèle à la droite \(y=-x\) grâce à une fonction auxiliaire.
France, mars, sujet 1 Exercice B — au choix · 5 ptsSpécialité
Logarithme népérien et convexité de \(f(x)=x+4-4\ln(x)-\frac{3}{x}\) : limites, dérivée, tableau de variations, nombre de solutions, puis recherche de l’unique point d’inflexion.
France, mars, sujet 2 Exercice A — au choix · 5 ptsSpécialité
Fonction exponentielle et dérivation mobilisées pour comparer les courbes de \(x^2\text{e}^{-x}\) et \(\text{e}^{-x}\), maximiser l’écart vertical \(d(x)\), puis compter les intersections avec une droite.
France, mars, sujet 2 Exercice B — au choix · 5 ptsSpécialité
Logarithme népérien au cœur d’une fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(x)+2x-2\), dont le signe sert ensuite à étudier \(f\) puis les variations d’une primitive \(F\).
France, septembre, jour 1 Exercice 1 · 4 ptsSpécialité
QCM sur la dérivation et la convexité d’une fonction \((ax+b)\text{e}^x\) lue graphiquement, avant une question de comparaison entre deux suites dont l’une converge.
France, septembre, jour 1 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Variations de \(f(t)=(0{,}04t^2-8t+400)\text{e}^{t/50}+40\) modélisant des crapauds face aux truites, puis arbre pondéré sur la contamination des têtards par un champignon.
France, septembre, jour 1 Exercice B · 5 ptsSpécialité
Fonction logarithme avec limites, variations et théorème des valeurs intermédiaires pour \(h(x)=1+\frac{\ln x}{x}\), ensuite recherche de tangentes perpendiculaires aux courbes de \(x\ln x-x\) et de \(\ln\).
France, septembre, jour 2 Exercice 3 · 6 ptsSpécialité
Étude complète de \(f(x)=x-\text{e}^{-2x}\) avec limites, variations et théorème des valeurs intermédiaires, puis recherche du point de la courbe de \(\text{e}^{-x}\) le plus proche de l’origine.
France, septembre, jour 2 Exercice B · 5 ptsSpécialité
Fonction logarithme \(g(x)=(\ln x)^2-\ln x\) étudiée par ses limites et sa dérivée \(f(x)=\frac{2\ln x-1}{x}\), puis nombre de solutions de \(g(x)=m\) grâce au théorème des valeurs intermédiaires.
Notions à travailler ensuite
Reprendre la leçon avant l’entraînement
- Fonctions convexe ou concave : le cours
- Dérivée d’une fonction : le cours
- Dérivée : exercices corrigés
Tes questions sur cette notion
La convexité est-elle souvent évaluée au bac ?
Oui, depuis la réforme, la convexité apparaît dans de nombreux sujets, souvent en fin d’exercice de fonction ou dans un QCM à partir d’une courbe. Elle rapporte en général un à deux points.
Comment justifier qu’une fonction est convexe ?
Montre que sa dérivée seconde est positive sur l’intervalle, ou que sa dérivée est croissante. Pour une lecture graphique, tu peux aussi dire que la courbe est au-dessus de ses tangentes.
Puis-je vérifier une dérivée à la calculatrice ?
Beaucoup de calculatrices donnent le nombre dérivé en un point. Compare-le à la valeur de ta formule en ce point : si les deux diffèrent, ton calcul contient une erreur.
Quel temps prévoir pour l’étude complète d’une fonction ?
Compte environ quarante minutes pour dérivée, variations, limites et convexité. Si tu dépasses une heure, revois les formules de dérivation usuelles avant de passer à un autre exercice.
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