Corrigé des 20 exercices sur la proportionnalité en CM2 : solutions détaillées à télécharger en PDF

a. Pour 18 personnes, c’est 3 fois plus que pour 6 ; pour 2 personnes, 3 fois moins ; pour 8 personnes, on ajoute les quantités pour 6 et pour 2.

b. Il faut 1 œuf pour 2 personnes. Avec 10 œufs : \( 10\times2 = 20 \) personnes.

a. Pour 3 séances :

• Tarif A : \( 3\times9{,}70 = 29{,}10 \) €.
• Tarif B : 20,50 € (prix fixe, quel que soit le nombre de séances).
• Tarif C : \( 10{,}20+3\times5{,}80 = 10{,}20+17{,}40 = 27{,}60 \) €.

b. Seul le tarif A est proportionnel au nombre de séances : le prix est toujours 9,70 € multiplié par le nombre de séances (0 séance, 0 €). Puis le tarif B ne change pas, et le tarif C contient un abonnement fixe de 10,20 €.

a. Périmètre du carré = 4 × côté.

On passe toujours de la première ligne à la seconde en multipliant par 4 : le périmètre est proportionnel au côté.

b. Aire du carré = côté × côté.

Quand le côté double (de 1 à 2 cm), l’aire est multipliée par 4 (de 1 à 4 cm²) : l’aire n’est pas proportionnelle au côté.

a. Coefficient × 8 :

b. Coefficient × 4,5 :

c. 1 L pèse 500 g = 0,5 kg, coefficient × 0,5 :

Les jeux. Prix d’un jeu : \( 204 \div 17 = 12 \) €. Prix de 13 jeux : \( 13\times12 = 156 \) €.

Les fauteuils. Pour 1 fauteuil : \( 34 \div 4 = 8{,}5 \) h (8 h 30 min).

• a. Pour 10 fauteuils : \( 10\times8{,}5 = 85 \) h.
• b. En 153 h : \( 153 \div 8{,}5 = 18 \) fauteuils. Vérification : \( 18\times8{,}5 = 153 \).

a. 5 kg pour 8 m². De plus, pour 2 m² (4 fois moins) : \( 5 \div 4 = 1{,}25 \) kg. Ensuite, pour 10 m² = 8 m² + 2 m² :

\[ 5+1{,}25 = 6{,}25 \text{ kg} \]

b. 2,5 L pour 30 m². Par ailleurs, pour 3 m² (10 fois moins) : 0,25 L. Puis pour 21 m² (7 fois 3 m²) :

\[ 7\times0{,}25 = 1{,}75 \text{ L} \]

a. Martin : 1 200 km, c’est 12 fois 100 km : \( 63{,}6 \div 12 = 5{,}3 \) L aux 100 km.

Amina : 1 100 km, c’est 11 fois 100 km : \( 59{,}4 \div 11 = 5{,}4 \) L aux 100 km.

5,4 L est plus que 5,3 L : c’est la voiture d’Amina qui consomme le plus.

b. Pour 1 200 km, Amina consommerait \( 12\times5{,}4 = 64{,}8 \) L. C’est plus que les 63,6 L de Martin pour la même distance : le résultat du a est confirmé.

a. \[ 26\times1\,609{,}36 = 41\,843{,}36 \text{ m} \]

b. 1 yard correspond à \( 91{,}44 \div 100 = 0{,}9144 \) m. Donc :

\[ 385\times0{,}9144 = 352{,}044 \text{ m} \]

Pour 1 kg d’airelles, il faut \( 1{,}8 \div 2 = 0{,}9 \) kg de sucre.

a. \( 10{,}8\times0{,}9 = 9{,}72 \) kg de sucre.

b. 10,8 kg de sucre, c’est 6 fois 1,8 kg (\( 6\times1{,}8 = 10{,}8 \)). Ensuite, il faut donc 6 fois 2 kg d’airelles : \( 6\times2 = 12 \) kg.

Les intérêts sont proportionnels à la somme placée. Puis pour 100 € placés : \( 27 \div 12 = 2{,}25 \) € d’intérêts (1 200 €, c’est 12 fois 100 €).

a. 12 700 €, c’est 127 fois 100 € : \( 127\times2{,}25 = 285{,}75 \) €.

b. \( 427{,}50 \div 2{,}25 = 190 \) : c’est 190 fois 100 €, soit un placement de 19 000 €.

Vérification : \( 190\times2{,}25 = 427{,}50 \).

Calculer 10 % d’un nombre, c’est prendre \( \dfrac{10}{100} \), c’est-à-dire le dixième du nombre : on divise par 10.

• a. \( 100 \div 10 = 10 \)
• b. \( 30 \div 10 = 3 \)
• c. \( 50 \div 10 = 5 \)
• d. \( 72 \div 10 = 7{,}2 \)
• e. \( 15{,}2 \div 10 = 1{,}52 \)
• f. \( 3{,}9 \div 10 = 0{,}39 \)

Pourcentages du tableau. On utilise les pourcentages « faciles » :

• 50 %, c’est la moitié : on divise par 2 ;
• 25 %, c’est le quart : on divise par 4 (ou on prend la moitié de la moitié) ;
• 75 %, c’est 50 % + 25 % (ou 3 fois 25 %) ;
• 100 %, c’est le nombre entier ; 200 %, c’est le double.

Par exemple pour 12,8 : \( 12{,}8 \div 4 = 3{,}2 \) ; \( 12{,}8 \div 2 = 6{,}4 \) ; \( 6{,}4 + 3{,}2 = 9{,}6 \) ; \( 12{,}8 \times 2 = 25{,}6 \).

Prendre 18 % d’un nombre, c’est le multiplier par 18 puis diviser par 100 : \( 18\,\% \text{ de } n = n \times 18 \div 100 \).

• a. \( 200 \times 18 \div 100 = 3\,600 \div 100 = 36 \)
• b. \( 40 \times 18 \div 100 = 720 \div 100 = 7{,}2 \)
• c. \( 60 \times 18 \div 100 = 1\,080 \div 100 = 10{,}8 \)
• d. \( 82 \times 18 \div 100 = 1\,476 \div 100 = 14{,}76 \)
• e. \( 12{,}3 \times 18 \div 100 = 221{,}4 \div 100 = 2{,}214 \)
• f. \( 4{,}5 \times 18 \div 100 = 81 \div 100 = 0{,}81 \)

Contrôle rapide : 18 %, c’est un peu moins de 20 %, soit un peu moins du cinquième. De plus, pour 200, le cinquième est 40 : 36 est bien un peu moins.

35 % de lipides signifie : dans 100 g de chips, il y a 35 g de lipides. Ensuite, la masse de lipides est proportionnelle à la masse de chips.

a. Pour 30 g de chips : \( 30 \times 35 \div 100 = 1\,050 \div 100 = 10{,}5 \). Par ailleurs, un paquet de 30 g contient 10,5 g de lipides.

b. Pour 130 g de chips : \( 130 \times 35 \div 100 = 4\,550 \div 100 = 45{,}5 \). Puis un paquet de 130 g contient 45,5 g de lipides.

Autre méthode pour b : 130 g = 100 g + 30 g, donc \( 35 + 10{,}5 = 45{,}5 \) g.

a. Le candidat élu est celui qui a le plus grand pourcentage. Ensuite, on compare : 33,6 % est plus grand que 29,8 % et que 22,7 %, et la part verte de M. Van Borel est visiblement la plus petite. Mme N’Dobam est élue.

b. Le disque entier représente 100 % des voix. Puis on retire les trois pourcentages connus :

\[ 100 – 22{,}7 – 33{,}6 – 29{,}8 = 100 – 86{,}1 = 13{,}9 \]

M. Van Borel obtient 13,9 % des voix.

c. On calcule chaque pourcentage de 3 000 : \( 3\,000 \times \text{pourcentage} \div 100 \), c’est-à-dire \( 30 \times \text{pourcentage} \).

• Mme Amélic : \( 30 \times 22{,}7 = 681 \) voix ;
• Mme N’Dobam : \( 30 \times 33{,}6 = 1\,008 \) voix ;
• M. Richoul : \( 30 \times 29{,}8 = 894 \) voix ;
• M. Van Borel : \( 30 \times 13{,}9 = 417 \) voix.

Vérification : \( 681 + 1\,008 + 894 + 417 = 3\,000 \) : on retrouve bien tous les suffrages exprimés.

a. La réduction est 15 % de l’ancien prix : \( \text{prix} \times 15 \div 100 \). De plus, le nouveau prix est l’ancien prix moins la réduction.

• Appareil photo : \( 120 \times 15 \div 100 = 18 \) € ; \( 120 – 18 = 102 \) €.
• Lecteur MP3 : \( 65 \times 15 \div 100 = 9{,}75 \) € ; \( 65 – 9{,}75 = 55{,}25 \) €.
• Smartphone : \( 189 \times 15 \div 100 = 28{,}35 \) € ; \( 189 – 28{,}35 = 160{,}65 \) €.
• Téléviseur : \( 256 \times 15 \div 100 = 38{,}40 \) € ; \( 256 – 38{,}40 = 217{,}60 \) €.

b. La nouvelle réduction de 15 % se calcule sur le nouveau prix de l’appareil photo, 102 €, et non plus sur 120 € :

\[ 102 \times 15 \div 100 = 15{,}30 \qquad 102 – 15{,}30 = 86{,}70 \]

L’appareil photo coûte alors 86,70 €. Attention : deux réductions de 15 % ne font pas une réduction de 30 % (qui donnerait 84 €).

Le prix de référence est celui des 12-24 ans : 12,50 €.

a. Pour les 4-11 ans, le billet est 24 % moins cher. Ensuite, la réduction vaut :

\[ 12{,}50 \times 24 \div 100 = 300 \div 100 = 3 \]

\( 12{,}50 – 3 = 9{,}50 \). Par ailleurs, le billet pour les 4-11 ans coûte 9,50 €.

b. Pour les plus de 25 ans, le billet est 12 % plus cher. Puis L’augmentation vaut :

\[ 12{,}50 \times 12 \div 100 = 150 \div 100 = 1{,}50 \]

\( 12{,}50 + 1{,}50 = 14 \). Ensuite, le billet pour les plus de 25 ans coûte 14 €.

a. « À l’échelle 1/25 000 » signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, c’est-à-dire 250 m. Puis les distances réelles sont 25 000 fois plus grandes que sur la carte.

b. On convertit d’abord la distance réelle en centimètres : 20 km = 20 000 m = 2 000 000 cm. Puis on divise par 25 000 :

\[ 2\,000\,000 \div 25\,000 = 80 \]

Le trajet mesure 80 cm sur la carte. Vérification : \( 80 \times 250 \text{ m} = 20\,000 \text{ m} = 20 \text{ km} \).

Échelle 1/15 000 : 1 cm sur le plan représente 15 000 cm en réalité. De plus, on multiplie par 15 000, puis on convertit en mètres en divisant par 100.

• a. 1 cm ↔ 15 000 cm ↔ 150 m
• b. 12 cm ↔ \( 12 \times 15\,000 = \) 180 000 cm ↔ 1 800 m
• c. 4,8 cm ↔ \( 4{,}8 \times 15\,000 = \) 72 000 cm ↔ 720 m

Échelle 1/50 000 : on multiplie par 50 000, puis on convertit en kilomètres (1 km = 100 000 cm, donc on divise par 100 000).

• d. 1 cm ↔ 50 000 cm ↔ 0,5 km
• e. 16 cm ↔ \( 16 \times 50\,000 = \) 800 000 cm ↔ 8 km
• f. 6,4 cm ↔ \( 6{,}4 \times 50\,000 = \) 320 000 cm ↔ 3,2 km

a. « À l’échelle 1/150 » signifie que 1 cm sur la maquette représente 150 cm sur le vrai bateau : les dimensions réelles sont 150 fois plus grandes que celles de la maquette.

b. On multiplie chaque dimension de la maquette par 150, puis on convertit en mètres (on divise par 100) :

• Longueur : \( 35 \times 150 = 5\,250 \) cm, soit 52,5 m.
• Largeur : \( 6 \times 150 = 900 \) cm, soit 9 m.

a. Le prix est proportionnel à la masse : on divise par 4 pour trouver le prix d’1 kg.

\[ 10 \div 4 = 2{,}5 \]

1 kg de pommes coûte 2,50 €.

b. On multiplie par \(2{,}5\) chaque masse :

• 2 kg : \(2 \times 2{,}5 = 5\)
• 6 kg : \(6 \times 2{,}5 = 15\)
• 10 kg : \(10 \times 2{,}5 = 25\)

c. On cherche combien de fois \(2{,}5\ \text{€}\) tient dans \(30\ \text{€}\) :

\[ 30 \div 2{,}5 = 12 \]

Vérification : \(12 \times 2{,}5 = 30\).