Solides de l’espace en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 20 à télécharger en PDF

On regarde la forme des faces et la présence de faces courbes :

• Fig. 1 : 6 faces carrées → cube.
• Fig. 4 : 6 faces rectangulaires, allongé → pavé droit.
• Fig. 5 : deux bases hexagonales identiques reliées par des rectangles → prisme droit.
• Fig. 2 : deux disques reliés par une surface courbe → cylindre.
• Fig. 3, Fig. 6 et Fig. 8 : une base (carré, hexagone, triangle) et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet → pyramides.
• Fig. 7 : une base en disque et une pointe → cône.
• Fig. 9 : entièrement arrondie → sphère (boule).

En perspective cavalière, les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin et les arêtes cachées se tracent en pointillés. Il manque à chaque fois un sommet caché : on le place en reproduisant le même déplacement sur le quadrillage que pour le sommet visible correspondant.

• a. Cube : le sommet caché est en bas à gauche de la face arrière ; on trace 3 pointillés : une arête verticale, une horizontale et une oblique.
• b. Prisme droit à base trapèze : le sommet caché est sous le coin arrière droit de la face du dessus ; on trace l’arête verticale cachée et les deux arêtes du bas qui y arrivent (toutes les arêtes verticales ont la même longueur, 6 carreaux).
• c. Prisme droit à base pentagonale : le sommet caché est 3 carreaux sous le sommet du haut ; on trace une arête verticale et deux arêtes de la base du bas, parallèles à celles de la base du haut.
• d. Cylindre : on trace en pointillés la moitié arrière de l’ellipse du bas, identique à l’ellipse du haut.

On compte en s’organisant : les sommets « du haut » puis « du bas », les arêtes par familles.

• Cube : 4 sommets en haut + 4 en bas = 8 sommets ; 4 arêtes en haut, 4 en bas, 4 verticales = 12 arêtes ; 6 faces carrées.
• Pavé droit : même comptage que le cube (8 ; 12 ; 6), mais ses faces sont des rectangles.
• Pyramide à base carrée : 4 sommets de la base + 1 sommet principal = 5 sommets ; 4 arêtes de la base + 4 arêtes qui montent = 8 arêtes ; 1 base + 4 faces latérales = 5 faces.
• Tétraèdre (pyramide à base triangulaire) : 4 sommets, 6 arêtes, 4 faces triangulaires.

• Fig. 1 : un carré entouré de 4 triangles → pyramide à base carrée.
• Fig. 2 : 6 rectangles (pas tous carrés) → pavé droit.
• Fig. 3 : 6 carrés identiques en forme de T → cube.
• Fig. 4 : un disque et une portion de disque → cône.
• Fig. 5 : un rectangle et deux disques → cylindre.
• Fig. 6 : deux hexagones et 6 rectangles → prisme droit à base hexagonale.

Dans un patron de cube, deux faces sont opposées quand elles sont séparées par une seule face dans une même rangée (une case d’écart), ou quand elles sont les deux « ailes » placées de part et d’autre d’une bande de 4 faces. Pour chaque face vide, on cherche sa face opposée et on complète à 7.

• a. Dans la colonne de 4 faces : la face du haut est opposée au 3 → \( 7 – 3 = 4 \) ; la face du bas est opposée au 5 → \( 7 – 5 = 2 \). La face de gauche est opposée au 6 (les deux ailes) → \( 7 – 6 = 1 \).
• b. La face du haut de la colonne est opposée au 4 → 3 ; la face vide du bas est opposée au 1 → 6 ; la face de gauche est opposée au 5 → 2.
• c. Dans la colonne, la face du croisement est opposée au 6 → 1 ; dans la ligne, la face de droite est opposée au 2 → 5 ; la face sous le croisement est opposée au 3 → 4.
• d. La face du haut de la colonne est opposée au 5 → 2 ; la face de gauche est opposée au 1 → 6 ; la face du bas à droite (qui se replie sur le dessus) est opposée au 3 → 4.

Vérification : sur chaque patron, on retrouve bien une fois chacun des nombres de 1 à 6.

On lit les dimensions sur le quadrillage : les faces orange mesurent 6 × 4 carreaux, les bleues 6 × 2 et les vertes 4 × 2. Un pavé a 3 paires de faces identiques : dans chaque patron, on cherche la couleur qui n’apparaît qu’une fois.

• a. Il manque une face verte (2 × 4). Elle doit être opposée à la verte déjà tracée, donc de l’autre côté de la bande : on la colle au côté gauche du premier rectangle orange. Le moustique est bien dedans.
• b. Il manque une face bleue (2 × 6). On la colle au côté gauche du rectangle orange du bas (côté de 6 carreaux) : en pliant, elle ferme le pavé face à l’autre face bleue. Le moustique est dedans.
• c. Il manque une face orange (4 × 6, c’est le couvercle). On la colle au bord supérieur du rectangle vert de droite : ce bord de 4 carreaux est le haut de la face de droite, donc la face orange se replie sur le dessus. Le moustique est dedans.

On observe le nombre et la forme des faces de chaque solide.

1. Six faces carrées : c’est le solide B, le cube.
2. Aucune face plane : c’est le solide C, la sphère.
3. Deux disques reliés par une face courbe : c’est le solide E, le cylindre.
4. Une base carrée et quatre triangles : c’est le solide D, la pyramide à base carrée.
5. Un disque et un sommet : c’est le solide A, le cône.

On compte sans oublier les éléments cachés (en pointillés).

1. Il y a deux bases triangulaires et trois faces latérales : 5 faces.
2. Les faces latérales sont des rectangles : 3 rectangles.
3. Chaque base a 3 sommets : \[ 3+3=6 \] 6 sommets.
4. 3 arêtes en haut, 3 arêtes en bas et 3 arêtes verticales : \[ 3+3+3=9 \] 9 arêtes.

Une pyramide a une base et autant de faces triangulaires que la base a de côtés.

1. La base a 5 côtés : 5 faces triangulaires.
2. \[ 5+1=6 \] 6 faces en tout.
3. 5 sommets pour la base et 1 sommet en haut : \[ 5+1=6 \] 6 sommets.
4. 5 arêtes pour la base et 5 arêtes qui montent vers le sommet : \[ 5+5=10 \] 10 arêtes.
5. Pyramide à base hexagonale : 6 faces triangulaires, \(6+1=7\) faces, \(6+1=7\) sommets et \(6+6=12\) arêtes.

Pour être un patron de cube, les six carrés doivent se replier sans se chevaucher.

• A : une bande de 4 carrés avec un carré de chaque côté. En repliant, on obtient un cube. C’est un patron.
• B : quatre carrés forment un grand carré \(2\times2\). Ils ne peuvent pas se replier sans se recouvrir. Ce n’est pas un patron.
• C : trois « marches » de deux carrés. En repliant, les six faces sont bien différentes. C’est un patron.
• D : cinq carrés alignés. En repliant la bande, le cinquième carré retombe sur le premier. Ce n’est pas un patron.

1. On compte 6 rectangles, comme les 6 faces d’un pavé : 6 rectangles.
2. Le grand rectangle du milieu mesure \(4\,\text{cm}\) sur \(2\,\text{cm}\). Le rectangle placé au-dessus mesure \(4\,\text{cm}\) sur \(1\,\text{cm}\). Le pavé mesure donc 4 cm de long, 2 cm de large et 1 cm de haut.
3. Les faces vont par paires identiques : \[ 2\times(4\times2)=16 \qquad 2\times(4\times1)=8 \qquad 2\times(1\times2)=4 \] \[ 16+8+4=28 \] Vérification : on compte \(28\) carreaux. L’aire du patron est de 28 cm².

1. Un cube a 12 arêtes : 12 baguettes.
2. Un cube a 8 sommets : 8 boules.
3. \[ 12\times8=96 \] Elle utilise 96 cm, soit 0,96 m.
4. \(1\,\text{m}=100\,\text{cm}\). On a \[ 12\times8=96\lt100 \] et \(13\times8=104\gt100\), donc elle peut découper 12 baguettes et il reste \(4\,\text{cm}\). Cela suffit juste pour les 12 arêtes.

1. • 1 : le ballon est une sphère.
   • 2 : la boîte de conserve est un cylindre.
   • 3 : le dé est un cube.
   • 4 : le cornet est un cône.
   • 5 : le carton est un pavé droit.
2. Les solides qui ont une face courbe sont la sphère, le cylindre et le cône : le ballon (1), la boîte (2) et le cornet (4).

1. Une couche a 3 cubes en longueur et 2 en largeur : \[ 3\times2=6 \] 6 cubes.
2. Le pavé a 2 cubes de haut, donc 2 couches.
3. \[ 6\times2=12 \] Elle a utilisé 12 cubes.
4. Deux fois plus haut : \(2\times2=4\) couches, donc \[ 6\times4=24 \] Il lui faut 24 cubes.

1. Chaque face cachée est opposée à une face visible :
   • opposée à \(3\) : \(7-3=4\) ;
   • opposée à \(1\) : \(7-1=6\) ;
   • opposée à \(2\) : \(7-2=5\).

   Les faces cachées portent 4, 6 et 5.

2. \[ 1+2+3+4+5+6=21 \] On peut aussi calculer \(3\times7=21\) car il y a 3 paires de faces opposées. La somme est 21.
3. \[ 7-5=2 \] Le dessous porte le nombre 2.

1. 4 arêtes pour la base et 4 arêtes latérales : \[ 4+4=8 \] 8 arêtes.
2. \[ 4\times5=20 \qquad 4\times7=28 \qquad 20+28=48 \] Il faut 48 cm de fil de fer.
3. Pour deux pyramides : \[ 2\times48=96\,\text{cm} \] Comme \(1\,\text{m}=100\,\text{cm}\) et \(96\lt100\), oui, elle peut fabriquer deux pyramides. Il lui reste \(4\,\text{cm}\) de fil.

1. Vrai. Un cube a six faces carrées, ce sont des rectangles particuliers.
2. Faux. Un cylindre n’a aucun sommet : il a deux disques et une face courbe.
3. Vrai. Elle a une base carrée et quatre triangles : \(1+4=5\).
4. Faux. Un cône n’a qu’une seule face plane, le disque de sa base, et une face courbe.
5. Vrai. La sphère n’a que des surfaces courbes.
6. Vrai. Il a deux triangles et trois rectangles : \(2+3=5\).

On cherche le solide qui a une face courbe.

1. Le cube, la pyramide et le prisme n’ont que des faces planes. Le cône (3) a une face courbe : c’est l’intrus.
2. Le pavé, le tétraèdre et le prisme n’ont que des faces planes. La sphère (2) est entièrement courbe : c’est l’intrus.
3. Le cube, la pyramide et le pavé n’ont que des faces planes. Le cylindre (1) a une face courbe : c’est l’intrus.

1. Il a deux bases identiques qui sont des hexagones et des faces latérales rectangulaires : c’est un prisme droit à base hexagonale.
2. Chaque hexagone a 6 sommets : \[ 2\times6=12 \] 12 sommets.
3. 6 arêtes sur le dessus, 6 arêtes sur le dessous et 6 arêtes verticales : \[ 6+6+6=18 \] 18 arêtes.

1. Il y a deux bases pentagonales et cinq faces latérales rectangulaires : \[ 2+5=7 \] 7 faces.
2. \[ 2\times5=10 \] 10 sommets.
3. 5 arêtes en haut, 5 arêtes en bas et 5 arêtes verticales : \[ 5+5+5=15 \] 15 arêtes.
4. Les arêtes des deux bases : \(10\times4=40\). Les arêtes verticales : \(5\times6=30\). \[ 40+30=70 \] La somme des longueurs est de 70 cm.