Corrigé des 21 exercices sur le cercle et les triangles en CM2 à télécharger en PDF

Ensuite, sur la figure, le point C est le centre du cercle et les points A, R, I, E et M sont sur le cercle.

• Enfin, un rayon est un segment qui relie le centre à un point du cercle.
• Puis, un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre.

[AM] relie deux points du cercle et passe par C : c’est un diamètre. [IE] aussi. [RC] et [AC] relient le centre C à un point du cercle : ce sont des rayons. [EM] relie deux points du cercle mais ne passe pas par C : ce n’est ni un rayon ni un diamètre (on l’appelle une corde).

En outre, les points C, I, A, J et B sont alignés et régulièrement espacés. Ensuite, le cercle de centre A qui passe par C et B a un rayon de 4 cm, donc \(AC = AB = 4\text{ cm}\) et chaque petit intervalle mesure \(4 \div 2 = 2\text{ cm}\) : \(CI = IA = AJ = JB = 2\text{ cm}\).

• Ainsi, en rouge : le cercle de centre A et de rayon 4 cm est le plus grand cercle, celui qui passe par C et par B.
• En effet, en vert : un cercle de diamètre 4 cm a un rayon de \(4 \div 2 = 2\text{ cm}\). Ensuite, le cercle de diamètre [CA] (centre I) et le cercle de diamètre [AB] (centre J) conviennent. Remarque : le cercle de diamètre [IJ] (centre A) mesure lui aussi 4 cm de diamètre ; n’importe quels deux de ces trois cercles sont acceptés.
• En outre, en bleu : le cercle de diamètre [IB] a pour centre le milieu de [IB] (entre A et J) et pour rayon \(6 \div 2 = 3\text{ cm}\). Par ailleurs, il passe par I et par B.
• Ainsi, en noir : le cercle de diamètre [CJ] a pour centre le milieu de [CJ] (entre I et A) et pour rayon 3 cm. Donc, il passe par C et par J.

1. Place un point A. Par ailleurs, écarte le compas de 2,5 cm sur la règle, pique la pointe sèche en A et trace le cercle \((\mathcal{C})\).
2. Donc, Deux rayons en bleu : place deux points F et G sur le cercle et trace les segments [AF] et [AG]. Chacun mesure 2,5 cm.
3. Deux diamètres en rouge : trace deux droites qui passent par A ; elles coupent le cercle en B et C, puis en D et E. Puis, les segments [BC] et [DE] sont des diamètres.

Donc, chaque diamètre mesure le double du rayon : \(2{,}5 \times 2 = 5\text{ cm}\). Par ailleurs, vérifie à la règle.

Puis, on retient : le diamètre est le double du rayon, et le rayon est la moitié du diamètre.

En outre, a. Le rayon mesure 12 cm.

\[ \text{diamètre} = 2 \times 12 = 24\text{ cm} \]

Toutefois, un diamètre de ce cercle mesure 24 cm.

Puis, b. Le diamètre mesure 16,8 cm.

\[ \text{rayon} = 16{,}8 \div 2 = 8{,}4\text{ cm} \]

En effet, on peut vérifier : \(8{,}4 \times 2 = 16{,}8\). Puis un rayon de ce cercle mesure 8,4 cm.

Ainsi, cercle de centre F et de rayon [FE] : on pique la pointe sèche du compas en F et on ouvre le compas jusqu’au point E (le rayon est la longueur FE). Ensuite, on trace le cercle : il passe par E.

Cependant, cercle de diamètre [EG] : le centre d’un cercle est le milieu de son diamètre.

1. Puis, on mesure [EG] à la règle et on place son milieu O (à la moitié de la longueur).
2. De même, on pique le compas en O et on l’ouvre jusqu’à E (rayon OE, la moitié de EG).
3. Par ailleurs, on trace le cercle : il passe par E et par G.

On repère d’abord les centres (les croix) et on compte les carreaux pour trouver les rayons. Alors, appelons O la croix du milieu.

• Notamment, Grand arc : centre O, rayon 8 carreaux. Cependant, C’est trois quarts de cercle : il part du point situé 8 carreaux à gauche de O, passe en haut, à droite, et s’arrête 8 carreaux sous O.
• De même, le contour se ferme par deux segments : un segment vertical de 8 carreaux à gauche et un segment horizontal de 8 carreaux en bas (ils forment un angle droit en bas à gauche).
• Car goutte du bas : centre 3 carreaux à gauche et 3 carreaux sous O, rayon 3 carreaux. On trace trois quarts de cercle, puis deux segments de 3 carreaux qui rejoignent O (un horizontal, un vertical).
• Car goutte du haut : centre 3 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessus de O, rayon 3 carreaux, même construction.

Ensuite, la figure est une rosace construite dans un carré de 8 carreaux de côté (en gris), dont le centre est au milieu du quadrillage.

• En effet, les 4 cercles (en bleu) : leurs centres sont à 2 carreaux des côtés du quadrillage, placés à 2 carreaux du centre de la figure en diagonale. Car pour le rayon, on ouvre le compas du centre d’un cercle jusqu’au centre de la figure (c’est la diagonale de 2 carreaux sur 2). Ainsi, chaque cercle passe par le centre de la figure et par un coin du carré gris.
• Les 4 pétales (en rouge) : on pique le compas au milieu d’un côté du carré gris et on prend un rayon de 4 carreaux. De même, on trace le demi-cercle tourné vers l’intérieur : il va d’un coin du carré au coin voisin en passant par le centre. Puis, on recommence pour les 4 côtés ; les demi-cercles se croisent et dessinent les pétales.

Alors, on vérifie les longueurs des côtés avec la règle (ou le compas) et les angles droits avec l’équerre.

• Fig. 1 et Fig. 6 : deux côtés de même longueur, pas d’angle droit : triangles isocèles.
• Fig. 2 et Fig. Par ailleurs, 3 : un angle droit (vérifié à l’équerre), côtés de longueurs différentes : triangles rectangles.
• Fig. Également, 5 : un angle droit et deux côtés égaux (ceux de l’angle droit) : c’est un triangle rectangle isocèle, on l’écrit dans les deux colonnes.
• Fig. 4 et Fig. En outre, 8 : les trois côtés ont la même longueur : triangles équilatéraux.
• Fig. 7 et Fig. Cependant, 9 : trois côtés de longueurs différentes et aucun angle droit : triangles quelconques.

On mesure les côtés à la règle, on contrôle les angles avec l’équerre, puis on code : un petit carré dans un angle droit, le même nombre de petits traits sur les côtés de même longueur.

• Fig. Donc, 1 : les trois côtés ont la même longueur. Enfin, C’est un triangle équilatéral.
• Fig. En outre, 2 : l’angle du sommet du haut est droit (l’équerre s’y place exactement) et les côtés ont des longueurs différentes. Cependant, C’est un triangle rectangle.
• Fig. Ensuite, 3 : les deux côtés qui partent du sommet en haut à gauche ont la même longueur, et il n’y a pas d’angle droit. Par exemple, C’est un triangle isocèle.
• Fig. En outre, 4 : l’angle du bas est droit et les deux côtés de cet angle ont la même longueur. Notamment, C’est un triangle rectangle isocèle.

De même, sur ce quadrillage, les nœuds forment des petits triangles équilatéraux. En effet, appelons « pas » le côté d’un petit triangle. Puis il suffit de placer les trois sommets sur les bons nœuds en comptant les pas, puis de les relier à la règle.

• Fig. Alors, 1 : un côté horizontal de 3 pas ; depuis son extrémité gauche, on descend de 3 pas le long d’une ligne oblique du quadrillage (vers la gauche) pour le troisième sommet. Notamment, les deux côtés mesurent 3 pas : le triangle est isocèle.
• Fig. Par exemple, 2 : une base horizontale de 3 pas et un sommet 3 lignes plus haut, au-dessus du milieu de la base. En effet, chaque côté suit le quadrillage et mesure 3 pas : triangle équilatéral.
• Fig. 3 : depuis le sommet du haut, on descend de 2 pas sur une oblique vers la gauche (sommet de gauche) ; le troisième sommet se trouve en descendant de 3 pas sur l’oblique vers la droite puis en avançant de 3 pas vers la droite. Triangle quelconque.
• Fig. Ainsi, 4 : un côté vertical qui relie deux nœuds situés l’un au-dessus de l’autre, 4 lignes plus bas ; le troisième sommet est sur la ligne du milieu (2 lignes sous le haut), à 3 pas à droite. Alors, ce triangle est équilatéral (posé sur une pointe).

Car pour reproduire un triangle, on ne recopie pas « à l’œil » : on reporte les longueurs de ses côtés avec le compas.

Puis, a. Le segment déjà tracé a la même longueur que la base du triangle a.

1. Ensuite, on pique le compas sur le sommet gauche de la base du modèle et on l’ouvre jusqu’au sommet du haut : on a « pris » la longueur du côté gauche.
2. Par exemple, sans changer l’écartement, on pique sur l’extrémité gauche du segment déjà tracé et on trace un arc de cercle vers le haut.
3. On fait de même avec le côté droit du modèle : compas piqué sur l’extrémité droite du segment, arc de cercle vers le haut.
4. Par ailleurs, les deux arcs se coupent en un point : c’est le troisième sommet. Notamment, on le relie aux deux extrémités du segment avec la règle.

Toutefois, b. Ici aucun côté n’est tracé. De plus, on commence par reporter un côté, par exemple le plus long : on prend sa longueur au compas (ou on la mesure à la règle) et on trace un segment de même longueur. Puis on termine exactement comme au a : un arc de cercle depuis chaque extrémité, avec pour rayon la longueur de chacun des deux autres côtés, et on relie le point d’intersection des arcs.

Alors, pour vérifier, on superpose un papier calque : le triangle obtenu doit recouvrir exactement le modèle.

Ainsi, un schéma n’est pas à la bonne taille : il sert seulement à lire les longueurs. Ensuite, on construit chaque triangle avec la règle et le compas.

a. Également, triangle LAC (AC = 6 cm, AL = 4 cm, LC = 5 cm)

1. En outre, on trace le segment [AC] de 6 cm.
2. Par exemple, on pique le compas en A, on l’ouvre de 4 cm et on trace un arc de cercle au-dessus de [AC].
3. Ensuite, on pique le compas en C, on l’ouvre de 5 cm et on trace un second arc qui coupe le premier.
4. En effet, le point d’intersection des deux arcs est L. Également, on trace [AL] et [LC].

b. Enfin, triangle BEN (BE = 7,5 cm, BN = 2 cm, NE = 6,5 cm)

1. Ainsi, on trace le segment [BE] de 7,5 cm.
2. Car Arc de cercle de centre B et de rayon 2 cm.
3. Enfin, Arc de cercle de centre E et de rayon 6,5 cm.
4. Car les arcs se coupent en N ; on trace [BN] et [NE].

Le triangle BEN est très « aplati » : c’est normal, car \( 2 + 6{,}5 = 8{,}5 \) cm, à peine plus que 7,5 cm.

a. Par exemple, RUE rectangle en R : on a besoin de l’équerre pour l’angle droit.

1. Alors, on trace le segment [RE] de 7,5 cm.
2. Puis, on place l’équerre le long de [RE], l’angle droit en R, et on trace la perpendiculaire à [RE] passant par R.
3. Toutefois, sur cette perpendiculaire, on place U à 4,5 cm de R.
4. Toutefois, on trace [UE] et on code l’angle droit en R.

Également, contrôle : en mesurant [UE], on doit trouver environ 8,7 cm.

b. En effet, VOI isocèle en V : « isocèle en V » signifie que les deux côtés qui partent de V ont la même longueur, VO = VI = 7,2 cm, et la base mesure OI = 6 cm.

1. Enfin, on trace la base [OI] de 6 cm.
2. On ouvre le compas de 7,2 cm et on trace un arc de centre O, puis, sans changer l’écartement, un arc de centre I.
3. En outre, les arcs se coupent en V ; on trace [VO] et [VI] et on code les deux côtés égaux.

Donc, une hauteur relative à un côté part du sommet opposé à ce côté et arrive perpendiculairement sur ce côté (on voit le petit carré de l’angle droit).

• Alors, a. Le côté [BT] porte l’angle droit en A ; la hauteur part du sommet opposé O : c’est [OA].
• b. Le côté [BO] porte l’angle droit en N ; la hauteur part de T : c’est [TN].
• c. Le côté [PI] porte l’angle droit en R ; la hauteur part de S : c’est [SR].
• d. Le côté [PS] porte l’angle droit en E ; la hauteur part de I : c’est [IE].

a. La hauteur passant par A part de A et arrive perpendiculairement sur le côté opposé [BC] : on repasse en rouge le trait gris qui va de A jusqu’à l’angle droit codé sur [BC].

b. La hauteur issue de B part de B et arrive perpendiculairement sur [AC] : on la repasse en bleu, jusqu’à l’angle droit codé sur [AC].

c. La troisième hauteur (restée grise) passe par le sommet C ; elle est perpendiculaire au côté [AB]. Par ailleurs, on remarque que les trois hauteurs se coupent en un même point.

Le quadrillage facilite le travail : les lignes du quadrillage sont perpendiculaires entre elles.

• Triangle DEF : le côté opposé à D est [FE], qui est horizontal. La hauteur issue de D est donc le trait vertical qui descend de D jusqu’à [FE], au point H. On compte : DH = 6 carreaux, et le côté relatif [FE] mesure 5 carreaux.
• Triangle KLG : le côté opposé à G est [KL], qui est vertical. La hauteur issue de G est le trait horizontal qui va de G jusqu’à [KL], au point H′. On compte : GH′ = 8 carreaux, et le côté relatif [KL] mesure 7 carreaux.

Avec un quadrillage de 1 cm, un carreau vaut 1 cm (si ton quadrillage fait 5 mm, divise chaque longueur par 2) :

Sans quadrillage, on utilise l’équerre.

• Hauteur issue de M : le côté opposé à M est [NP]. On pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de [NP], on la fait glisser jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par M, et on trace le trait de M jusqu’à [NP]. On appelle H le point d’arrivée : la hauteur est [MH], le côté relatif est [NP].
• Hauteur issue de N : même méthode avec le côté opposé [MP]. On obtient le point K sur [MP] : la hauteur est [NK], le côté relatif est [MP].

On mesure ensuite les quatre longueurs à la règle. Puis les valeurs exactes dépendent de la taille à laquelle la fiche est imprimée ; à titre indicatif, avec la même échelle que le quadrillage de l’exercice 16 (1 carreau = 1 cm), on trouve environ :

Astuce pour vérifier tes mesures : le produit « hauteur × côté relatif » doit donner presque le même nombre pour les deux hauteurs (ici \( 8{,}2 \times 13{,}2 \approx 108 \) et \( 10{,}7 \times 10{,}2 \approx 109 \)). Si tes deux produits sont très différents, une mesure ou un tracé est à reprendre.

On repère d’abord le segment en pointillés : il mesure 36 carreaux. Chaque demi-cercle a ses deux extrémités sur ce segment ; son centre est le milieu de ces deux extrémités et son rayon est la moitié de la distance entre elles.

En comptant les carreaux depuis l’extrémité gauche du segment, on trouve six demi-cercles :

Pour reproduire : on trace un segment de 36 carreaux sur une ligne du quadrillage, on marque les six centres, puis pour chaque demi-cercle on pique le compas sur le centre, on l’ouvre du nombre de carreaux du rayon, et on ne trace que la moitié du cercle, du bon côté du segment. Ensuite, la courbe se referme : on part de l’extrémité gauche, on passe au-dessus (C1), au-dessous (C3), au-dessus (C4), au-dessous (C6), on remonte par le grand demi-cercle C5 et on revient au départ par C2.

On observe la figure : le triangle ABC a un angle droit en C ; I, J et K sont les milieux de [AC], [BC] et [AB] ; le cercle de centre I passe par A et C, celui de centre J passe par B et C, et le grand cercle de centre K passe par A, B et C.

Reproduction avec AC = 3,6 cm et BC = 4,8 cm : on trace l’angle droit en C à l’équerre, on place A et B, puis les milieux (1,8 cm et 2,4 cm depuis C) et les cercles. Puis en mesurant, on trouve AB = 6 cm, donc K est à 3 cm de A.

Programme de construction :

1. Trace un segment [CA] de 3,6 cm.
2. Trace la perpendiculaire à [CA] passant par C et place sur cette droite le point B tel que CB = 4,8 cm.
3. Trace le triangle ABC et colorie-le.
4. Place I, milieu de [AC], J, milieu de [BC], et K, milieu de [AB].
5. Trace le cercle de centre I passant par A, le cercle de centre J passant par B et le cercle de centre K passant par A.

On nomme les points pour pouvoir écrire le programme : O et O′ les centres des cercles, M et N leurs points d’intersection (M en haut).

Étape 1. Trace un segment [OO′] de 4 cm. De plus, trace le cercle de centre O de rayon 4 cm et le cercle de centre O′ de rayon 4 cm : chaque cercle passe par le centre de l’autre. Ensuite, ils se coupent en M et N.

Étape 2. Trace la droite parallèle à [OO′] passant par M : elle recoupe le premier cercle en P et le second en Q. Fais de même par N : on obtient P′ et Q′. Par ailleurs, trace [PQ] et [P′Q′], puis les quatre segments [PN], [MP′], [MQ′] et [QN] : chacun passe par un centre, ce sont des diamètres. Puis on obtient des triangles équilatéraux de 4 cm de côté disposés en sablier dans chaque cercle.

Étape 3. Trace le cœur avec six arcs de cercle :

• deux demi-cercles de rayon 2 cm au-dessus de [PM] et de [MQ], centrés au milieu de [PM] et au milieu de [MQ] ;
• l’arc de centre M et de rayon 4 cm qui va de P à O, et celui qui va de Q à O′ ;
• l’arc de centre P′ et de rayon 4 cm qui va de O à N, et l’arc de centre Q′ qui va de O′ à N.

a. On trace un triangle ABC quelconque, puis, à l’extérieur, les triangles équilatéraux ABD (sur [AB]), BCE (sur [BC]) et CAF (sur [CA]) : pour chacun, on garde l’écartement du compas égal au côté et on trace deux arcs depuis ses extrémités. Ensuite, on trace ensuite les droites (AE), (BF) et (CD).

On remarque que les trois droites se coupent en un même point (on dit qu’elles sont concourantes). Puis en mesurant, on constate aussi que les segments [AE], [BF] et [CD] ont la même longueur. Si ton tracé ne donne pas exactement un point, c’est un petit manque de précision : recommence en taillant bien ton crayon.

b. On trace [TC] de 7 cm, puis O avec deux arcs : centre T et rayon 5 cm, centre C et rayon 4 cm. De plus, le cercle de centre T passant par O a un rayon de 5 cm ; le cercle de centre C passant par O a un rayon de 4 cm. Ensuite, ces deux cercles se coupent en O et en un deuxième point, A, situé de l’autre côté de (TC).

En vérifiant avec l’équerre, on voit que les droites (TC) et (OA) sont perpendiculaires. Explication : T est à la même distance de O et de A (5 cm) et C aussi (4 cm) ; A est le « reflet » de O de l’autre côté de (TC), comme dans un miroir posé sur (TC).