Corrigé des 23 exercices sur les longueurs, masses et volumes en CM2 à télécharger en PDF

Alors, on écrit chaque mesure dans le tableau de conversion : le chiffre des unités se place dans la colonne de l’unité donnée. Puis on complète par des zéros si besoin, puis on lit le nombre en s’arrêtant à la colonne de l’unité demandée.

Quelques explications :

• c. \( 4 \text{ hm} = 400 \text{ m} \), donc \( 4 \text{ hm et } 25 \text{ m} = 425 \text{ m} = 4\,250 \text{ dm} \).
• Donc, d. \( 72 \text{ dam} = 720 \text{ m} \) ; avec les 6 cm on obtient \( 720{,}06 \text{ m} \). Il faut des zéros dans les colonnes m et dm pour que le 6 tombe bien dans la colonne cm : \( 720{,}06 \text{ m} = 7{,}2006 \text{ hm} \).
• e. Également, le 8 va dans la colonne dam ; on lit jusqu’aux dm : \( 804{,}9 \text{ dm} \).
• f. Il manque un chiffre dans la colonne m : on écrit un 0, d’où \( 0{,}128 \text{ m} \).

En effet, on se rappelle que \( 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \), \( 1 \text{ hm} = 100 \text{ m} \), \( 1 \text{ dam} = 10 \text{ m} \), et dans l’autre sens \( 1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} \). Alors, passer à une unité plus petite revient à multiplier, passer à une unité plus grande revient à diviser.

• Toutefois, a. \( 245 \text{ dam} = 245 \times 10 \text{ m} = \mathbf{2\,450 \text{ m}} \)
• Alors, b. \( 45{,}3 \text{ km} = 45{,}3 \times 1\,000 \text{ m} = \mathbf{45\,300 \text{ m}} \)
• Également, c. \( 0{,}0032 \text{ hm} = 0{,}0032 \times 100 \text{ m} = \mathbf{0{,}32 \text{ m}} \)
• Par exemple, d. \( 6\,890 \text{ cm} = 6\,890 \div 100 \text{ m} = \mathbf{68{,}9 \text{ m}} \)
• Également, e. \( 25{,}7 \text{ dm} = 25{,}7 \div 10 \text{ m} = \mathbf{2{,}57 \text{ m}} \)
• Puis, f. \( 0{,}021 \text{ dam} = 0{,}021 \times 10 \text{ m} = \mathbf{0{,}21 \text{ m}} \)

• a. Car le kilomètre est 1 000 fois plus grand que le mètre : \( 2\,141 \text{ m} = 2\,141 \div 1\,000 \text{ km} = \mathbf{2{,}141 \text{ km}} \). Cependant, le pont de Normandie mesure un peu plus de 2 km.
• b. Par exemple, le mètre vaut 100 cm : \( 1\,930 \text{ cm} = 1\,930 \div 100 \text{ m} = \mathbf{19{,}3 \text{ m}} \). Puis, le Boeing 747 est haut de 19,3 m.
• c. Donc, le décimètre vaut 100 mm : \( 0{,}015 \text{ dm} = 0{,}015 \times 100 \text{ mm} = \mathbf{1{,}5 \text{ mm}} \). Alors, un œuf d’abeille mesure environ 1,5 mm.
• d. Notamment, le centimètre vaut 10 mm : \( 62 \text{ mm} = 62 \div 10 \text{ cm} = \mathbf{6{,}2 \text{ cm}} \). De même, la maquette est large de 6,2 cm.

De même, étape 1 : combien de jours la tortue marche-t-elle ? Elle hiberne de début novembre à fin mars. Ensuite, elle est donc active d’avril à octobre, soit 7 mois :

\[ \underbrace{30}_{\text{avril}} + \underbrace{31}_{\text{mai}} + \underbrace{30}_{\text{juin}} + \underbrace{31}_{\text{juillet}} + \underbrace{31}_{\text{août}} + \underbrace{30}_{\text{sept.}} + \underbrace{31}_{\text{oct.}} = 214 \text{ jours} \]

(On peut aussi calculer \( 365 – 151 = 214 \), car novembre, décembre, janvier, février et mars comptent \( 30 + 31 + 31 + 28 + 31 = 151 \) jours.)

De même, étape 2 : distance parcourue en mètres.

\[ 214 \times 80 = 17\,120 \text{ m} \]

Également, étape 3 : conversion en kilomètres. Comme \( 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \) :

\[ 17\,120 \text{ m} = 17{,}12 \text{ km} \]

Également, la tortue d’Hermann parcourt en moyenne 17,12 km en un an.

Puis, la hauteur de la pile est égale à l’épaisseur d’un billet multipliée par le nombre de billets :

\[ 0{,}12 \times 20\,000 = 2\,400 \text{ mm} \]

On convertit en mètres : \( 1 \text{ m} = 1\,000 \text{ mm} \), donc \( 2\,400 \text{ mm} = 2\,400 \div 1\,000 \text{ m} = 2{,}4 \text{ m} \).

Ensuite, une pile de 20 000 billets mesure 2,4 m de haut, plus qu’un adulte !

Pour chaque récipient, on repère d’abord ce que vaut une graduation : on divise la capacité par le nombre d’intervalles. Puis on compte ensuite les intervalles sous le niveau de l’eau.

• a. Donc, Récipient de 5 L partagé en 5 intervalles : une graduation vaut 1 L. Notamment, l’eau arrive exactement à mi-hauteur, entre les graduations 2 L et 3 L : \( 5 \div 2 = 2{,}5 \). Il contient 2,5 L.
• b. Cependant, Récipient de 100 L partagé en 10 intervalles : une graduation vaut \( 100 \div 10 = 10 \text{ L} \). Puis, l’eau (arête avant) atteint la 7^e graduation : \( 7 \times 10 = 70 \). Il contient 70 L.
• c. Par ailleurs, Capacité \( 1 \text{ daL} = 10 \text{ L} \), partagée en 10 intervalles : une graduation vaut 1 L. Par exemple, l’eau atteint la 6^e graduation, soit 6 L. Or \( 1 \text{ L} = 10 \text{ dL} \), donc \( 6 \text{ L} = 60 \text{ dL} \). Il contient 60 dL.
• d. De même, Récipient cubique de 750 mL, sans graduation : l’eau occupe les deux tiers de la hauteur. \( 750 \div 3 = 250 \) et \( 2 \times 250 = 500 \text{ mL} \). Notamment, comme \( 1 \text{ L} = 1\,000 \text{ mL} \), \( 500 \text{ mL} = 0{,}5 \text{ L} \). Il contient 0,5 L.

Par exemple, il faut colorier la quantité d’eau dans chaque récipient. De plus, on cherche d’abord la valeur d’une graduation, et on convertit la quantité dans une unité qui se lit facilement sur la graduation.

• a. Donc, 1 L partagé en 10 intervalles : une graduation vaut \( 1 \div 10 = 0{,}1 \text{ L} = 100 \text{ mL} \). \( 0{,}7 \text{ L} = 700 \text{ mL} \), on colorie jusqu’à la 7^e graduation.
• b. Ainsi, 100 mL partagés en 100 petits intervalles : une petite graduation vaut 1 mL (les moyennes marquent 5 mL, les grandes 10 mL). De même, pour 85 mL, on colorie jusqu’à la 8^e grande graduation plus une moyenne (\( 80 + 5 = 85 \)).
• c. Alors, 50 L partagés en 50 petits intervalles : une petite graduation vaut 1 L. \( 0{,}5 \text{ daL} = 0{,}5 \times 10 \text{ L} = 5 \text{ L} \) : on colorie jusqu’à la 5^e petite graduation (la première graduation moyenne), soit un dixième du récipient.
• d. Par ailleurs, 1 L partagé en 10 intervalles de 100 mL. \( 800 \text{ mL} = 8 \times 100 \text{ mL} \) : on colorie jusqu’à la 8^e graduation.

1. Ensuite, choisir l’unité la mieux adaptée. On pense à l’ordre de grandeur réel : un seau contient une dizaine de litres, une larme quelques gouttes.

2. Ensuite, convertir dans une unité plus adaptée. On cherche une écriture avec peu de zéros ou de décimales.

Par exemple : \( 0{,}0015 \text{ hL} = 0{,}0015 \times 100 \text{ L} = 0{,}15 \text{ L} = 15 \text{ cL} \) et \( 1\,300\,000 \text{ mL} = 1\,300\,000 \div 1\,000 \text{ L} = 1\,300 \text{ L} \).

3. Notamment, convertir en millilitres. On retient \( 1 \text{ L} = 1\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ daL} = 10\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ hL} = 100\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ dL} = 100 \text{ mL} \).

Notamment, Détail de deux calculs : \( 320 \text{ daL} = 3\,200 \text{ L} = 3\,200 \times 1\,000 \text{ mL} = 3\,200\,000 \text{ mL} \) ; \( 0{,}00028 \text{ hL} = 0{,}028 \text{ L} = 28 \text{ mL} \).

De même, les deux quantités ne sont pas dans la même unité : on convertit le verre en centilitres. Par exemple, comme \( 1 \text{ dL} = 10 \text{ cL} \) :

\[ 2 \text{ dL} = 20 \text{ cL} \]

Ainsi, on soustrait ce qui a été versé :

\[ 33 \text{ cL} – 20 \text{ cL} = 13 \text{ cL} \]

De même, il reste 13 cL de soda dans la canette.

On exprime d’abord le contenu de la baignoire en litres, l’unité des bouteilles. Toutefois, comme \( 1 \text{ hL} = 100 \text{ L} \) :

\[ 2{,}4 \text{ hL} = 2{,}4 \times 100 \text{ L} = 240 \text{ L} \]

Donc, on cherche combien de fois 1,5 L « entre » dans 240 L. Deux bouteilles contiennent 3 L, et \( 240 \div 3 = 80 \), donc il faut \( 80 \times 2 = 160 \) bouteilles. Ensuite, on vérifie :

\[ 160 \times 1{,}5 = 240 \text{ L} \]

Par exemple, on peut remplir 160 bouteilles de 1,5 L.

Pour additionner des contenances, on les écrit d’abord toutes dans la même unité, ici le centilitre (cL). Par ailleurs, on utilise : 1 L = 100 cL, 1 dL = 10 cL et 1 cL = 10 mL.

• Également, eau douce : 12 dL = 12 × 10 cL = 120 cL ;
• café froid : 50 cL ;
• Toutefois, eau de mer : 1,5 L = 1,5 × 100 cL = 150 cL ;
• Puis, encre rouge : 20 mL = 20 ÷ 10 cL = 2 cL.

120 + 50 + 150 + 2 = 322 cL.

Cependant, Quantité de sirop dans un verre. Le verre contient 24 cL, dont un huitième de menthe :

Alors, 24 cL ÷ 8 = 3 cL de sirop par verre (et 21 cL d’eau, soit les sept huitièmes).

Alors, contenance de la bouteille en cL. 0,75 L = 0,75 × 100 cL = 75 cL.

Ainsi, nombre de verres. On cherche combien de fois 3 cL sont contenus dans 75 cL : 75 ÷ 3 = 25.

Toutefois, Vérification : 25 × 3 cL = 75 cL, toute la bouteille est utilisée.

On place chaque chiffre dans la colonne de son unité, en partant du chiffre des unités de la masse donnée. Cependant, chaque colonne contient un nombre inférieur à 10. Puis pour convertir, on lit ensuite le nombre jusqu’à la colonne de l’unité demandée.

• a. 524 g : 5 hg, 2 dag, 4 g.
• Ensuite, b. 130 004 cg = 1 300,04 g : 1 kg, 3 hg, 0 dag, 0 g, 0 dg, 4 cg.
• c. 2 kg et 425 mg = 2 000,425 g : 2 kg, puis 4 dg, 2 cg, 5 mg.
• Enfin, d. 12 hg et 6 g = 1 206 g : 1 kg, 2 hg, 0 dag, 6 g.
• Par ailleurs, e. 2,095 dag = 20,95 g : 2 dag, 0 g, 9 dg, 5 cg.

Exemple de lecture pour c : jusqu’à la colonne dg, on lit 2 0 0 0 4, puis les chiffres suivants (2 et 5) passent après la virgule : 20 004,25 dg.

Également, À chaque fois que l’on passe à l’unité immédiatement plus petite, on multiplie par 10 ; vers l’unité plus grande, on divise par 10. Ensuite, les cases grisées correspondent à l’unité de départ.

Contrôle pour c : 84,59 dg = 8,459 g, et 1 kg = 1 000 g, donc 8,459 g = 0,008 459 kg.

Puis, les nombres du tableau indiquent combien de masses de chaque sorte on utilise (au plus 4 pour 2 hg, 2 g et 2 cg, au plus 1 pour 5 dag et 5 dg). Puis on calcule en grammes, puis on convertit en décigrammes (1 g = 10 dg).

• a. 2 × 2 g + 1 × 5 dg = 4 g + 0,5 g = 4,5 g = 45 dg.
• Enfin, b. 2 × 2 hg + 1 × 5 dag + 4 × 2 cg = 400 g + 50 g + 0,08 g = 450,08 g = 4 500,8 dg.
• Enfin, c. 2 hg + 5 dag + 2 g + 5 dg + 2 cg = 200 g + 50 g + 2 g + 0,5 g + 0,02 g = 252,52 g = 2 525,2 dg.

Donc, pour d, e et f, on décompose la masse en commençant par les plus grosses masses marquées :

• d. 256 g = 200 g + 50 g + 6 g = 1 × 2 hg + 1 × 5 dag + 3 × 2 g.
• e. 2,56 g = 2 g + 0,5 g + 0,06 g = 1 × 2 g + 1 × 5 dg + 3 × 2 cg.
• f. 6,04 g = 6 g + 0,04 g = 3 × 2 g + 2 × 2 cg.

En outre, on choisit l’unité qui donne une masse réaliste, en s’aidant de repères : un litre d’eau pèse environ 1 kg, une pomme ou une orange environ 150 à 200 g.

Enfin, les balances sont en équilibre : la masse du plateau de gauche est égale à celle du plateau de droite. Car de plus, on convertit tout en grammes.

Enfin, a. À droite : 1 kg + 1 kg = 2 kg = 2 000 g. Cependant, À gauche : le poulet et 2 dag = 20 g.

Par exemple, masse du poulet : 2 000 g − 20 g = 1 980 g = 1,98 kg.

b. À droite : 1 kg = 1 000 g. En effet, À gauche : les bananes, 5 dag = 50 g et 2 hg = 200 g.

Masse des bananes : 1 000 g − 50 g − 200 g = 750 g.

a. Un enfant aussi fort que le bousier soulèverait 1 141 fois sa propre masse :

\[ 42 \times 1\,141 = 47\,922 \text{ kg} \]

En effet, on peut poser la multiplication : 1 141 × 42 = 1 141 × 40 + 1 141 × 2 = 45 640 + 2 282 = 47 922.

Il porterait donc 47 922 kg, soit près de 48 tonnes.

b. 5 t = 5 000 kg. Ensuite, on cherche combien de fois 5 000 kg sont contenus dans 47 922 kg :

\[ 47\,922 = 5\,000 \times 9 + 2\,922 \]

9 éléphants pèsent 45 000 kg (il peut les soulever), mais 10 éléphants pèsent 50 000 kg, c’est trop. Par ailleurs, on ne compte que des éléphants entiers.

Par ailleurs, le volume en u.v. est le nombre de petits cubes. Puis on compte étage par étage, sans oublier les cubes cachés qui soutiennent ceux du dessus.

• Toutefois, a. Base de 3 × 3 = 9 cubes ; au 2e étage, les 4 cubes des coins ; au 3e étage, les 2 cubes des coins du fond : 9 + 4 + 2 = 15 u.v.
• b. Escalier : base de 3 × 3 = 9 cubes ; 2e étage sur les deux rangées du fond : 3 × 2 = 6 cubes ; 3e étage : 2 cubes au fond : 9 + 6 + 2 = 17 u.v.
• En effet, c. Base de 4 × 3 = 12 cubes ; 2e étage : 11 cubes (il manque le cube avant droit) ; 3e étage : la colonne de gauche (3 cubes) et les 2 cubes du fond à droite, soit 5 cubes : 12 + 11 + 5 = 28 u.v.
• En effet, d. Pavé de 3 cubes de large, 3 de profondeur et 2 de haut : 3 × 3 × 2 = 18 u.v.
• Alors, e. Pavé de 5 cubes de long, 2 de profondeur et 2 de haut : 5 × 2 × 2 = 20 u.v.

Cependant, les deux solides tiennent dans un grand cube de 4 petits cubes d’arête, qui contiendrait \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \) petits cubes. Ensuite, il suffit de compter les cubes qui manquent.

Notamment, a. Il manque le dernier étage sur un carré de 3 × 3 cubes (à l’avant et à droite) : 9 cubes manquent.

\[ 64 – 9 = 55 \]

Par exemple, b. On compte colonne par colonne la hauteur de chaque pile (4 rangées de 4 piles, de l’avant vers le fond) :

• rangée avant : 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ;
• 2e rangée : 4 + 3 + 2 + 2 = 11 ;
• 3e rangée : 4 + 3 + 3 + 3 = 13 ;
• rangée du fond : 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

10 + 11 + 13 + 16 = 50. Puis il manque donc 64 − 50 = 14 cubes.

Par exemple, le volume d’un pavé droit est : V = l × L × h, les trois longueurs étant dans la même unité. Notamment, Si elles sont en cm, le volume est en cm³ ; en m, il est en m³, etc.

• a. 2 × 3 × 4 = 24 cm³.
• b. 10 × 20 × 17 = 200 × 17 = 3 400 hm³.
• c. 0,5 × 1,5 × 1 = 0,75 m³.
• d. 2,8 × 5 × 2,5 = 14 × 2,5 = 35 dm³ (soit 35 L).

Car un dé de 1 cm d’arête occupe 1 cm³. De plus, le nombre de dés est donc égal au volume de la boîte en cm³ (on range les dés en couches).

En effet, a. Boîte cubique de 5 cm d’arête : une couche contient 5 × 5 = 25 dés, et il y a 5 couches.

5 × 5 × 5 = 125 dés.

Par exemple, b. Boîte de 8 cm × 2 cm × 3 cm : une couche contient 8 × 2 = 16 dés, et il y a 3 couches.

8 × 2 × 3 = 48 dés.

Cependant, volume du cube (arête 6 cm) : 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216 cm³.

Donc, volume du pavé droit (13,5 cm × 4 cm × 4 cm) : 13,5 × 4 × 4 = 13,5 × 16 = 216 cm³.

Calcul de 13,5 × 16 : 13 × 16 = 208 et 0,5 × 16 = 8, donc 208 + 8 = 216.

Les deux solides n’ont pas la même forme, mais ils ont le même volume.