Longueurs, masses et volumes en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On écrit chaque mesure dans le tableau de conversion : le chiffre des unités se place dans la colonne de l’unité donnée. On complète par des zéros si besoin, puis on lit le nombre en s’arrêtant à la colonne de l’unité demandée.

Quelques explications :

• c. \( 4 \text{ hm} = 400 \text{ m} \), donc \( 4 \text{ hm et } 25 \text{ m} = 425 \text{ m} = 4\,250 \text{ dm} \).
• d. \( 72 \text{ dam} = 720 \text{ m} \) ; avec les 6 cm on obtient \( 720{,}06 \text{ m} \). Il faut des zéros dans les colonnes m et dm pour que le 6 tombe bien dans la colonne cm : \( 720{,}06 \text{ m} = 7{,}2006 \text{ hm} \).
• e. Le 8 va dans la colonne dam ; on lit jusqu’aux dm : \( 804{,}9 \text{ dm} \).
• f. Il manque un chiffre dans la colonne m : on écrit un 0, d’où \( 0{,}128 \text{ m} \).

On se rappelle que \( 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \), \( 1 \text{ hm} = 100 \text{ m} \), \( 1 \text{ dam} = 10 \text{ m} \), et dans l’autre sens \( 1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} \). Passer à une unité plus petite revient à multiplier, passer à une unité plus grande revient à diviser.

• a. \( 245 \text{ dam} = 245 \times 10 \text{ m} = \mathbf{2\,450 \text{ m}} \)
• b. \( 45{,}3 \text{ km} = 45{,}3 \times 1\,000 \text{ m} = \mathbf{45\,300 \text{ m}} \)
• c. \( 0{,}0032 \text{ hm} = 0{,}0032 \times 100 \text{ m} = \mathbf{0{,}32 \text{ m}} \)
• d. \( 6\,890 \text{ cm} = 6\,890 \div 100 \text{ m} = \mathbf{68{,}9 \text{ m}} \)
• e. \( 25{,}7 \text{ dm} = 25{,}7 \div 10 \text{ m} = \mathbf{2{,}57 \text{ m}} \)
• f. \( 0{,}021 \text{ dam} = 0{,}021 \times 10 \text{ m} = \mathbf{0{,}21 \text{ m}} \)

• a. Le kilomètre est 1 000 fois plus grand que le mètre : \( 2\,141 \text{ m} = 2\,141 \div 1\,000 \text{ km} = \mathbf{2{,}141 \text{ km}} \). Le pont de Normandie mesure un peu plus de 2 km.
• b. Le mètre vaut 100 cm : \( 1\,930 \text{ cm} = 1\,930 \div 100 \text{ m} = \mathbf{19{,}3 \text{ m}} \). Le Boeing 747 est haut de 19,3 m.
• c. Le décimètre vaut 100 mm : \( 0{,}015 \text{ dm} = 0{,}015 \times 100 \text{ mm} = \mathbf{1{,}5 \text{ mm}} \). Un œuf d’abeille mesure environ 1,5 mm.
• d. Le centimètre vaut 10 mm : \( 62 \text{ mm} = 62 \div 10 \text{ cm} = \mathbf{6{,}2 \text{ cm}} \). La maquette est large de 6,2 cm.

Étape 1 : combien de jours la tortue marche-t-elle ? Elle hiberne de début novembre à fin mars. Elle est donc active d’avril à octobre, soit 7 mois :

\[ \underbrace{30}_{\text{avril}} + \underbrace{31}_{\text{mai}} + \underbrace{30}_{\text{juin}} + \underbrace{31}_{\text{juillet}} + \underbrace{31}_{\text{août}} + \underbrace{30}_{\text{sept.}} + \underbrace{31}_{\text{oct.}} = 214 \text{ jours} \]

(On peut aussi calculer \( 365 – 151 = 214 \), car novembre, décembre, janvier, février et mars comptent \( 30 + 31 + 31 + 28 + 31 = 151 \) jours.)

Étape 2 : distance parcourue en mètres.

\[ 214 \times 80 = 17\,120 \text{ m} \]

Étape 3 : conversion en kilomètres. Comme \( 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \) :

\[ 17\,120 \text{ m} = 17{,}12 \text{ km} \]

La tortue d’Hermann parcourt en moyenne 17,12 km en un an.

La hauteur de la pile est égale à l’épaisseur d’un billet multipliée par le nombre de billets :

\[ 0{,}12 \times 20\,000 = 2\,400 \text{ mm} \]

On convertit en mètres : \( 1 \text{ m} = 1\,000 \text{ mm} \), donc \( 2\,400 \text{ mm} = 2\,400 \div 1\,000 \text{ m} = 2{,}4 \text{ m} \).

Une pile de 20 000 billets mesure 2,4 m de haut, plus qu’un adulte !

Pour chaque récipient, on repère d’abord ce que vaut une graduation : on divise la capacité par le nombre d’intervalles. On compte ensuite les intervalles sous le niveau de l’eau.

• a. Récipient de 5 L partagé en 5 intervalles : une graduation vaut 1 L. L’eau arrive exactement à mi-hauteur, entre les graduations 2 L et 3 L : \( 5 \div 2 = 2{,}5 \). Il contient 2,5 L.
• b. Récipient de 100 L partagé en 10 intervalles : une graduation vaut \( 100 \div 10 = 10 \text{ L} \). L’eau (arête avant) atteint la 7^e graduation : \( 7 \times 10 = 70 \). Il contient 70 L.
• c. Capacité \( 1 \text{ daL} = 10 \text{ L} \), partagée en 10 intervalles : une graduation vaut 1 L. L’eau atteint la 6^e graduation, soit 6 L. Or \( 1 \text{ L} = 10 \text{ dL} \), donc \( 6 \text{ L} = 60 \text{ dL} \). Il contient 60 dL.
• d. Récipient cubique de 750 mL, sans graduation : l’eau occupe les deux tiers de la hauteur. \( 750 \div 3 = 250 \) et \( 2 \times 250 = 500 \text{ mL} \). Comme \( 1 \text{ L} = 1\,000 \text{ mL} \), \( 500 \text{ mL} = 0{,}5 \text{ L} \). Il contient 0,5 L.

Il faut colorier la quantité d’eau dans chaque récipient. On cherche d’abord la valeur d’une graduation, et on convertit la quantité dans une unité qui se lit facilement sur la graduation.

• a. 1 L partagé en 10 intervalles : une graduation vaut \( 1 \div 10 = 0{,}1 \text{ L} = 100 \text{ mL} \). \( 0{,}7 \text{ L} = 700 \text{ mL} \), on colorie jusqu’à la 7^e graduation.
• b. 100 mL partagés en 100 petits intervalles : une petite graduation vaut 1 mL (les moyennes marquent 5 mL, les grandes 10 mL). Pour 85 mL, on colorie jusqu’à la 8^e grande graduation plus une moyenne (\( 80 + 5 = 85 \)).
• c. 50 L partagés en 50 petits intervalles : une petite graduation vaut 1 L. \( 0{,}5 \text{ daL} = 0{,}5 \times 10 \text{ L} = 5 \text{ L} \) : on colorie jusqu’à la 5^e petite graduation (la première graduation moyenne), soit un dixième du récipient.
• d. 1 L partagé en 10 intervalles de 100 mL. \( 800 \text{ mL} = 8 \times 100 \text{ mL} \) : on colorie jusqu’à la 8^e graduation.

1. Choisir l’unité la mieux adaptée. On pense à l’ordre de grandeur réel : un seau contient une dizaine de litres, une larme quelques gouttes.

2. Convertir dans une unité plus adaptée. On cherche une écriture avec peu de zéros ou de décimales.

Par exemple : \( 0{,}0015 \text{ hL} = 0{,}0015 \times 100 \text{ L} = 0{,}15 \text{ L} = 15 \text{ cL} \) et \( 1\,300\,000 \text{ mL} = 1\,300\,000 \div 1\,000 \text{ L} = 1\,300 \text{ L} \).

3. Convertir en millilitres. On retient \( 1 \text{ L} = 1\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ daL} = 10\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ hL} = 100\,000 \text{ mL} \), \( 1 \text{ dL} = 100 \text{ mL} \).

Détail de deux calculs : \( 320 \text{ daL} = 3\,200 \text{ L} = 3\,200 \times 1\,000 \text{ mL} = 3\,200\,000 \text{ mL} \) ; \( 0{,}00028 \text{ hL} = 0{,}028 \text{ L} = 28 \text{ mL} \).

Les deux quantités ne sont pas dans la même unité : on convertit le verre en centilitres. Comme \( 1 \text{ dL} = 10 \text{ cL} \) :

\[ 2 \text{ dL} = 20 \text{ cL} \]

On soustrait ce qui a été versé :

\[ 33 \text{ cL} – 20 \text{ cL} = 13 \text{ cL} \]

Il reste 13 cL de soda dans la canette.

On exprime d’abord le contenu de la baignoire en litres, l’unité des bouteilles. Comme \( 1 \text{ hL} = 100 \text{ L} \) :

\[ 2{,}4 \text{ hL} = 2{,}4 \times 100 \text{ L} = 240 \text{ L} \]

On cherche combien de fois 1,5 L « entre » dans 240 L. Deux bouteilles contiennent 3 L, et \( 240 \div 3 = 80 \), donc il faut \( 80 \times 2 = 160 \) bouteilles. On vérifie :

\[ 160 \times 1{,}5 = 240 \text{ L} \]

On peut remplir 160 bouteilles de 1,5 L.