Corrigé des 20 exercices de problèmes et calculs en CM2 : solutions détaillées à télécharger en PDF

De plus, la population double tous les trois mois. De plus, une année compte 12 mois, soit \( 12 \div 3 = 4 \) périodes de trois mois. Ensuite, la population double donc 4 fois.

a. Ensuite, Masse de lombrics :

\[ \begin{aligned} 500 \times 2 &= 1\,000 \text{ g (après 3 mois)} \\ 1\,000 \times 2 &= 2\,000 \text{ g (après 6 mois)} \\ 2\,000 \times 2 &= 4\,000 \text{ g (après 9 mois)} \\ 4\,000 \times 2 &= 8\,000 \text{ g (après 12 mois)} \end{aligned} \]

Également, Au bout d’un an, la masse de lombrics est de 8 000 g, soit 8 kg.

b. Le nombre de vers double de la même façon : \( 1\,000 \to 2\,000 \to 4\,000 \to 8\,000 \to 16\,000 \).

De plus, Au bout d’un an, il y a 16 000 lombrics.

Aussi, la recette (50 g d’ail, 650 g d’oignons, 10 L d’eau) permet de traiter 30 m². Par ailleurs, les quantités sont proportionnelles à l’aire traitée.

a. De plus, 75 m², c’est 2 fois 30 m² plus la moitié de 30 m² (15 m²) : \( 75 = 30 + 30 + 15 \). Puis il faut donc 2 recettes et demie.

\[ \begin{aligned} \text{Ail : } 50 + 50 + 25 &= 125 \text{ g} \\ \text{Oignons : } 650 + 650 + 325 &= 1\,625 \text{ g} \end{aligned} \]

Ainsi, Zolan doit prévoir 125 g d’ail et 1 625 g d’oignons (soit 1,625 kg).

b. Avec 150 g d’ail : \( 150 \div 50 = 3 \), il peut faire 3 recettes.

Par ailleurs, Avec 2 kg = 2 000 g d’oignons : 3 recettes demandent \( 3 \times 650 = 1\,950 \) g, et \( 1\,950 \lt 2\,000 \) ; 4 recettes demanderaient \( 2\,600 \) g, c’est trop. Ensuite, les oignons suffisent donc aussi pour 3 recettes.

C’est l’ail qui limite : Zolan peut faire 3 recettes, donc traiter \( 3 \times 30 = 90 \text{ m}^2 \).

a. Ensuite, en magasin, 30 kg de pommes de terre coûteraient :

\[ 30 \times 1{,}60 = 48 \text{ €} \]

Les plants ont coûté 7 €, donc l’économie est \( 48 – 7 = 41 \) €. Zolan économise 41 €.

b. Enfin, Valeur en magasin de la récolte de 1 m² de chaque culture :

\[ \begin{aligned} 18{,}20 + 32 + 5 + 12 + 11 &= 78{,}20 \text{ €} \\ 78{,}20 – 7{,}50 &= 70{,}70 \text{ €} \end{aligned} \]

Ainsi, on retire le prix des graines (7,50 €) : l’économie réalisée est de 70,70 €.

Rappel : prendre 63 % d’un nombre, c’est le multiplier par 63 puis diviser par 100.

Par ailleurs, a. \[ 60\,000\,000 \times 63 \div 100 = 37\,800\,000 \]

37 800 000 Français (37,8 millions) possèdent un jardin.

b. 67 % de ces 37 800 000 personnes cultivent un potager ou un verger :

\[ 37\,800\,000 \times 67 \div 100 = 25\,326\,000 \]

Donc, 25 326 000 Français cultivent un potager ou un verger. Puis la moitié des Français, c’est \( 60\,000\,000 \div 2 = 30\,000\,000 \). Comme \( 25\,326\,000 \lt 30\,000\,000 \), cela représente moins que la moitié des Français.

c. Enfin, les pourcentages du diagramme portent sur les 25 326 000 personnes de la question b.

\[ \begin{aligned} \text{Potager uniquement : } 25\,326\,000 \times 37 \div 100 &= 9\,370\,620 \\ \text{Verger uniquement : } 25\,326\,000 \times 38 \div 100 &= 9\,623\,880 \\ \text{Les deux : } 25\,326\,000 \times 25 \div 100 &= 6\,331\,500 \end{aligned} \]

Vérification : \( 9\,370\,620 + 9\,623\,880 + 6\,331\,500 = 25\,326\,000 \) (car 37 % + 38 % + 25 % = 100 %).

a. Par ailleurs, À l’échelle 1 : 10, une longueur réelle est divisée par 10 sur le plan. De plus, on convertit d’abord en cm :

• 1,60 m = 160 cm, donc 16 cm sur le plan ;
• 0,30 m = 30 cm, donc 3 cm sur le plan ;
• 0,90 m = 90 cm, donc 9 cm sur le plan.

Également, Vu de dessus, on voit un carré de 16 cm de côté (l’étage du haut) avec, au centre, un carré de 9 cm de côté (le cube du fond). Ensuite, en coupe, on voit un rectangle de 16 cm sur 3 cm, puis en dessous un carré de 9 cm sur 9 cm. Par ailleurs, la profondeur totale est de 12 cm sur le plan, soit 1,20 m en réalité.

Exercice 5 : Problème du trou (suite)

b. Ensuite, Volume de sable retiré. Puis on travaille en dm, car 1 dm³ = 1 L : 1,60 m = 16 dm, 0,30 m = 3 dm, 0,90 m = 9 dm.

\[ \begin{aligned} \text{Pavé : } 16 \times 16 \times 3 &= 768 \text{ dm}^3 \\ \text{Cube : } 9 \times 9 \times 9 &= 729 \text{ dm}^3 \\ \text{Total : } 768 + 729 &= 1\,497 \text{ dm}^3 = 1\,497 \text{ L} \end{aligned} \]

Ainsi, Nombre de seaux de 3 L : \( 1\,497 \div 3 = 499 \).

Chama et Freesper ont extrait 499 seaux de sable.

Donc, on vérifie les trois conditions pour chaque appartement : au moins 2 chambres, une superficie entre 50 et 70 m², un prix de 650 € au plus.

Par ailleurs, A1 est trop cher (660 € dépasse 650 €), A2 et A4 n’ont qu’une chambre, A5 est trop grand (85 m²) et A6 beaucoup trop cher. Seul l’appartement A3 remplit toutes les conditions : 2 chambres, 50 m² et 610 €.

a. Ainsi, pour chaque année, on trace une barre dont la hauteur est égale au nombre de bébés, en lisant l’axe vertical gradué de 0 à 50. Par exemple : 8 en 1988 (déjà tracée), 17 en 1998, 50 en 2009.

b. De 1988 à 1999, le nombre de bébés prénommés Ruby reste faible : entre 5 et 17 par an, avec des hauts et des bas. À partir de 2000, il augmente nettement : 15 en 2000, 24 en 2004, 44 en 2007, jusqu’au maximum de 50 en 2009. Ensuite, en 2010, il redescend à 34.

a. 90 mL d’eau correspondent à 3 mesurettes, donc 1 mesurette correspond à \( 90 \div 3 = 30 \) mL d’eau. Donc, Comme la quantité d’eau est proportionnelle au nombre de mesurettes, on divise chaque quantité d’eau par 30.

b. De plus, Eau utilisée par jour, pour chaque mois (quantité par biberon × nombre de biberons) :

\[ \begin{aligned} 90 \times 6 &= 540 \text{ mL} & 120 \times 6 &= 720 \text{ mL} & 150 \times 5 &= 750 \text{ mL} \\ 180 \times 5 &= 900 \text{ mL} & 210 \times 4 &= 840 \text{ mL} & 240 \times 4 &= 960 \text{ mL} \end{aligned} \]

Chaque mois compte 30 jours, donc on additionne les quantités journalières puis on multiplie par 30 :

\[ \begin{aligned} 540 + 720 + 750 + 900 + 840 + 960 &= 4\,710 \text{ mL} \\ 4\,710 \times 30 &= 141\,300 \text{ mL} = 141{,}3 \text{ L} \end{aligned} \]

Ainsi, il faudra 141,3 L d’eau pendant les six premiers mois.

c. Mesurettes par jour : \( 3 \times 6 = 18 \), \( 4 \times 6 = 24 \), \( 5 \times 5 = 25 \), \( 6 \times 5 = 30 \), \( 7 \times 4 = 28 \), \( 8 \times 4 = 32 \).

\[ \begin{aligned} 18 + 24 + 25 + 30 + 28 + 32 &= 157 \\ 157 \times 30 &= 4\,710 \end{aligned} \]

Également, il faudra 4 710 mesurettes de lait. (Autre méthode : \( 141\,300 \div 30 = 4\,710 \).)

a. Aussi, on multiplie chaque nombre par 750 000 :

\[ \begin{aligned} 3\,600 \times 750\,000 &= 2\,700\,000\,000 \\ 468 \times 750\,000 &= 351\,000\,000 \\ 28 \times 750\,000 &= 21\,000\,000 \end{aligned} \]

Également, Phrase recopiée : « Pendant 2 ans et demi, 750 000 enfants consomment 2 700 000 000 couches jetables, ce qui engendre 351 000 000 kg de déchets (351 000 tonnes) qui coûtent en traitement 21 000 000 €. »

b. Par ailleurs, Économie par enfant et par an : \( 179 – 110 = 69 \) €.

\[ \begin{aligned} 69 \times 46 &= 3\,174 \text{ € par an} \\ 3\,174 \times 2 &= 6\,348 \text{ € en 2 ans} \end{aligned} \]

Enfin, la crèche économise 6 348 € en 2 ans.

c. L’unité correcte de l’énergie électrique est le kilowattheure (kWh) : chaque enfant représente 29 kWh par an.

\[ \begin{aligned} 29 \times 46 &= 1\,334 \text{ kWh par an} \\ 1\,334 \times 2 &= 2\,668 \text{ kWh en 2 ans} \end{aligned} \]

De plus, le lavage des couches des 46 enfants consommera 2 668 kWh en 2 ans.

Pour additionner des durées, on ajoute les heures ensemble et les minutes ensemble, puis on convertit : 60 min = 1 h.

a. À 1 semaine :

\[ \begin{aligned} \text{Jour : } 1\text{ h }56 + 1\text{ h }47 + 2\text{ h }08 + 1\text{ h }54 &= 5\text{ h }165\text{ min} = 7\text{ h }45\text{ min} \\ \text{Nuit : } 3\text{ h }12 + 2\text{ h }52 + 3\text{ h }04 &= 8\text{ h }68\text{ min} = 9\text{ h }08\text{ min} \\ \text{Total : } 7\text{ h }45 + 9\text{ h }08 &= 16\text{ h }53\text{ min} \end{aligned} \]

À 3 mois, le bloc foncé de 2 h 16 au début (à partir de 6 h) est la fin de la nuit ; le bloc de 1 h juste avant 6 h aussi.

\[ \begin{aligned} \text{Jour : } 2\text{ h }24 + 1\text{ h }50 + 2\text{ h }15 &= 5\text{ h }89\text{ min} = 6\text{ h }29\text{ min} \\ \text{Nuit : } 2\text{ h }16 + 6\text{ h }18 + 1\text{ h} &= 9\text{ h }34\text{ min} \\ \text{Total : } 6\text{ h }29 + 9\text{ h }34 &= 15\text{ h }63\text{ min} = 16\text{ h }03\text{ min} \end{aligned} \]

Ainsi, Ruby dort 16 h 53 min par jour à 1 semaine et 16 h 03 min à 3 mois.

b. Sommeil de jour à 6 mois :

\[ 2\text{ h }07 + 1\text{ h }57 + 1\text{ h }32 = 4\text{ h }96\text{ min} = 5\text{ h }36\text{ min} \]

Par ailleurs, Sommeil de nuit = durée totale − sommeil de jour. Puis on retire 5 h puis 36 min :

\[ \begin{aligned} 15\text{ h }20 – 5\text{ h} &= 10\text{ h }20 \\ 10\text{ h }20 – 36\text{ min} &= 9\text{ h }44\text{ min} \end{aligned} \]

Contrôle sur la frise : la nuit va de 21 h à 6 h (9 h), plus un petit bloc d’environ 44 min à partir de 6 h.

Exercice 10 : Des relevés du sommeil (corrigé problèmes CM2) (suite)

À 6 mois, Ruby dort 9 h 44 min la nuit.

Ainsi, le tour mesure 7,8 km. De plus, on utilise la proportionnalité entre la distance parcourue et la durée.

a. À 12 km/h, on parcourt 12 km en 60 min. Ensuite, en divisant par 12 : 1 km en 5 min.

Donc, pour 7,8 km : \( 7{,}8 \times 5 = 39 \) min. Freesper et Zolan courent pendant 39 minutes.

b. À 18 km/h, on parcourt 18 km en 60 min, donc (en divisant par 6) 3 km en 10 min, et (en divisant encore par 10) 0,3 km en 1 min.

Ainsi, pour 7,8 km : \( 7{,}8 \div 0{,}3 = 26 \) min. Vérification : \( 26 \times 0{,}3 = 7{,}8 \). Chama roule pendant 26 minutes.

c. On ajoute chaque durée à l’heure de départ, 10 h 47 :

• coureurs : 10 h 47 min + 39 min = 10 h 86 min = 11 h 26 min (car 86 min = 1 h 26 min) ;
• vélo : 10 h 47 min + 26 min = 10 h 73 min = 11 h 13 min (car 73 min = 1 h 13 min).

Aussi, Chama et Ruby arrivent 13 minutes avant Freesper et Zolan.

Aussi, Avec 1 kg de cèpes, on remplit 1 bocal de 0,5 L. Donc pour remplir 1 L (deux fois plus), il faut 2 kg de cèpes.

a. On calcule d’abord le volume total des bocaux de 2013 :

• Ainsi, 16 bocaux de 1 L : \( 16 \times 1 = 16 \) L ;
• 6 bocaux de 0,2 L : \( 6 \times 0{,}2 = 1{,}2 \) L ;
• 24 bocaux de 0,5 L : \( 24 \times 0{,}5 = 12 \) L.

De plus, Volume total : \( 16 + 1{,}2 + 12 = 29{,}2 \) L. Masse de cèpes : \( 29{,}2 \times 2 = 58{,}4 \) kg.

Ils ont ramassé 58,4 kg de cèpes en 2013.

b. Enfin, en 2014 : 14,8 kg de cèpes remplissent \( 14{,}8 \div 2 = 7{,}4 \) L de bocaux.

• Bocaux de 0,2 L seulement : 1 L = 5 bocaux de 0,2 L, donc 7 L = 35 bocaux et 0,4 L = 2 bocaux. \( 7{,}4 \div 0{,}2 = 37 \) : il faut 37 bocaux.
• Le moins de bocaux possible : on utilise d’abord les plus gros bocaux. De plus, 7 bocaux de 1 L font 7 L ; il reste 0,4 L. Un bocal de 0,5 L serait trop grand pour 0,4 L (il ne serait pas plein), donc on termine avec 2 bocaux de 0,2 L. Total : \( 7 + 2 = 9 \) bocaux. Ainsi, Avec 6 bocaux de 1 L, il resterait 1,4 L = 2 × 0,5 L + 2 × 0,2 L, soit 10 bocaux : c’est plus.

Également, Attention : les dimensions du mur de la chambre ne figurent pas sur l’énoncé (elles étaient données sur un plan qui n’est pas reproduit). Voici la méthode complète, puis un exemple de calcul avec un mur de 3,50 m de large et 2,50 m de haut ; remplace ces nombres par ceux de ton plan.

a. L’échelle. 16 cm sur le dessin représentent 4 m en réalité, donc 4 cm sur le dessin pour 1 m (on divise par 4). Par ailleurs, pour tracer le mur, on multiplie chaque longueur en mètres par 4 pour l’avoir en cm.
Exemple : 3,50 m → \( 3{,}5 \times 4 = 14 \) cm et 2,50 m → \( 2{,}5 \times 4 = 10 \) cm : on trace un rectangle de 14 cm sur 10 cm.

Exercice 13 : Problème du papier peint (corrigé problèmes CM2) (suite)

b. Aussi, le nombre de rouleaux. On procède en trois étapes.

1. Nombre de bandes (lés) : on divise la largeur du mur par 0,53 m et on arrondit au nombre entier supérieur. Exemple : \( 3{,}5 \div 0{,}53 \approx 6{,}6 \), il faut donc 7 bandes.
2. Enfin, Nombre de bandes dans un rouleau : chaque bande a la hauteur du mur. On cherche combien de fois cette hauteur tient dans 10,05 m. Exemple : \( 4 \times 2{,}5 = 10 \) m et \( 5 \times 2{,}5 = 12{,}5 \) m, donc 4 bandes par rouleau.
3. Aussi, Nombre de rouleaux : 7 bandes avec 4 bandes par rouleau : 1 rouleau ne suffit pas (4 bandes), 2 rouleaux donnent 8 bandes. Il faut 2 rouleaux.

c. Ainsi, ce qui reste. On a acheté \( 2 \times 10{,}05 = 20{,}1 \) m de papier et on en a posé \( 7 \times 2{,}5 = 17{,}5 \) m. Puis il reste \( 20{,}1 – 17{,}5 = 2{,}6 \) m : une bande entière de 2,50 m et deux chutes de 0,05 m.

Aussi, Attention : les dimensions du plafond ne figurent pas sur l’énoncé. Ensuite, on donne la méthode, avec un exemple pour un plafond rectangulaire de 4 m sur 3 m ; les questions d et e se résolvent entièrement.

a. Enfin, Même échelle que pour le papier peint : 16 cm pour 4 m, soit 4 cm pour 1 m. Exemple : 4 m → 16 cm et 3 m → 12 cm, on trace un rectangle de 16 cm sur 12 cm.

b. De plus, Aire d’un rectangle = longueur × largeur. Exemple : \( 4 \times 3 = 12 \) m².

c. Avec deux couches, on peint deux fois la surface : \( 12 \times 2 = 24 \) m². Puis un litre couvre 10 m², donc il faut \( 24 \div 10 = 2{,}4 \) L de peinture.

d. Aussi, la promotion donne 2,5 L + 20 %. 20 % de 2,5 L : \( 2{,}5 \times 20 \div 100 = 0{,}5 \) L. De plus, le pot contient donc \( 2{,}5 + 0{,}5 = 3 \) L. Avec 3 L, on peut peindre \( 3 \times 10 = 30 \) m², soit un plafond de 15 m² au plus en deux couches. Ensuite, dans l’exemple, 2,4 L suffisent : oui, Chama a assez de peinture.

Exercice 14 : Problème de la chambre (suite)

e. Avec la promotion, on paie le prix de 2,5 L mais on obtient 3 L.

• Enfin, Prix payé : \( 2{,}5 \times 20{,}88 = 52{,}20 \) €.
• Prix au litre avec la promotion : \( 52{,}20 \div 3 = 17{,}40 \) €. Le litre revient à 17,40 €.
• Par ailleurs, Économie par litre : \( 20{,}88 – 17{,}40 = 3{,}48 \) €. Chama économise 3,48 € par litre.

Pour chaque plage, on calcule la durée (heure de fermeture − heure d’ouverture), puis on additionne. Ensuite, Rappel : 30 min = une demi-heure.

a.

Également, Mont : 7 + 7 h 30 + 5 h 30 + 7 h 30 + 7 = 33 h + 3 × 30 min = 34 h 30 min. Val : 7 + 8 + 4 + 6 h 30 + 6 = 31 h 30 min.

Exercice 15 : Les horaires de la bibliothèque (suite)

b. Pour chaque jour, on garde les moments où les deux bibliothèques sont ouvertes : on prend la plus tardive des ouvertures et la plus précoce des fermetures.

• Enfin, Mardi : 10 h – 12 h et 13 h 30 – 17 h ;
• Mercredi : 10 h – 12 h et 14 h – 19 h ;
• Jeudi : 14 h – 18 h ;
• Donc, Vendredi : 10 h – 12 h et 14 h – 18 h ;
• Samedi : 10 h – 12 h 30 et 14 h – 17 h.

c. Durées communes : mardi 2 h + 3 h 30 = 5 h 30 ; mercredi 2 h + 5 h = 7 h ; jeudi 4 h ; vendredi 2 h + 4 h = 6 h ; samedi 2 h 30 + 3 h = 5 h 30.

Par ailleurs, Total : 5 h 30 + 7 h + 4 h + 6 h + 5 h 30 = 28 h.

Sur le plan : petite boucle = 875 m et grande boucle = 1 998 m. Par ailleurs, pour chaque course, on additionne les boucles parcourues. Par ailleurs, Astuce : 1 998 = 2 000 − 2.

• Course n°1 (1 grande) : 1 998 m.
• Course n°2 (1 petite + 1 grande) : 875 + 1 998 = 2 873 m.
• De plus, Course n°3 (2 petites + 1 grande) : 2 × 875 + 1 998 = 1 750 + 1 998 = 3 748 m.
• Course n°4 (1 petite + 2 grandes) : 875 + 2 × 1 998 = 875 + 3 996 = 4 871 m.
• Enfin, Course n°5 (1 petite) : 875 m.
• Course n°6 (1 petite + 3 grandes) : 875 + 3 × 1 998 = 875 + 5 994 = 6 869 m.

Par ailleurs, L’énoncé de cet exercice est le tableau des résultats de Freesper à une compétition d’athlétisme (saut en longueur, lancer de medecine-ball et 1 000 m marche) reproduit ci-dessous.

a. Attention au sens du classement :

• au saut et au medecine-ball, la plus grande distance est 1^re ;
• Ainsi, au 1 000 m marche, le temps le plus petit est 1^er. 6′48″9 se lit 6 min 48,9 s.

Saut : Tristan 3,76 (1) ; Freesper 3,59 (2) ; Naïm 3,52 (3) ; Kaelig 3,37 (4) ; Matteo 3,05 (5) ; Angelo 3,00 (6) ; Alexis 2,99 (7) ; Jules 2,96 (8).

Enfin, Medecine-ball : Naïm 7,75 (1) ; Kaelig 7,70 (2) ; Freesper 7,53 (3) ; Matteo 7,32 (4) ; Alexis 7,09 (5) ; Jules 6,98 (6) ; Angelo 6,96 (7) ; Tristan 6,93 (8).

Exercice 17 : Course départementale (suite)

Marche : Jules 6′38″4 (1) ; Alexis 6′43″3 (2) ; Kaelig 6′46″7 (3) ; Naïm 6′48″9 (4) ; Angelo 6′51″4 (5) ; Freesper 7′05″4 (6) ; Tristan 7′29″5 (7) ; Matteo 7′31″4 (8).

b. Enfin, on additionne les trois places de chaque participant :

Naïm : 3 + 1 + 4 = 8 ; Matteo : 5 + 4 + 8 = 17 ; Alexis : 7 + 5 + 2 = 14 ; Freesper : 2 + 3 + 6 = 11 ; Angelo : 6 + 7 + 5 = 18 ; Tristan : 1 + 8 + 7 = 16 ; Jules : 8 + 6 + 1 = 15 ; Kaelig : 4 + 2 + 3 = 9.

c. Le meilleur total est le plus petit. Classement général : Naïm (8), Kaelig (9), Freesper (11), Alexis (14), Jules (15), Tristan (16), Matteo (17), Angelo (18).

Le potager est un rectangle de \(12\ \text{m}\) sur \(7{,}5\ \text{m}\).

1. Périmètre :
   \[ 2 \times (12 + 7{,}5) = 2 \times 19{,}5 = 39 \]Le périmètre est de 39 m.
2. Prix du grillage :
   \[ 39 \times 4{,}50 = 175{,}50 \]Le grillage coûte 175,50 €.
3. Aire :
   \[ 12 \times 7{,}5 = 90 \]L’aire du potager est de 90 \(\text{m}^2\).

1. Eau utilisée par jour :
   \[ 8 \times 7{,}5 = 60 \]Il utilise 60 L par jour.
2. Nombre de jours :
   \[ 420 \div 60 = 7 \]Vérification : \(7 \times 60 = 420\). La cuve permet d’arroser pendant 7 jours.
3. Trois semaines font \(3 \times 7 = 21\) jours :
   \[ 21 \times 60 = 1\,260 \]Il utilise 1 260 L en trois semaines.

1. On lit sur le diagramme : juin \(12\ \text{kg}\) ; juillet \(30\ \text{kg}\) ; août \(45\ \text{kg}\) ; septembre \(28\ \text{kg}\).
2. La barre la plus haute est celle d’août. Écart avec juin :
   \[ 45 – 12 = 33 \]Il a récolté 33 kg de plus qu’en juin.
3. Masse totale :
   \[ 12 + 30 + 45 + 28 = 115 \]Prix de vente :
   \[ 115 \times 2{,}80 = 322 \]Il reçoit 322 €.