Corrigé des 29 exercices sur les fractions décimales en CM2 : solutions détaillées à télécharger en PDF

Également, une bande de 10 cases représente 1 unité : une case vaut \( \frac{1}{10} \). Ensuite, De plus, un carré de 100 cases représente 1 unité : une case vaut \( \frac{1}{100} \) et une colonne de 10 cases vaut \( \frac{1}{10} \).

• a. Par ailleurs, 7 cases sur 10 : \( \frac{7}{10} \).
• b. Par ailleurs, 4 lignes complètes et 8 cases : \( \frac{48}{100} = \frac{4}{10}+\frac{8}{100} \).
• De même, c. une bande entière et 9 cases : \( \frac{19}{10} = 1+\frac{9}{10} \).
• d. Donc, 9 lignes complètes et 3 cases : \( \frac{93}{100} = \frac{9}{10}+\frac{3}{100} \).
• Ensuite, e. un carré entier et 2 colonnes : \( \frac{120}{100} = \frac{12}{10} = 1+\frac{2}{10} \).
• Également, f. deux carrés entiers, 7 colonnes et 4 cases : \( \frac{274}{100} = 2+\frac{74}{100} = 2+\frac{7}{10}+\frac{4}{100} \).

• Par conséquent, a. \( \frac{3}{10} \) : 3 cases de la bande.
• De plus, b. \( \frac{77}{100} = \frac{7}{10}+\frac{7}{100} \) : 7 colonnes et 7 cases.
• Ainsi, c. \( \frac{27}{10} = 2+\frac{7}{10} \) : 2 bandes entières et 7 cases de la troisième.
• Ainsi, d. \( \frac{9}{10} = \frac{90}{100} \) : 9 colonnes de 10 cases.
• Donc, e. \( \frac{143}{100} = 1+\frac{43}{100} = 1+\frac{4}{10}+\frac{3}{100} \) : un carré entier, 4 colonnes et 3 cases.
• De même, f. \( 2+\frac{6}{10}+\frac{9}{100} = 2+\frac{69}{100} = \frac{269}{100} \) : deux carrés, 6 colonnes et 9 cases.

• Ainsi, a. \( \frac{3}{10} \) : trois dixièmes
• Ainsi, b. \( \frac{58}{100} \) : cinquante-huit centièmes
• Ensuite, c. \( \frac{19}{1\,000} \) : dix-neuf millièmes
• Par conséquent, d. \( \frac{602}{100} \) : six-cent-deux centièmes
• Donc, e. \( \frac{44}{10} \) : quarante-quatre dixièmes

On lit le numérateur, puis le dénominateur : 10 donne « dixièmes », 100 « centièmes », 1 000 « millièmes ».

• a. De plus, Cinquante-sept centièmes : \( \frac{57}{100} \)
• b. Par conséquent, Cent-vingt-trois millièmes : \( \frac{123}{1\,000} \)
• c. De même, Deux-cent-trois centièmes : \( \frac{203}{100} \)
• d. Par ailleurs, Deux-mille millièmes : \( \frac{2\,000}{1\,000} \) (c’est égal à 2)
• e. De plus, Cent-trois dixièmes : \( \frac{103}{10} \)

Donc, on convertit tout dans la plus petite unité présente (1 = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes ; 1 dixième = 10 centièmes = 100 millièmes).

\[ \begin{aligned} \text{a. } \frac{7}{10}+\frac{5}{100} &= \frac{70}{100}+\frac{5}{100} = \frac{75}{100} \\ \text{b. } 7+\frac{3}{10}+\frac{4}{100} &= \frac{700}{100}+\frac{30}{100}+\frac{4}{100} = \frac{734}{100} \\ \text{c. } \frac{5}{10}+\frac{3}{100}+\frac{8}{1\,000} &= \frac{500}{1\,000}+\frac{30}{1\,000}+\frac{8}{1\,000} = \frac{538}{1\,000} \\ \text{d. } 9+\frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1\,000} &= \frac{9\,000+100+20+3}{1\,000} = \frac{9\,123}{1\,000} \end{aligned} \]

Donc, Comme dans le modèle, on sépare les unités, les dixièmes, les centièmes et les millièmes en lisant les chiffres du numérateur.

• Ensuite, a. \( \frac{321}{100} = 3+\frac{2}{10}+\frac{1}{100} \)
• Ensuite, b. \( \frac{74}{100} = \frac{7}{10}+\frac{4}{100} \) (0 unité)
• Par ailleurs, c. \( \frac{6\,253}{1\,000} = 6+\frac{2}{10}+\frac{5}{100}+\frac{3}{1\,000} \)
• De plus, d. \( \frac{839}{1\,000} = \frac{8}{10}+\frac{3}{100}+\frac{9}{1\,000} \)

• Donc, a. \( 2 = \frac{20}{10} \) (1 unité = 10 dixièmes)
• Ensuite, b. \( 6 = \frac{600}{100} \)
• Donc, c. \( \frac{7}{10} = \frac{70}{100} \)
• Ainsi, d. \( \frac{8}{10} = \frac{800}{1\,000} \)
• Par ailleurs, e. \( \frac{29}{10} = \frac{290}{100} \)
• Ensuite, f. \( \frac{43}{100} = \frac{430}{1\,000} \)

Quand on multiplie le dénominateur par 10, on multiplie aussi le numérateur par 10.

a. Donc, Zone violette : \( \frac{1}{10} \) par fléchette. Ensuite, il faut 10 dixièmes pour faire 1 : 10 fléchettes.

b. Ainsi, Zone verte : \( \frac{1}{1\,000} \) par fléchette. Par ailleurs, il faut 1 000 millièmes pour faire 1 : 1 000 fléchettes.

Donc, c. \( \frac{18}{10} = 1+\frac{8}{10} \). Puis la zone 10 est trop forte. Ensuite, pour lancer le moins de fléchettes possible, on utilise la plus grande valeur possible : 1 fléchette dans la zone 1 et 8 fléchettes dans la zone violette, soit 9 fléchettes.

Ensuite, le dernier chiffre du numérateur se place dans la colonne donnée par le dénominateur (dixièmes pour 10, centièmes pour 100, millièmes pour 1 000).

Par conséquent, Expressions égales à 7,34.

• \( \frac{734}{100} = 7{,}34 \) : oui.
• \( 7+\frac{34}{10} = 7+3{,}4 = 10{,}4 \) : non.
• \( 7+\frac{34}{100} = 7{,}34 \) : oui.
• \( \frac{734}{1\,000} = 0{,}734 \) : non.
• \( 7+\frac{3}{10}+\frac{4}{100} = 7{,}34 \) : oui.
• \( 73+\frac{4}{100} = 73{,}04 \) : non.

Par conséquent, Trois décompositions.

De plus, a. \[ 42{,}56 = \frac{4\,256}{100} = 42+\frac{56}{100} = 40+2+\frac{5}{10}+\frac{6}{100} \]

Ensuite, b. \[ 4{,}038 = \frac{4\,038}{1\,000} = 4+\frac{38}{1\,000} = 4+\frac{3}{100}+\frac{8}{1\,000} \]

De même, le dénominateur indique la valeur du dernier chiffre : sur 10, le dernier chiffre est celui des dixièmes (1 chiffre après la virgule) ; sur 100, celui des centièmes (2 chiffres après la virgule) ; sur 1 000, celui des millièmes (3 chiffres après la virgule).

• Donc, a. \( \dfrac{2}{10} = 0{,}2 \) (2 dixièmes)
• De même, b. \( \dfrac{7}{100} = 0{,}07 \) (7 centièmes : il faut un 0 au rang des dixièmes)
• De plus, c. \( \dfrac{3}{1\,000} = 0{,}003 \) (3 millièmes)
• De même, d. \( \dfrac{74}{10} = 7{,}4 \) (74 dixièmes = 7 unités et 4 dixièmes)
• De même, e. \( \dfrac{247}{100} = 2{,}47 \)
• De plus, f. \( \dfrac{428}{10} = 42{,}8 \)
• Par conséquent, g. \( \dfrac{6\,791}{1\,000} = 6{,}791 \)
• Ainsi, h. \( \dfrac{102}{100} = 1{,}02 \)

Également, de même, on fait le chemin inverse : on compte les chiffres après la virgule. De plus, 1 chiffre → dénominateur 10, 2 chiffres → 100, 3 chiffres → 1 000. Également, Au numérateur, on écrit le nombre sans la virgule (sans les zéros inutiles devant).

• Également, a. \( 0{,}3 = \dfrac{3}{10} \)
• Également, b. \( 0{,}72 = \dfrac{72}{100} \)
• De plus, c. \( 1{,}8 = \dfrac{18}{10} \)
• Par ailleurs, d. \( 4{,}205 = \dfrac{4\,205}{1\,000} \)
• De même, e. \( 16{,}04 = \dfrac{1\,604}{100} \)
• De même, f. \( 0{,}123 = \dfrac{123}{1\,000} \)
• De même, g. \( 45{,}22 = \dfrac{4\,522}{100} \)
• De même, h. \( 1{,}278 = \dfrac{1\,278}{1\,000} \)

De plus, Sur le modèle : \( 2{,}54 = 2 + \dfrac{54}{100} = 2 + \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{100} \). Puis la partie entière reste à part ; la partie décimale s’écrit en une seule fraction, puis chiffre par chiffre.

De plus, Attention à la ligne a. : 12,307 a 0 centième, on peut écrire \( 12 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{0}{100} + \dfrac{7}{1\,000} \) ou simplement omettre le terme nul. De même en e., il n’y a pas de dixièmes : 7,082 (le 0 est au rang des dixièmes).

De plus, on utilise les égalités 1 dixième = 10 centièmes et 1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes.

a.

\[ \frac{3}{10} + \frac{4}{100} = \frac{30}{100} + \frac{4}{100} = \frac{34}{100} = 0{,}34 \]

b. De plus, 214 centièmes = 21 dixièmes et 4 centièmes = 2 unités, 1 dixième et 4 centièmes.

\[ \frac{214}{100} = \frac{21}{10} + \frac{4}{100} = 2 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} = 2{,}14 \]

c.

\[ 27{,}53 = \frac{2\,753}{100} = 27 + \frac{53}{100} = 27 + \frac{5}{10} + \frac{3}{100} \]

d. Également, 3 dixièmes et 6 centièmes font 36 centièmes ; 8 unités font 800 centièmes.

\[ 8 + \frac{3}{10} + \frac{6}{100} = 8 + \frac{36}{100} = \frac{836}{100} = 8{,}36 \]

On écrit chaque case sous forme de nombre décimal, puis on regroupe les cases égales :

• \( 2{,}5 \) et \( 2 + \dfrac{5}{10} = 2{,}5 \) : même couleur (jaune) ;
• \( \dfrac{25}{100} = 0{,}25 \), \( \dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{100} = 0{,}25 \) et \( 0{,}25 \) : même couleur (bleu) ;
• \( 0{,}47 \), \( \dfrac{4}{10} + \dfrac{7}{100} = 0{,}47 \) et \( \dfrac{47}{100} = 0{,}47 \) : même couleur (vert).

De plus, il reste deux cases seules : \( \dfrac{5}{100} = 0{,}05 \) et \( 4{,}7 \), qui ne sont égales à aucune autre (attention : 4,7 n’est pas égal à 0,47, ni 0,05 à 0,5).

Dans 9 543,186, les chiffres à gauche de la virgule sont ceux de la partie entière (9 543) et se placent en partant des unités ; les chiffres à droite se placent en partant des dixièmes.

• a. Par conséquent, 9 est le chiffre des milliers.
• b. Donc, 1 est le chiffre des dixièmes.
• c. Par conséquent, 8 est le chiffre des centièmes.
• d. De plus, 3 est le chiffre des unités.
• e. Ensuite, 6 est le chiffre des millièmes.
• f. Donc, 4 est le chiffre des dizaines.

On repère la place du 7 par rapport à la virgule : juste avant la virgule, ce sont les unités ; juste après, les dixièmes.

1. Donc, Supprimer les zéros inutiles. Également, un zéro est inutile s’il est tout à gauche de la partie entière ou tout à droite de la partie décimale. Également, De plus, un zéro placé entre deux chiffres est utile.

• a. Par conséquent, 00,54 → 0,54 (on garde un 0 devant la virgule)
• b. Donc, 350,13 → 350,13 : aucun zéro inutile (le 0 de 350 est le chiffre des unités)
• c. Par ailleurs, 32,6501 → 32,6501 : aucun zéro inutile (le 0 est entre 5 et 1)
• d. Également, 0450,450 → 450,45

2. De plus, Compléter avec = ou ≠. Donc, on compare après avoir supprimé les zéros inutiles.

• a. Par conséquent, 15,76 = 15,760 (le 0 final est inutile)
• b. 4,34 ≠ 4,034 (4 centièmes d’un côté, 3 centièmes de l’autre)
• c. Par conséquent, 18,679 = 018,679 (le 0 de gauche est inutile)
• d. Ainsi, 5,008 ≠ 5,8 (8 millièmes et 8 dixièmes)
• e. Par conséquent, 007,009 ≠ 7,9 (007,009 = 7,009)

De même, on additionne en rangeant chaque terme dans sa colonne : 0,8 donne 8 dixièmes, 0,03 donne 3 centièmes, 0,009 donne 9 millièmes, etc.

• Également, a. \( 60 + 7 + 0{,}8 + 0{,}03 = 67{,}83 \)
• Par ailleurs, b. \( 1\,000 + 50 + 4 + 0{,}4 + 0{,}07 + 0{,}009 = 1\,054{,}479 \)
• Également, c. \( 7\,000 + 200 + 10 + 4 + 0{,}05 + 0{,}001 = 7\,214{,}051 \) (pas de dixièmes : on écrit 0 au rang des dixièmes)
• Par conséquent, d. \( 5\,000 + 400 + 6 + 0{,}8 + 0{,}007 = 5\,406{,}807 \) (0 dizaine et 0 centième)

Par ailleurs, Comme dans l’exemple, on écrit chaque chiffre multiplié par la valeur de son rang (100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001). Ensuite, on n’écrit pas les chiffres 0.

• Donc, a. \( 462{,}179 = (4 \times 100) + (6 \times 10) + (2 \times 1) + (1 \times 0{,}1) + (7 \times 0{,}01) + (9 \times 0{,}001) \)
• Donc, b. \( 48{,}57 = (4 \times 10) + (8 \times 1) + (5 \times 0{,}1) + (7 \times 0{,}01) \)
• Donc, c. \( 0{,}689 = (6 \times 0{,}1) + (8 \times 0{,}01) + (9 \times 0{,}001) \)
• Également, d. \( 300{,}507 = (3 \times 100) + (5 \times 0{,}1) + (7 \times 0{,}001) \)
• Ensuite, e. \( 0{,}508 = (5 \times 0{,}1) + (8 \times 0{,}001) \)

Également, on place chaque chiffre à son rang : le chiffre multiplié par 10 est celui des dizaines, par 1 celui des unités, par 0,1 celui des dixièmes, par 0,01 celui des centièmes, par 0,001 celui des millièmes. Par ailleurs, un rang absent reçoit un 0.

• Ainsi, a. \( (8 \times 10) + (7 \times 1) + (7 \times 0{,}1) + (8 \times 0{,}01) = 87{,}78 \)
• Ainsi, b. \( (5 \times 10) + (6 \times 1) + (4 \times 0{,}1) + (9 \times 0{,}01) = 56{,}49 \)
• Ainsi, c. \( (9 \times 0{,}1) + (5 \times 0{,}01) + (4 \times 0{,}001) = 0{,}954 \)
• De même, d. \( (6 \times 1) + (8 \times 0{,}01) + (3 \times 0{,}001) = 6{,}083 \) (0 dixième)
• Ensuite, e. \( (7 \times 100) + (9 \times 0{,}1) + (5 \times 0{,}001) = 700{,}905 \) (0 dizaine, 0 unité, 0 centième)

Le nombre de dixièmes se lit en prenant tous les chiffres jusqu’au rang des dixièmes (sans la virgule) ; de même pour les centièmes et les millièmes. Exemple : 1,357 = 13 dixièmes + 5 centièmes + 7 millièmes, donc 1,357 contient 13 dixièmes entiers ; il contient 135 centièmes et 1 357 millièmes. Par conséquent, Quand il manque des chiffres, on complète par des zéros : 5,19 = 5,190.

On trouve d’abord l’écart entre deux cases voisines, puis on le répète.

• a. On ajoute 0,1 : 5,8 + 0,1 = 5,9 ; puis 6 ; puis 6,1.
• b. Également, on enlève 0,01 : 13,01 ; 13 ; 12,99.
• c. Donc, on ajoute 0,001 : 0,999 ; 1 ; 1,001 (1 000 millièmes font 1 unité).
• d. De plus, on ajoute 0,5 : 9,5 ; 10 ; 10,5 ; 11.
• e. On enlève 0,3 : 11,4 − 0,3 = 11,1 ; puis 10,8 ; puis 10,5.

Sur chaque droite, on cherche d’abord la valeur d’une graduation : on compte le nombre d’intervalles entre les deux nombres écrits.

• a. Ensuite, De 0 à 1, il y a 10 intervalles : une graduation vaut 0,1. Également, A(0,1) ; B(1,1) ; C(0,9) ; D(0,6).
• b. De même, De 9 à 10, il y a 10 intervalles : une graduation vaut 0,1. De plus, E(8,9) ; F(9,5) ; G(10,1) ; H(9,1).
• c. De plus, De 22 à 23, il y a 2 intervalles : une graduation vaut 0,5. De même, J(24,5) ; K(26,5) ; L(21).
• d. Par conséquent, De 7,3 à 7,4, il y a 10 intervalles : une graduation vaut 0,01. Par conséquent, M(7,39) ; N(7,29) ; P(7,33) ; Q(7,43).

Sur chaque demi-droite, il y a 10 intervalles entre les deux nombres écrits : une graduation vaut 0,1 (droites a et b), 0,01 (droites c et d) ou 0,001 (droite e).

• a. A(0,7) : 7 graduations après 0 ; B(1,2) : 2 après 1 ; C(2,1) : 11 après 1.
• b. D(9,3) : 3 graduations après 9 ; E(10,1) : 1 après 10 ; F(8,8) : 2 graduations avant 9.
• c. G(3,85) : 5 graduations après 3,8, au milieu entre 3,8 et 3,9 ; H(3,77) : 3 graduations avant 3,8 ; J(3,91) : 1 après 3,9.
• d. K(9,97) : 7 graduations après 9,9 ; L(9,89) : 1 avant 9,9 ; M(10,02) : 2 après 10.
• e. N(0,001) : 1 graduation après 0 ; Q(0,009) : 9 graduations après 0, juste avant 0,01 ; P(0,013) : 3 graduations après 0,01.

Pour comparer, on écrit les deux nombres avec le même dénominateur (ou en écriture décimale).

• a. \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{40}{100} \), donc \( \dfrac{45}{100} \gt \dfrac{4}{10} \).
• b. \( \dfrac{3}{100} = \dfrac{30}{1\,000} \), donc \( \dfrac{29}{1\,000} \lt \dfrac{3}{100} \).
• c. \( \dfrac{219}{100} = 2{,}19 \) et \( \dfrac{219}{10} = 21{,}9 \), donc \( \dfrac{219}{100} \lt \dfrac{219}{10} \).
• d. \( \dfrac{7}{10} + \dfrac{4}{100} = 0{,}74 \) et \( \dfrac{4}{10} + \dfrac{7}{100} = 0{,}47 \), donc le premier est le plus grand : \( \gt \).
• e. \( 12 + \dfrac{9}{100} = 12{,}09 \) et \( \dfrac{129}{100} = 1{,}29 \), donc \( \gt \).
• f. \( \dfrac{4\,205}{1\,000} = 4{,}205 \) et \( 4 + \dfrac{3}{10} = 4{,}3 = 4{,}300 \), donc \( \lt \).
• g. \( 5 + \dfrac{37}{1\,000} = 5{,}037 \) et \( 5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{1\,000} = 5{,}307 \), donc \( \lt \).

On compare d’abord les parties entières ; si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes (on peut ajouter des zéros inutiles pour avoir autant de chiffres après la virgule).

Première série

• a. 15,2 > 12,5 (15 > 12)
• b. 15,2 < 15,5 (2 dixièmes < 5 dixièmes)
• c. 15,2 > 15,15 (15,20 > 15,15)
• d. 15,2 < 15,205 (15,200 < 15,205)
• e. 6,34 < 6,43 (3 dixièmes < 4 dixièmes)
• f. 6,34 > 6,3 (6,34 > 6,30)
• g. 6,34 > 6,304 (6,340 > 6,304)
• h. 6,34 < 6,4 (3 dixièmes < 4 dixièmes)

Deuxième série

• a. 19,2 > 19,02 (19,20 > 19,02)
• b. 10,03 > 10,024 (10,030 > 10,024)
• c. 5,16 < 6,2 (5 < 6)
• d. 1,324 < 1,342 (2 centièmes < 4 centièmes)
• e. 1,237 < 1,34 (2 dixièmes < 3 dixièmes)
• f. 1,45 > 1,405 (1,450 > 1,405)

On range d’abord selon la partie entière, puis, à partie entière égale, selon les dixièmes, les centièmes… Ordre croissant : du plus petit au plus grand ; ordre décroissant : du plus grand au plus petit.

De même, ordre croissant

• a. 5,07 < 5,47 < 5,49 < 5,8 < 5,9 < 5,94
• b. 7,04 < 7,204 < 7,21 < 7,241 < 7,4 < 7,421
• c. 8,219 < 8,28 < 80,27 < 82,147 < 82,19 < 82,7

Ordre décroissant

• a. 30,3 > 3,33 > 3,3 > 3,03 > 0,33 > 0,3
• b. 3,92 > 3,902 > 3,29 > 3,209 > 3,029
• c. 12,817 > 12,718 > 12,71 > 12,701 > 12,7 > 12,17

Astuce : écris tous les nombres d’une liste avec le même nombre de chiffres après la virgule (7,040 ; 7,204 ; 7,210 ; 7,241 ; 7,400 ; 7,421), la comparaison devient évidente.

On compare chaque nombre à 5,32 en l’écrivant avec autant de chiffres après la virgule : 5,32 = 5,320 = 5,3200. Puis les pièges : 5,3199 < 5,32 (5,3199 < 5,3200) mais 5,321 > 5,32 et 5,3206 > 5,32 ; 5,3002 < 5,32 et 5,302 < 5,32.

• En orange (supérieurs à 5,32) : 5,33 ; 5,329 ; 5,325 ; 5,3206 ; 5,321 ; 5,4 ; 5,42 ; 5,47 ; 5,6 ; 6,3 (10 zones).
• En bleu (inférieurs à 5,32) : 5,3002 ; 5,1 ; 5,03 ; 5,302 ; 5,132 ; 5,301 ; 4,32 ; 5,28 (deux fois) ; 5,23 ; 5,07 ; 2,35 ; 5,032 ; 4,7 ; 5,2 ; 5,02 ; 5,203 ; 5,319 ; 5,3199 ; 5,199 ; 5,3 ; 5,31 ; 4,39 ; 5,22 (24 zones).