Corrigé des 20 exercices sur les figures et les constructions en CM2 à télécharger en PDF

Un polygone se nomme d’après son nombre de côtés (qui est aussi son nombre de sommets). Par ailleurs, on compte donc les sommets de chaque figure, même quand la figure est « creusée » (non convexe).

• Fig. Enfin, A : 5 sommets ; Fig. B : 10 sommets ; Fig. C : 6 sommets ; Fig. D : 4 sommets ;
• Fig. E : 5 sommets ; Fig. F : 6 sommets ; Fig. G : 7 sommets ; Fig. H : 9 sommets ;
• Fig. Ainsi, I : 4 sommets ; Fig. J : 8 sommets ; Fig. K : 8 sommets.

Donc, on compte les sommets de chaque polygone tracé sur le quadrillage.

• a. 5 sommets : c’est un pentagone (non convexe, il a un « creux »).
• b. Également, 6 sommets : c’est un hexagone (en forme de nœud papillon, avec deux creux).
• c. 4 sommets : c’est un quadrilatère quelconque (aucun côté parallèle, pas d’angle droit).
• d. Ensuite, 8 sommets : c’est un octogone.

a. Également, une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs (qui ne sont pas les extrémités d’un même côté). Puis on part de chaque sommet et on le relie à tous les sommets qui ne sont pas ses voisins.

b. Méthode de comptage : de chaque sommet partent autant de diagonales que de sommets moins 3 (on enlève le sommet lui-même et ses deux voisins). Chaque diagonale est comptée deux fois (une fois par extrémité), donc on divise par 2.

• Quadrilatère : \( 4 \times 1 = 4 \), puis \( 4 \div 2 = 2 \) diagonales.
• Pentagone : \( 5 \times 2 = 10 \), puis \( 10 \div 2 = 5 \) diagonales.
• Hexagone : \( 6 \times 3 = 18 \), puis \( 18 \div 2 = 9 \) diagonales.
• Heptagone : \( 7 \times 4 = 28 \), puis \( 28 \div 2 = 14 \) diagonales.

Également, la figure est construite autour de la diagonale [MS] = 9 cm. Ensuite, les petits traits sur [MS] la partagent en 6 parts égales : chaque part mesure \( 9 \div 6 = 1{,}5 \text{ cm} \). Par ailleurs, Chaque autre sommet est au bout d’une perpendiculaire à (MS) tracée à l’une de ces graduations.

1. Tracer le segment [MS] de 9 cm et placer les graduations à 1,5 cm ; 3 cm ; 4,5 cm ; 6 cm et 7,5 cm de M.
2. Également, Au-dessus de [MS], avec l’équerre : à 1,5 cm de M, perpendiculaire de 3,3 cm → point N ; à 4,5 cm, perpendiculaire de 5,2 cm → point P ; à 7,5 cm, perpendiculaire de 4,3 cm → point R.
3. Enfin, en dessous de [MS] : à 3 cm de M, perpendiculaire de 4,5 cm → point U ; à 6 cm, perpendiculaire de 3,6 cm → point T.
4. Relier dans l’ordre M, N, P, R, S, T, U puis revenir en M. Ainsi, on obtient un polygone à 7 côtés.

Exercice 4 : Reproduire l heptagone (corrigé figures CM2) (suite)

Aussi, pour chaque quadrilatère, on vérifie à l’équerre les angles droits et à la règle (ou au compas) les longueurs des côtés :

• 4 angles droits et 4 côtés égaux : carré → Fig. 2 et Fig. Ensuite, 4 (le carré de la Fig. 4 est simplement penché).
• 4 angles droits, côtés opposés égaux mais longueur ≠ largeur : rectangle → Fig. 3 et Fig. 5.
• 4 côtés égaux sans angle droit : losange → Fig. 6.
• Côtés opposés parallèles et de même longueur, sans angle droit : parallélogramme → Fig. 1 et Fig. 9.
• Enfin, Aucune de ces propriétés : quadrilatère quelconque → Fig. 7 (deux côtés parallèles seulement) et Fig. 8.

On repère d’abord les quadrilatères (4 côtés) : les 5 petits triangles des bords ne sont pas concernés. Puis on contrôle angles droits et longueurs :

• a. Carrés (bleu) : le grand carré penché en haut à gauche et le carré en bas à droite (même largeur et même hauteur) : 2 carrés.
• b. Aussi, Rectangles (rouge) : le rectangle penché en haut au centre, le petit rectangle en haut à droite et le long rectangle en bas à gauche : 3 rectangles.
• c. Donc, Losanges (vert) : les deux quadrilatères à 4 côtés égaux sans angle droit, à droite du centre : 2 losanges.
• d. Parallélogrammes (jaune) : le grand quadrilatère central et celui du bas, entre le rectangle et le carré : 2 parallélogrammes.
• e. Aussi, Quadrilatères quelconques (orange) : celui de gauche sous le carré, celui entre le petit rectangle et le losange de droite, et celui en forme de pointe (non convexe) sous ce losange : 3 quadrilatères.

De plus, une consigne doit donner le nom de la figure, l’ordre des sommets et toutes les mesures utiles lues grâce au codage.

• a. De plus, les 4 côtés portent le même codage : c’est un losange. Consigne : « Trace un losange HVXW de côté 6 cm dont la diagonale [HX] mesure 9,5 cm. » (On trace [HX], puis deux arcs de rayon 6 cm centrés en H et en X qui se coupent en V et en W.)
• b. Également, 4 angles droits et 4 côtés codés égaux : « Trace un carré RATP de côté 3,4 cm. »
• c. 4 angles droits, côtés de 5,8 cm et 4,3 cm : « Trace un rectangle NCFS de longueur SN = 5,8 cm et de largeur SF = 4,3 cm. »

a. Ensuite, on trace les diagonales [WY] et [XZ]. Puis, en faisant glisser l’équerre le long de la règle, on trace la parallèle à (WY) passant par X, la parallèle à (WY) passant par Z, la parallèle à (XZ) passant par W et la parallèle à (XZ) passant par Y.

b. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et de même longueur. Puis les nouvelles droites leur sont parallèles, donc elles se coupent à angle droit : le quadrilatère a 4 angles droits. De plus, chacun de ses côtés est aussi long qu’une diagonale du carré, donc ses 4 côtés sont égaux. Ensuite, C’est un carré, plus grand que WXYZ, qui a chaque sommet du carré WXYZ au milieu d’un de ses côtés.

• De plus, Étape 1 : Trace un rectangle ABCD de longueur AB = 12 cm et de largeur AD = 5 cm.
• Étape 2 : Trace le cercle de centre B et de rayon 3 cm.
• Enfin, Étape 3 : Trace en pointillés la diagonale [AC] du rectangle.
• Étape 4 : Place le point E sur [AC] tel que AE = 5 cm et repasse [AE] en trait plein. Trace le segment [EF] parallèle à [AD] et de même longueur (5 cm), vers le bas, puis trace le segment [DF] : AEFD est un parallélogramme.

Enfin, Sur la figure, E est à environ 4,6 cm du côté [AD] : c’est bien le point de [AC] situé à 5 cm de A.

Ensuite, on observe la figure carreau par carreau. De plus, elle est faite de bandes vertes obliques qui suivent les diagonales du quadrillage. Chaque bande :

• Enfin, part d’un nœud du quadrillage, avance de 3 carreaux en diagonale et a une largeur d’un carreau (ses bouts sont coupés par un côté horizontal et un côté vertical d’un carreau) ;
• Ainsi, rejoint d’autres bandes en des points situés tous les 3 carreaux ; quatre bandes forment une croix en X (comme au carreau (3 ; 3) et au carreau (6 ; 6)), et entre les bandes apparaissent des trous en forme de carré penché.

Enfin, pour continuer, on prolonge le même réseau : on ajoute des bandes identiques partout où l’on peut relier deux points de croisement voisins (3 carreaux plus loin en diagonale).

On observe la frise :

• les cercles ont tous le même rayon et le centre de chaque cercle est sur le cercle précédent (le centre du deuxième cercle est le point le plus à droite du premier) : les centres sont alignés et espacés d’un rayon ;
• chaque losange a pour sommets deux centres voisins et les deux points d’intersection des cercles correspondants. Ses quatre côtés mesurent un rayon : il est formé de deux triangles équilatéraux.

Pour reproduire (par exemple avec un rayon de 3 cm) :

1. Trace une droite horizontale et places-y un point O₁. Trace le cercle de centre O₁ de rayon 3 cm ; il coupe la droite en O₀ (à gauche) et O₂ (à droite).
2. Trace le cercle de centre O₂ de même rayon. Garde l’écartement du compas : il sert pour toute la frise.
3. Avec le compas piqué en O₀ puis en O₁, marque les points du haut et du bas où tombent les arcs : relie-les à O₀ et O₁ pour obtenir le premier losange. Fais de même entre O₁ et O₂ (les sommets du haut et du bas sont les intersections des deux cercles).

Exercice 11 : Instruments de géométrie et construction (corrigé (suite)

Pour continuer : le troisième cercle a pour centre O₃, point le plus à droite du deuxième cercle ; le troisième losange a pour sommets O₂, O₃ et les intersections des cercles 2 et 3 (c’est lui qui est commencé en pointillés). Ensuite, on répète autant de fois que nécessaire.

Tous les sommets de la figure sont sur des nœuds du quadrillage. Par ailleurs, on prend comme repère le centre O de la figure (le point où se touchent les deux carrés jaunes du milieu) et on repère chaque sommet en comptant les carreaux : « tant de carreaux à droite ou à gauche, tant de carreaux vers le haut ou vers le bas ».

Pour doubler les longueurs, on double chacun de ces nombres de carreaux : un sommet situé à 2 carreaux à droite et 5 carreaux vers le haut de O se place, sur la nouvelle figure, à 4 carreaux à droite et 10 carreaux vers le haut.

Exercice 12 : Construire cette figure à la règle et au compas (suite)

(Le premier nombre compte les carreaux vers la droite, le second vers le haut ; « −1 » veut dire 1 carreau vers le bas.) La figure est symétrique : les trois autres quarts se construisent de la même façon, par symétrie par rapport à la ligne verticale et à la ligne horizontale passant par O.

On trace d’abord le contour (16 sommets), puis les six carrés, puis on relie les sommets restants pour faire apparaître les losanges et l’étoile, et enfin on colorie comme le modèle. Puis la figure obtenue a exactement la même forme : seules les longueurs sont deux fois plus grandes (24 carreaux de haut au lieu de 12).

En mesurant le modèle, on voit que le grand rectangle est deux fois plus long que large : avec une longueur de 16 cm, sa largeur est de 8 cm. Ensuite, chaque figure se construit à partir des milieux des côtés de la précédente.

1. Trace le rectangle de 16 cm sur 8 cm.
2. Place les milieux de ses quatre côtés (à 8 cm et à 4 cm des coins) et relie-les : c’est le premier losange.
3. Trace le rectangle dont les sommets sont les milieux des côtés de ce losange : il mesure 8 cm sur 4 cm et il a le même centre.
4. Recommence : losange joignant les milieux des côtés de ce rectangle, puis rectangle de 4 cm sur 2 cm, puis losange à l’intérieur.
5. Au centre, trace le petit carré posé sur la pointe : ses sommets du haut et du bas sont les milieux des grands côtés du rectangle de 4 cm sur 2 cm, et ses deux autres sommets sont à 1 cm à gauche et à droite du centre (ses diagonales mesurent 2 cm).
6. Colorie en vert les coins de chaque rectangle (entre le rectangle et son losange) et le petit carré central.

Exercice 13 : Tracer cette figure à partir d un rectangle (suite)

On suit le programme dans l’ordre, sur une feuille blanche.

1. On place O et on trace les quatre cercles concentriques de centre O et de rayons 6 cm, 4,5 cm, 3 cm et 1,5 cm (chaque rayon a 1,5 cm de moins que le précédent).
2. Dans le grand cercle, on trace deux diamètres perpendiculaires à l’équerre : [A₁C₁] (vertical) et [B₁D₁] (horizontal). Chacun mesure 12 cm.
3. On trace le carré A₁B₁C₁D₁ ; ses diagonales sont les deux diamètres. Sur ces diagonales, on nomme les points où elles coupent les autres cercles : A₂, A₃, A₄ au-dessus de O (à 4,5 cm, 3 cm et 1,5 cm), B₂, B₃, B₄ à droite, C₂, C₃, C₄ en dessous et D₂, D₃, D₄ à gauche.
4. On trace les quatre lignes brisées : A₁B₂C₃D₄O, puis B₁C₂D₃A₄O, puis C₁D₂A₃B₄O, et enfin D₁A₂B₃C₄O. À chaque segment, on tourne d’un quart de tour et on descend d’un cercle : chaque ligne s’enroule vers O.
5. On colorie une bande sur deux entre ces lignes brisées, comme sur le modèle : on obtient une spirale.

Exercice 14 : Construire cette figure pas à pas (suite)

Pour vérifier : chaque ligne brisée passe par un point de chaque cercle, et les quatre lignes arrivent toutes en O.

1. Le polygone A a 5 côtés : c’est un pentagone. Le polygone B a 6 côtés : c’est un hexagone.
2. Un polygone à 8 côtés est un octogone.
3. 9 côtés : nonagone ; 10 côtés : décagone.
4. Un polygone a autant de sommets que de côtés. Un heptagone a 7 côtés, donc 7 sommets.

1. Le sommet A est relié à B et F par des côtés. Ses diagonales sont [AC], [AD] et [AE].
2. De chaque sommet partent 3 diagonales (6 sommets moins le sommet lui-même et ses 2 voisins).
3. On compte \(6 \times 3 = 18\), mais chaque diagonale est comptée deux fois (une par extrémité). Donc \[18 \div 2 = 9.\] L’hexagone a 9 diagonales : AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF et DF.

1. Le pentagone a 5 côtés de \(4{,}5\ \text{cm}\) : \[5 \times 4{,}5 = 22{,}5.\] Le périmètre est \(22{,}5\ \text{cm}\).
2. L’octogone a 8 côtés de \(3\ \text{cm}\) : \[8 \times 3 = 24.\] Le périmètre est \(24\ \text{cm}\).
3. L’hexagone a 6 côtés égaux : \[21 \div 6 = 3{,}5.\] Un côté mesure \(3{,}5\ \text{cm}\). Vérification : \(6 \times 3{,}5 = 21\).

1. Figure 1 : les quatre côtés sont égaux, mais les angles ne sont pas droits : c’est un losange. Figure 2 : quatre angles droits, côtés opposés égaux : c’est un rectangle. Figure 3 : côtés opposés parallèles et de même longueur, sans angle droit : c’est un parallélogramme.
2. Quatre côtés égaux et quatre angles droits : c’est un carré.
3. Quatre angles droits et des côtés de longueurs différentes : c’est un rectangle.

1. On trace [AB] de \(6\ \text{cm}\), puis la perpendiculaire à (AB) en B avec l’équerre : on place C à \(3{,}5\ \text{cm}\) de B. On fait de même en A pour placer D, avec \(AD = 3{,}5\ \text{cm}\). On relie C et D.
2. On trace les diagonales [AC] et [BD] à la règle ; elles se coupent en O.
3. Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu. On trouve donc \[OA = OB = OC = OD.\] Chaque diagonale mesure environ \(6{,}9\ \text{cm}\), donc chaque segment mesure environ \(3{,}5\ \text{cm}\).

1. Il a 6 côtés et 6 sommets : c’est un hexagone (non régulier).
2. On additionne les longueurs des côtés : \[AB + BC + CD + DE + EF + FA = 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 14.\] Le périmètre est \(14\ \text{cm}\).
3. On partage la figure en un rectangle de 4 sur 2 carreaux et un rectangle de 2 sur 1 carreaux : \[4 \times 2 + 2 \times 1 = 8 + 2 = 10.\] L’aire est \(10\ \text{cm}^2\).