Figures et constructions en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Un polygone se nomme d’après son nombre de côtés (qui est aussi son nombre de sommets). On compte donc les sommets de chaque figure, même quand la figure est « creusée » (non convexe).

• Fig. A : 5 sommets ; Fig. B : 10 sommets ; Fig. C : 6 sommets ; Fig. D : 4 sommets ;
• Fig. E : 5 sommets ; Fig. F : 6 sommets ; Fig. G : 7 sommets ; Fig. H : 9 sommets ;
• Fig. I : 4 sommets ; Fig. J : 8 sommets ; Fig. K : 8 sommets.

On compte les sommets de chaque polygone tracé sur le quadrillage.

• a. 5 sommets : c’est un pentagone (non convexe, il a un « creux »).
• b. 6 sommets : c’est un hexagone (en forme de nœud papillon, avec deux creux).
• c. 4 sommets : c’est un quadrilatère quelconque (aucun côté parallèle, pas d’angle droit).
• d. 8 sommets : c’est un octogone.

a. Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs (qui ne sont pas les extrémités d’un même côté). On part de chaque sommet et on le relie à tous les sommets qui ne sont pas ses voisins.

b. Méthode de comptage : de chaque sommet partent autant de diagonales que de sommets moins 3 (on enlève le sommet lui-même et ses deux voisins). Chaque diagonale est comptée deux fois (une fois par extrémité), donc on divise par 2.

• Quadrilatère : \( 4 \times 1 = 4 \), puis \( 4 \div 2 = 2 \) diagonales.
• Pentagone : \( 5 \times 2 = 10 \), puis \( 10 \div 2 = 5 \) diagonales.
• Hexagone : \( 6 \times 3 = 18 \), puis \( 18 \div 2 = 9 \) diagonales.
• Heptagone : \( 7 \times 4 = 28 \), puis \( 28 \div 2 = 14 \) diagonales.

La figure est construite autour de la diagonale [MS] = 9 cm. Les petits traits sur [MS] la partagent en 6 parts égales : chaque part mesure \( 9 \div 6 = 1{,}5 \text{ cm} \). Chaque autre sommet est au bout d’une perpendiculaire à (MS) tracée à l’une de ces graduations.

1. Tracer le segment [MS] de 9 cm et placer les graduations à 1,5 cm ; 3 cm ; 4,5 cm ; 6 cm et 7,5 cm de M.
2. Au-dessus de [MS], avec l’équerre : à 1,5 cm de M, perpendiculaire de 3,3 cm → point N ; à 4,5 cm, perpendiculaire de 5,2 cm → point P ; à 7,5 cm, perpendiculaire de 4,3 cm → point R.
3. En dessous de [MS] : à 3 cm de M, perpendiculaire de 4,5 cm → point U ; à 6 cm, perpendiculaire de 3,6 cm → point T.
4. Relier dans l’ordre M, N, P, R, S, T, U puis revenir en M. On obtient un polygone à 7 côtés.

Pour chaque quadrilatère, on vérifie à l’équerre les angles droits et à la règle (ou au compas) les longueurs des côtés :

• 4 angles droits et 4 côtés égaux : carré → Fig. 2 et Fig. 4 (le carré de la Fig. 4 est simplement penché).
• 4 angles droits, côtés opposés égaux mais longueur ≠ largeur : rectangle → Fig. 3 et Fig. 5.
• 4 côtés égaux sans angle droit : losange → Fig. 6.
• Côtés opposés parallèles et de même longueur, sans angle droit : parallélogramme → Fig. 1 et Fig. 9.
• Aucune de ces propriétés : quadrilatère quelconque → Fig. 7 (deux côtés parallèles seulement) et Fig. 8.

On repère d’abord les quadrilatères (4 côtés) : les 5 petits triangles des bords ne sont pas concernés. Puis on contrôle angles droits et longueurs :

• a. Carrés (bleu) : le grand carré penché en haut à gauche et le carré en bas à droite (même largeur et même hauteur) : 2 carrés.
• b. Rectangles (rouge) : le rectangle penché en haut au centre, le petit rectangle en haut à droite et le long rectangle en bas à gauche : 3 rectangles.
• c. Losanges (vert) : les deux quadrilatères à 4 côtés égaux sans angle droit, à droite du centre : 2 losanges.
• d. Parallélogrammes (jaune) : le grand quadrilatère central et celui du bas, entre le rectangle et le carré : 2 parallélogrammes.
• e. Quadrilatères quelconques (orange) : celui de gauche sous le carré, celui entre le petit rectangle et le losange de droite, et celui en forme de pointe (non convexe) sous ce losange : 3 quadrilatères.

Une consigne doit donner le nom de la figure, l’ordre des sommets et toutes les mesures utiles lues grâce au codage.

• a. Les 4 côtés portent le même codage : c’est un losange. Consigne : « Trace un losange HVXW de côté 6 cm dont la diagonale [HX] mesure 9,5 cm. » (On trace [HX], puis deux arcs de rayon 6 cm centrés en H et en X qui se coupent en V et en W.)
• b. 4 angles droits et 4 côtés codés égaux : « Trace un carré RATP de côté 3,4 cm. »
• c. 4 angles droits, côtés de 5,8 cm et 4,3 cm : « Trace un rectangle NCFS de longueur SN = 5,8 cm et de largeur SF = 4,3 cm. »

a. On trace les diagonales [WY] et [XZ]. Puis, en faisant glisser l’équerre le long de la règle, on trace la parallèle à (WY) passant par X, la parallèle à (WY) passant par Z, la parallèle à (XZ) passant par W et la parallèle à (XZ) passant par Y.

b. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et de même longueur. Les nouvelles droites leur sont parallèles, donc elles se coupent à angle droit : le quadrilatère a 4 angles droits. De plus, chacun de ses côtés est aussi long qu’une diagonale du carré, donc ses 4 côtés sont égaux. C’est un carré, plus grand que WXYZ, qui a chaque sommet du carré WXYZ au milieu d’un de ses côtés.

• Étape 1 : Trace un rectangle ABCD de longueur AB = 12 cm et de largeur AD = 5 cm.
• Étape 2 : Trace le cercle de centre B et de rayon 3 cm.
• Étape 3 : Trace en pointillés la diagonale [AC] du rectangle.
• Étape 4 : Place le point E sur [AC] tel que AE = 5 cm et repasse [AE] en trait plein. Trace le segment [EF] parallèle à [AD] et de même longueur (5 cm), vers le bas, puis trace le segment [DF] : AEFD est un parallélogramme.

Sur la figure, E est à environ 4,6 cm du côté [AD] : c’est bien le point de [AC] situé à 5 cm de A.

On observe la figure carreau par carreau. Elle est faite de bandes vertes obliques qui suivent les diagonales du quadrillage. Chaque bande :

• part d’un nœud du quadrillage, avance de 3 carreaux en diagonale et a une largeur d’un carreau (ses bouts sont coupés par un côté horizontal et un côté vertical d’un carreau) ;
• rejoint d’autres bandes en des points situés tous les 3 carreaux ; quatre bandes forment une croix en X (comme au carreau (3 ; 3) et au carreau (6 ; 6)), et entre les bandes apparaissent des trous en forme de carré penché.

Pour continuer, on prolonge le même réseau : on ajoute des bandes identiques partout où l’on peut relier deux points de croisement voisins (3 carreaux plus loin en diagonale).