Corrigé des 20 exercices sur les droites parallèles et perpendiculaires en CM2 à télécharger en PDF

Également, Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit. Puis on vérifie avec l’équerre, en prolongeant les traits si besoin : une droite est illimitée, même si on n’en dessine qu’un morceau.

• a. L’angle est proche d’un angle droit, mais l’équerre montre qu’il ne l’est pas (environ 80°) : non.
• b. et d. et g. Également, les droites se coupent à angle droit : oui.
• c. Les deux traits forment un angle aigu : non.
• e. et f. Les traits ne se touchent pas, mais une fois prolongés ils forment un angle droit : oui.
• h. Ainsi, les deux droites ont la même direction, elles sont parallèles : non.

Aussi, on place l’équerre sur chaque point d’intersection de la figure. De plus, on trouve deux angles droits :

• en D : (AD) et (DB) sont perpendiculaires ;
• Ensuite, en C : (AC) et (BC) sont perpendiculaires.

La droite (DE) n’est perpendiculaire à aucune autre droite de la figure.

Également, la figure est un carré découpé comme un tangram : ses diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires en G, et les segments tracés sont parallèles aux côtés ou aux diagonales.

• a. (AB) et (IJ) sont toutes deux horizontales : elles sont parallèles, non.
• b. Enfin, (HG) est portée par la diagonale (BD) et (GJ) par la diagonale (AC) : oui.
• c. (BE) est le côté vertical [BC], (IJ) est horizontale : en prolongeant (IJ), on obtient un angle droit, oui.
• d. Enfin, (DF) est horizontale, (BG) est la diagonale : non.
• e. (JE) est parallèle à (BD), (AG) est portée par (AC) : oui.
• f. (AB) est horizontale, (HE) est parallèle à (AC) : non.

De plus, on utilise le quadrillage (ou les points) :

• a. (d) est horizontale : (d₁) est la droite verticale passant par A.
• b. (d) est verticale : (d₁) est la droite horizontale passant par A.
• c. Aussi, (d) monte d’un carreau quand on avance d’un carreau : (d₁) passe par A en descendant d’un carreau quand on avance d’un carreau (elle suit l’autre diagonale des carreaux).
• d. Enfin, (d) descend d’un carreau pour un carreau : (d₁) passe par A en montant d’un carreau pour un carreau.

Pour chaque point, on place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d), on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par le point, puis on trace. Ensuite, les points B et F sont sur (d) : la perpendiculaire passe par ce point de (d).

On remarque que les huit droites obtenues sont toutes parallèles entre elles : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Aussi, on lit la direction de chaque droite sur le quadrillage : (d₁) monte d’un carreau par carreau, (d₂) et (d₅) descendent d’un carreau par carreau, (d₄) et (d₆) descendent d’un carreau tous les 6 carreaux, (d₃) est verticale.

Ensuite, (d₃) n’est ni perpendiculaire ni parallèle aux autres droites : (d₄) et (d₆) ne sont pas horizontales.

Donc, (d₁), en vert, passe par B et suit la direction « perpendiculaire » du quadrillage ; (d₂), en rouge, passe par A et garde la même direction que (d).

• a. Enfin, (d) horizontale : (d₁) verticale par B, (d₂) horizontale par A.
• b. (d) monte d’un carreau par carreau : (d₁) descend d’un carreau par carreau depuis B, (d₂) monte d’un carreau par carreau depuis A.
• c. Ainsi, (d) descend d’un carreau par carreau (B est sur (d)) : (d₁) monte d’un carreau par carreau depuis B, (d₂) descend d’un carreau par carreau depuis A.

1. Parallèle à [RO] passant par C : on place l’équerre le long de (RO), on pose la règle contre l’autre côté, puis on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à C et on trace (en rouge).
2. Donc, Perpendiculaire à [RO] passant par R : on place l’angle droit de l’équerre en R, un côté le long de (RO), et on trace (en bleu).
3. Les deux droites se coupent en K, qu’on marque d’une croix.

Remarque : la droite rouge est parallèle à (RO) et la bleue lui est perpendiculaire, donc elles sont perpendiculaires entre elles : il y a un angle droit en K. Par ailleurs, le quadrilatère ROCK a deux angles droits (en R et en K).

Également, Même méthode que dans l’exercice précédent, avec le segment [NU] :

1. on trace la parallèle à (NU) passant par F (en rouge) ;
2. on trace la perpendiculaire à (NU) passant par N (en bleu) ;
3. Également, les deux droites se coupent en K, en bas à droite de la figure.

La frise est formée de carrés posés sur la pointe, qui se touchent par un sommet, et de segments qui relient le sommet gauche d’un carré au sommet haut du suivant (comme [AE]) et le sommet bas d’un carré au sommet droit du suivant (comme [DF]). Puis on la prolonge avec l’équerre et la règle :

Dans un carré, les côtés consécutifs sont perpendiculaires et les côtés opposés sont parallèles. Ensuite, les points B, C, G sont alignés, ainsi que D, C, E.

• a. Parallèle à (AD) passant par C : (CG) (c’est aussi la droite (BG), car [BC] est parallèle à [AD]).
• b. Parallèle à (AE) passant par D : (DF).
• c. Perpendiculaire à (CE) passant par D : (AD) (D, C et E sont alignés et l’angle en D du carré est droit).
• d. Perpendiculaire à (AB) passant par E : (EF), car (EF) est parallèle à (BC), elle-même perpendiculaire à (AB).

1. Trouver l’agrandissement. On mesure le modèle et le grand rectangle : le grand rectangle est deux fois plus long et deux fois plus large. Toutes les longueurs de la figure seront donc doublées ; les angles droits restent des angles droits.

2. Observer la figure. Elle est construite à partir de quelques traits simples :

• les deux médianes du rectangle : le segment qui joint les milieux des deux longueurs et celui qui joint les milieux des deux largeurs ; ils se coupent au centre ;
• les deux diagonales, qui passent aussi par le centre ;
• dans chaque quart de rectangle, un segment partant du milieu d’une largeur et perpendiculaire à la diagonale (ce sont les quatre angles droits codés) ;
• un segment horizontal qui part du pied de cette perpendiculaire et va jusqu’à la médiane verticale.

Exercice 11 : Reproduire cette figure (corrigé perpendiculaires CM2) (suite)

3. Programme de construction dans le grand rectangle.

1. Avec la règle graduée, place le milieu de chaque côté et trace les deux médianes.
2. Trace les deux diagonales.
3. Avec l’équerre, trace depuis le milieu de la largeur de gauche la perpendiculaire à chacune des deux demi-diagonales de gauche, puis fais de même à droite (en rouge sur la figure). Marque les angles droits.
4. Par chaque pied de perpendiculaire, trace un segment parallèle aux longueurs du rectangle jusqu’à la médiane verticale (en bleu). Vérifie avec l’équerre qu’il est bien perpendiculaire à la médiane.
5. Colorie les zones comme sur le modèle : la figure a un centre de symétrie (le centre du rectangle), et chaque zone verte du quart en haut à gauche se retrouve verte dans le quart en bas à droite.

a. Observations avec les instruments.

• Avec la règle : les points B, A et D sont alignés, et BA = AD : A est le milieu de [BD].
• Avec le compas : AB = AC = CE = AD (toutes ces longueurs sont égales).
• Avec l’équerre : l’angle \( \widehat{BAC} \) est droit, donc aussi \( \widehat{CAD} \) ; l’angle \( \widehat{ACE} \) est droit ; l’angle \( \widehat{EFD} \) est droit.
• Les droites (CE) et (AD) sont parallèles (elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AC)).
• Si l’on joint E et D, on obtient un quadrilatère ACED qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits : c’est un carré.
• Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A ; le triangle EFD est rectangle et isocèle en F (EF = FD).

b. Agrandissement avec AB = 8 cm. Comme AB = AC = CE = AD, toutes ces longueurs mesurent 8 cm. Programme de construction :

Exercice 12 : Utiliser des instruments de géométrie (suite)

1. Trace un segment [BD] de 16 cm et place son milieu A (BA = AD = 8 cm).
2. Trace la perpendiculaire à (BD) en A et places-y C avec AC = 8 cm.
3. Trace la perpendiculaire à (AC) en C, du même côté que D, et places-y E avec CE = 8 cm. Vérifie que ED = 8 cm : ACED est un carré.
4. Trace [BC] (environ 11,3 cm).
5. Pour F : trace la perpendiculaire à [ED] en son milieu, vers l’extérieur du carré, et place F à 4 cm de ce milieu (la moitié de ED). Trace [EF] et [FD] : ils mesurent environ 5,7 cm et l’angle en F est droit.

a. On trace un triangle MNP quelconque (par exemple avec des côtés de 5 cm, 6 cm et 7 cm).

b. Pour tracer la parallèle à (MN) passant par P : on place un côté de l’équerre le long de (MN), la règle contre l’autre côté, puis on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à P, et on trace (en rouge).

c. Même méthode pour la parallèle à (NP) passant par M (en bleu).

d. Même méthode pour la parallèle à (PM) passant par N (en vert).

Les trois droites se coupent deux à deux en trois points, que l’on nomme R, S et T.

e. On obtient un second triangle RST qui est deux fois plus grand que MNP : chacun de ses côtés mesure le double du côté de MNP qui lui est parallèle (par exemple RS = 2 × MN). Puis on peut le vérifier à la règle : M, N et P sont les milieux des côtés de RST. De plus, le grand triangle est formé de quatre triangles identiques au triangle MNP : son aire est 4 fois celle de MNP.

Pour reproduire une figure, on ne la recopie pas « à l’œil » : on cherche d’abord les angles droits, les parallèles, les alignements et les longueurs égales, puis on reporte chaque longueur avec la règle graduée ou le compas.

Figure 1.

1. Commence par le segment horizontal du bas (qui part du point noir) et trace le segment vertical qui monte jusqu’à B : l’équerre montre qu’il est perpendiculaire au segment du bas.
2. En B, trace [BA] perpendiculaire à la verticale (angle droit codé) ; C est sur la verticale, entre B et le bas.
3. Trace [AC], puis le segment qui part d’un point de [AC] vers la pointe en bas à gauche, et le segment de A à cette pointe ; colorie le petit triangle de la pointe.
4. À droite, trace le segment qui part de B et descend jusqu’au segment horizontal, puis la partie droite : le côté vertical de droite est parallèle à la verticale de B, et les autres segments se reportent en mesurant.

Exercice 14 : Reproduire chaque figure (suite)

Chaque longueur se mesure sur le modèle et se reporte sur ta feuille ; vérifie à la fin les angles droits avec l’équerre.

Figure 2. En mesurant, on découvre une structure simple :

• AB = AF = FH = BH, avec des angles droits : A, B, H et F forment un carré (le côté [FH] et le côté [AF] ne sont pas tracés) ;
• [AH] est une diagonale de ce carré et E est son centre : [FE] est perpendiculaire à [AH] ;
• FG est égal au côté du carré, GD vaut une fois et demie ce côté, et [CD] est la diagonale d’un carré dont le côté vaut la moitié de celui du grand carré.

On reproduit donc la figure 2 en mesurant d’abord AB sur le modèle ; par exemple, si AB = 4 cm :

Exercice 14 : Reproduire chaque figure (suite)

1. Trace le carré ABHF de 4 cm au crayon léger et sa diagonale [AH] ; E est le milieu de [AH].
2. Prolonge [AF] jusqu’à G avec FG = 4 cm, puis trace [GD] = 6 cm perpendiculaire à (AG).
3. Prolonge [BH] jusqu’à C avec HC = 2 cm, puis trace [CD].
4. Repasse les traits de la figure (AB, BC, CD, DG, GF, FE et AH jusqu’à [BC]) et efface le carré de construction.

On suit les lignes du quadrillage : un déplacement de 1 carreau en largeur et 1 carreau en hauteur donne une diagonale.

1. \((d_1)\) et \((d_3)\) sont toutes les deux horizontales : elles ne se coupent jamais, elles sont parallèles.
2. \((d_2)\) est verticale et \((d_3)\) est horizontale : elles forment un angle droit, elles sont perpendiculaires.
3. \((d_4)\) descend de 1 carreau quand elle avance de 1 carreau, et \((d_5)\) monte de 1 carreau quand elle avance de 1 carreau : ces deux diagonales forment un angle droit, elles sont perpendiculaires.
4. \((d_1)\) est horizontale et \((d_5)\) est en diagonale : elles se coupent sans angle droit, elles sont sécantes non perpendiculaires.

Réponses : a. parallèles ; b. perpendiculaires ; c. perpendiculaires ; d. sécantes non perpendiculaires.

On utilise l’équerre pour repérer les angles droits : les rues horizontales et verticales du plan se croisent à angle droit.

1. Les rues des Tilleuls et du Moulin sont toutes deux horizontales : la rue parallèle à la rue des Tilleuls est la rue du Moulin.
2. Les rues des Écoles et de la Gare sont verticales : la rue parallèle à la rue de la Gare est la rue des Écoles.
3. La rue des Écoles est verticale, elle forme un angle droit avec les deux rues horizontales : la rue des Tilleuls et la rue du Moulin.
4. Non : en posant l’équerre, l’angle entre l’avenue du Parc et la rue des Écoles est plus petit qu’un angle droit. Elles ne sont pas perpendiculaires.

Les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires à \((AB)\) : elles sont donc parallèles entre elles. La droite \((CD)\) est parallèle à \((AB)\). Le quadrilatère \(ABDC\) a donc ses côtés opposés parallèles et ses quatre angles droits : c’est un rectangle, de longueur \(6\ \text{cm}\) et de largeur \(4\ \text{cm}\).

Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur : \(CD = 6\ \text{cm}\) et \(BD = 4\ \text{cm}\).

\[ 6 + 4 + 6 + 4 = 20 \]

\(ABDC\) est un rectangle de périmètre \(20\ \text{cm}\).

Pour aller de \(E\) à \(F\), on avance de \(4\) carreaux et on descend de \(2\) carreaux : c’est deux fois « 2 carreaux à droite et 1 carreau vers le bas ».

• La parallèle \((d)\) garde la même direction : à partir de \(G\), on avance de 2 carreaux et on descend de 1 carreau (ou on recule de 2 et on monte de 1).
• La perpendiculaire \((d^{\prime})\) à \((EF)\) est obtenue en échangeant les déplacements : à partir de \(E\), on avance de 1 carreau et on monte de 2 carreaux.

Depuis \(G(6\,;4)\), on recule de 4 carreaux et on monte de 2 : on arrive en \((2\,;6)\). Depuis \(E(1\,;4)\), on avance de 1 et on monte de 2 : on arrive aussi en \((2\,;6)\).

\(K(2\,;6)\).

\((d)\) est parallèle à \((EF)\) et \((d^{\prime})\) est perpendiculaire à \((EF)\) : les droites \((d)\) et \((d^{\prime})\) sont perpendiculaires.

Les faces d’un pavé droit sont des rectangles : leurs côtés opposés sont parallèles et leurs côtés consécutifs sont perpendiculaires.

1. Les arêtes parallèles à \([AB]\) sont \([DC]\), \([EF]\) et \([HG]\).
2. Les arêtes parallèles à \([AE]\) sont \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\).
3. Les arêtes qui partent de \(B\) sont \([BA]\), \([BC]\) et \([BF]\). Les arêtes perpendiculaires à \([AB]\) passant par \(B\) sont \([BC]\) et \([BF]\).
4. Non : \([EF]\) est parallèle à \([AB]\), et \([BC]\) est perpendiculaire à \([AB]\) (la face \(ABCD\) est un rectangle). \([EF]\) et \([BC]\) sont donc perpendiculaires, pas parallèles, même si le dessin ne montre pas l’angle droit.

On utilise deux règles : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles ; une droite perpendiculaire à l’une de deux droites parallèles est aussi perpendiculaire à l’autre.

1. \((d_3)\) et \((d_4)\) sont toutes les deux perpendiculaires à \((d_1)\) : elles sont parallèles.
2. \((d_3)\) est perpendiculaire à \((d_1)\) et \((d_1)\) est parallèle à \((d_2)\) : \((d_3)\) est perpendiculaire à \((d_2)\).
3. Le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles et ses quatre angles droits : c’est un rectangle de \(5\ \text{cm}\) sur \(3\ \text{cm}\).

\[ \mathcal{A} = 5 \times 3 = 15 \]

Son aire est de \(15\ \text{cm}^2\).