La symétrie axiale en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 20 à télécharger en PDF

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si, en pliant le long de la droite, elles se superposent exactement. On vérifie aussi que chaque sommet et son image sont à la même distance de la droite.

• a. non : la figure blanche a la même orientation que la verte (sa pointe est aussi à gauche) : elle a été glissée, pas retournée.
• b. oui : le trapèze blanc est le reflet exact du vert par rapport à la droite oblique (chaque sommet est à la même distance de la droite, de l’autre côté).
• c. oui : la figure blanche est bien retournée comme dans un miroir ; les sommets sont à la même distance de la droite.
• d. non : le trapèze blanc est simplement déplacé ; le symétrique d’un trapèze « couché » par rapport à une droite penchée à 45° serait « debout », comme au b.
• e. oui : en pliant le long de la droite horizontale, les deux créneaux se superposent.
• f. non : la partie blanche penche du même côté que la verte ; le vrai symétrique pencherait dans l’autre sens.

Un axe de symétrie d’une figure partage la figure en deux moitiés qui se superposent par pliage.

• a. Le disque percé d’un rectangle centré a 2 axes : la droite horizontale et la droite verticale passant par le centre.
• b. Le carré a 4 axes : les deux médianes (horizontale et verticale) et les deux diagonales.
• c. Aucun axe : aucun pliage ne superpose les deux moitiés (la figure se superpose seulement à elle-même après un demi-tour, mais ce n’est pas une symétrie axiale).
• d. 1 axe : la droite horizontale qui passe par les deux pointes. Il n’y a pas d’axe vertical, car la « queue » n’existe qu’à gauche.
• e. 3 axes : chacun passe par le point central et par la grande diagonale d’un des trois losanges.
• f. 1 axe : la droite oblique qui passe par la pointe en haut à gauche et le coin en bas à droite ; les deux grandes pointes sont échangées par le pliage.

On compare le chat de droite au chat de gauche carreau par carreau, en comptant les carreaux depuis l’axe : un point à 3 carreaux à gauche de l’axe doit avoir son image à 3 carreaux à droite, à la même hauteur. Les six erreurs sont :

1. l’oreille extérieure (en haut à gauche du chat de droite) : sa pointe est du mauvais côté ;
2. un œil est un losange au lieu d’un carré ;
3. le bout de la queue est coupé dans le mauvais sens ;
4. une marche du dos, près de la queue, est décalée d’un carreau vers le bas ;
5. sur le poitrail, un trait oblique remplace la marche en escalier ;
6. la patte avant : le petit creux en forme de marche a disparu.

Méthode du calque :

1. Poser le calque sur la feuille et décalquer la vache et la droite bleue.
2. Retourner le calque en le faisant pivoter autour de la droite (comme une page qu’on tourne vers le bas), puis faire coïncider exactement la droite du calque avec la droite bleue.
3. Repasser fortement les traits pour les imprimer sur la feuille (ou piquer quelques points repères et les relier).

La droite est horizontale et sous la vache : le symétrique est une vache à l’envers (sabots contre la droite, tête en bas), comme son reflet dans l’eau. Les sabots, à peu près posés sur la droite, restent tout près d’elle ; les cornes, les plus éloignées, se retrouvent le plus bas.

Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon : il suffit donc de construire le symétrique de chaque centre.

1. Pour chaque centre, tracer la perpendiculaire à la droite bleue passant par ce centre (ce sont les pointillés déjà dessinés).
2. Reporter au compas, de l’autre côté de la droite, la distance entre le centre et la droite : on obtient le centre image.
3. Tracer le cercle image avec le même rayon (prendre l’écartement du compas sur le cercle vert).

Les trois cercles verts touchent la droite bleue : leurs symétriques touchent la droite au même point. Le grand cercle se retrouve dans la partie en bas à droite du carré, le petit du haut près du coin droit, le petit du bas près du bord inférieur.

Le contour de la figure est déjà symétrique. Il reste à reproduire, à droite de l’axe, les trois triangles verts (et le trait qui relie la pointe gauche au milieu de l’axe) :

• chaque sommet situé sur l’axe reste à sa place (le sommet du haut, le point du milieu et le sommet du bas) ;
• chaque autre sommet est reporté de l’autre côté, à la même distance de l’axe, sur la perpendiculaire à l’axe (horizontale ici), donc à la même hauteur.

On obtient à droite un triangle long en haut, un triangle couché qui part de la pointe droite, et un grand triangle en bas.

L’axe est oblique, mais la méthode est la même :

1. Décalquer la demi-aile du papillon et la droite bleue.
2. Retourner le calque autour de la droite et superposer la droite du calque à la droite bleue.
3. Repasser les contours, les nervures et les taches pour obtenir l’autre moitié.

Pour vérifier quelques points (bout de l’aile avant, bas de l’aile arrière), on trace la perpendiculaire à la droite passant par le point avec l’équerre et on reporte la même distance de l’autre côté. Le papillon complet a ses deux ailes identiques mais retournées, le corps restant sur l’axe.

On imagine un miroir ou un pli : la lettre doit se superposer à elle-même.

• A : un axe vertical.
• E : un axe horizontal.
• H : deux axes (vertical et horizontal).
• M : un axe vertical.
• O : deux axes (vertical et horizontal).

F, L et Z n’ont aucun axe de symétrie.

Les lettres cherchées sont A, E, H, M et O.

a. Le symétrique d’un point est à la même distance de l’axe, sur la même ligne du quadrillage, de l’autre côté.

• A est à 3 carreaux de l’axe : A′ est 3 carreaux à droite de l’axe.
• B est à 1 carreau : B′ est 1 carreau à droite.
• D est à 4 carreaux : D′ est 4 carreaux à droite.

b. Le point C est sur l’axe : il est à 0 carreau de l’axe, donc C′ = C.

On cherche toutes les droites le long desquelles on peut plier la figure pour que les deux moitiés se superposent.

• Carré : 4 axes (2 médianes et 2 diagonales).
• Rectangle : 2 axes (les 2 médianes ; les diagonales ne sont pas des axes).
• Triangle équilatéral : 3 axes (un par sommet).
• Losange : 2 axes (ses 2 diagonales).

Un point et son symétrique sont à la même distance de l’axe, de part et d’autre.

a. \[MM′ = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\ \text{cm}\] La distance MM′ est de 7 cm.

b. \[PP′ = 1{,}5 + 1{,}5 = 3\ \text{cm}\] La distance PP′ est de 3 cm.

c. Le segment [MM′] coupe la droite \(d\) en son milieu, à angle droit (il est perpendiculaire à \(d\)).

On construit le symétrique de chaque sommet, carreau par carreau, puis on relie les points.

• Le sommet du toit et le bas du mur sont sur l’axe : ils ne bougent pas.
• Le coin du toit est à 4 carreaux à gauche de l’axe : son symétrique est à 4 carreaux à droite.
• La fenêtre est à 2 carreaux de l’axe : sa symétrique est à 2 carreaux à droite.

La maison complète est symétrique par rapport à la droite bleue.

On place d’abord A′, B′, C′ : chacun est à la même distance de l’axe que son point d’origine, mais de l’autre côté.

• A est à 3 carreaux au-dessus de l’axe : A′ est 3 carreaux au-dessous.
• B est à 3 carreaux au-dessus : B′ est 3 carreaux au-dessous.
• C est à 1 carreau au-dessus : C′ est 1 carreau au-dessous.

On relie A′, B′ et C′. Les segments [AB] et [A′B′] mesurent tous les deux 4 carreaux : la symétrie conserve les longueurs.

1. Vrai. Les deux points sont à égale distance de l’axe.
2. Faux. Le segment est perpendiculaire à l’axe.
3. Faux. Un rectangle qui n’est pas un carré a seulement 2 axes de symétrie.
4. Vrai. La symétrie axiale conserve les angles.
5. Vrai. Il est à 0 cm de l’axe, donc son symétrique est lui-même.

On regarde si on peut plier le drapeau en deux en faisant coïncider les couleurs.

• A (bandes verticales) : 1 axe horizontal. Un axe vertical échangerait le bleu et le rouge.
• B (bandes horizontales) : 1 axe vertical. Un axe horizontal échangerait le noir et le jaune.
• C (carré à croix) : 4 axes, comme un carré.
• D (rectangle et disque centré) : 2 axes, un vertical et un horizontal.

a. L’arbre B est de l’autre côté du chemin, sur la même ligne et à 4 m du chemin.

b. \[AB = 4 + 4 = 8\ \text{m}\] La distance AB est de 8 m.

c. Le chemin est au milieu des deux lampadaires. Chacun est à \[14 \div 2 = 7\ \text{m}\] du chemin : 7 m.

a. Un rectangle a 2 axes : la droite qui passe par les milieux des deux longueurs et celle qui passe par les milieux des deux largeurs.

b. Non. Si on plie le long de [AC], le sommet B ne tombe pas sur D, car les côtés n’ont pas la même longueur.

c. Un carré a 4 axes : ses 2 médianes et ses 2 diagonales.

a. On compte les carreaux jusqu’à l’axe, puis on les reporte de l’autre côté, sur la même ligne.

b. Les coordonnées sont :

• A′\((7\,;\,2)\) car A est à 3 carreaux de l’axe ;
• B′\((6\,;\,5)\) car B est à 2 carreaux de l’axe ;
• C′\((5\,;\,1)\) car C est à 1 carreau de l’axe ;
• D′\((4\,;\,3)\) : D est sur l’axe, donc D′ = D.

c. Un point et son symétrique ont la même ordonnée, car ils sont sur la même ligne du quadrillage.

Le pli est un axe de symétrie : à chaque trou de la feuille pliée correspond un trou symétrique de l’autre côté du pli.

• Feuille A : le disque ne touche pas le pli, il a un symétrique : 2 trous.
• Feuille B : le demi-disque et son symétrique forment un seul disque centré sur le pli : 1 trou.
• Feuille C : chacun des 2 disques a un symétrique : 4 trous.

a. On reporte chaque sommet à la même distance de l’axe, de l’autre côté.

b. On additionne les longueurs des côtés en faisant le tour de la figure : \[6 + 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 = 20\ \text{cm}\] Le périmètre est de 20 cm.

c. On découpe en deux rectangles : \[(6 \times 2) + (4 \times 2) = 12 + 8 = 20\ \text{cm}^2\] L’aire est de 20 cm².