Aires et périmètres en CM2 : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Le côté d’un carreau vaut 1 u.l. On fait le tour de chaque figure en additionnant les longueurs de tous les côtés.

• Figure A : carré de 4 u.l. de côté : \( 4 \times 4 = 16 \) u.l.
• Figure B : rectangle de 11 u.l. sur 2 u.l. : \( 2 \times (11 + 2) = 26 \) u.l.
• Figure C : en partant du coin en bas à gauche et en tournant : \( 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 = 24 \) u.l.
• Figure D : \( 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 22 \) u.l. (le petit creux en bas ajoute 2 u.l.).

Un carré a 4 côtés de même longueur : \( \mathcal{P} = 4 \times c \).

a. \( \mathcal{P} = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \).

b. \( \mathcal{P} = 4 \times 4{,}6 = 18{,}4 \text{ cm} \).

Pour trouver le périmètre, on multiplie le côté par 4 ; pour retrouver le côté, on divise le périmètre par 4.

• a. \( \mathcal{P} = 4 \times 8 = 32 \text{ cm} \).
• b. \( \mathcal{P} = 4 \times 1{,}5 = 6 \text{ cm} \).
• c. \( c = 16 \div 4 = 4 \text{ mm} \).
• d. \( c = 22 \div 4 = 5{,}5 \text{ m} \).

Périmètre d’un rectangle : \( \mathcal{P} = 2 \times (L + l) \). Quand on connaît le périmètre, le demi-périmètre \( \mathcal{P} \div 2 \) vaut \( L + l \) : on en déduit la dimension manquante par une soustraction.

• a. \( \mathcal{P} = 2 \times (8 + 3) = 2 \times 11 = 22 \text{ cm} \).
• b. \( \mathcal{P} = 2 \times (10 + 4{,}5) = 2 \times 14{,}5 = 29 \text{ dm} \).
• c. \( 30 \div 2 = 15 \) hm, donc \( l = 15 – 10 = 5 \text{ hm} \).
• d. \( 6 \div 2 = 3 \) m, donc \( L = 3 – 0{,}5 = 2{,}5 \text{ m} \).

Chaque figure est faite d’arcs de cercles de rayon 1 carreau. On exprime chaque arc en fraction du cercle unité : un quart vaut \( \frac{1}{4} \) u.l., un demi-cercle \( \frac{1}{2} \) u.l., un trois-quarts \( \frac{3}{4} \) u.l.

• A (cœur) : deux trois-quarts en haut et deux quarts en bas : \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2 \) u.l.
• B : deux trois-quarts aux extrémités et deux quarts au milieu : \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2 \) u.l.
• C (trèfle à 4 feuilles) : quatre trois-quarts : \( 4 \times \frac{3}{4} = 3 \) u.l.
• D : quatre demi-cercles : \( 4 \times \frac{1}{2} = 2 \) u.l.
• E : deux trois-quarts et un demi-cercle : \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 2 \) u.l.

La fourmi parcourt la longueur du cercle (sa circonférence). Elle s’obtient en multipliant le diamètre par le nombre \( \pi \) (environ 3,14) :

\[ \text{longueur} = 5 \times \pi \approx 15{,}707\ldots \text{ cm} \]

Arrondi au centième : 15,71 cm. (Avec la valeur approchée 3,14, on trouve \( 5 \times 3{,}14 = 15{,}70 \text{ cm} \).)

a. Comme à l’exercice 5, on compte les arcs (rayon 1 carreau) :

• A : 6 demi-cercles : \( 6 \times \frac{1}{2} = 3 \) u.l.
• B : 2 trois-quarts et 4 quarts : \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + 4 \times \frac{1}{4} = 2{,}5 \) u.l.
• C : 4 trois-quarts aux coins et 4 demi-cercles creusés : \( 4 \times \frac{3}{4} + 4 \times \frac{1}{2} = 3 + 2 = 5 \) u.l.
• D : 2 trois-quarts, 3 demi-cercles et 2 quarts : \( \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 3{,}5 \) u.l.

b. 1 u.l. ≈ 3,14 cm, on multiplie donc chaque résultat par 3,14 :

\[ \begin{aligned} A &\approx 3 \times 3{,}14 = 9{,}42 \text{ cm} \\ B &\approx 2{,}5 \times 3{,}14 = 7{,}85 \text{ cm} \\ C &\approx 5 \times 3{,}14 = 15{,}7 \text{ cm} \\ D &\approx 3{,}5 \times 3{,}14 = 10{,}99 \text{ cm} \end{aligned} \]

On lit sur le quadrillage que les trois figures ont un rayon de 3 carreaux, donc un diamètre de 6 carreaux. On prend le carreau comme unité (1 carreau = 1 cm si le quadrillage est en centimètres) et \( \pi \approx 3{,}14 \).

• Fig. A (cercle entier) : \( 6 \times 3{,}14 = 18{,}84 \).
• Fig. B (demi-cercle) : la moitié, \( 18{,}84 \div 2 = 9{,}42 \).
• Fig. C (quart de cercle) : le quart, \( 18{,}84 \div 4 = 4{,}71 \).

Les figures B et C ne sont que des arcs (le diamètre et les rayons ne sont pas tracés) : leur longueur est celle de l’arc. Si l’on fermait la figure B par son diamètre, il faudrait ajouter 6 ; pour la figure C fermée par deux rayons, ajouter aussi 6.

Un carreau mesure 2 cm. Le grand demi-cercle a un diamètre de 8 carreaux, soit 16 cm ; chaque petit demi-cercle a un diamètre de 4 carreaux, soit 8 cm.

Longueur d’un demi-cercle = diamètre × 3,14 ÷ 2.

\[ \begin{aligned} \text{grand demi-cercle} &= 16 \times 3{,}14 \div 2 = 25{,}12 \text{ cm} \\ \text{deux petits} &= 2 \times (8 \times 3{,}14 \div 2) = 2 \times 12{,}56 = 25{,}12 \text{ cm} \end{aligned} \]

Les deux longueurs sont égales. C’est normal : les petits diamètres sont deux fois plus petits, mais il y a deux demi-cercles.

L’unité d’aire (u.a.) est un carreau. On compte les carreaux entiers ; un carreau coupé par sa diagonale compte pour un demi (0,5 u.a.).

• A : rectangle de 2 × 4 carreaux : 8 u.a.
• B : 2 carreaux en haut + 1 carreau au milieu + 4 carreaux en bas : \( 2 + 1 + 4 = 7 \) u.a.
• C : barre du haut 2 carreaux + un demi-carreau (le coin en biais) + pied de 3 carreaux : \( 2 + 0{,}5 + 3 = 5{,}5 \) u.a.
• D : le triangle en haut à gauche est la moitié d’un carré de 2 × 2, soit 2 u.a. ; à droite 1 carreau + un demi ; en bas 1 carreau + un demi : \( 2 + 1{,}5 + 1{,}5 = 5 \) u.a.