Corrigé du brevet de maths 2015 : Centres étrangers (groupe I)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2015 : Centres étrangers (groupe I). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Corrigé de l’exercice 1 : grille lumineuse et probabilités
Les 9 cases ont la même chance de s’allumer : on est en situation d’équiprobabilité.
1. a. Une seule case sur 9 porte le numéro 1 : \(p = \) \(\dfrac{1}{9}\).
b. Les chiffres impairs de la grille sont 1, 3, 5, 7 et 9, soit 5 cases : \(p = \) \(\dfrac{5}{9}\).
c. Une probabilité de \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}\) correspond à un évènement réalisé par 3 cases sur 9. Par exemple : « la case allumée porte un multiple de 3 » (cases 3, 6 et 9). D’autres réponses conviennent, comme « la case allumée est sur la première ligne » (cases 1, 2 et 3).
2. Les cases 1 et 7 sont dans la colonne de gauche. Il reste 7 cases éteintes, et on suppose que le bouton allume l’une d’elles au hasard. Pour que les trois cases allumées soient alignées, la troisième doit être sur la même droite que 1 et 7 : seule la case 4 convient (aucune ligne ni diagonale ne contient à la fois 1 et 7). La probabilité est donc \(\dfrac{1}{7}\).
Corrigé de l’exercice 2 : le saut de Félix Baumgartner
1. Pour comparer, on met les deux vitesses dans la même unité. Une heure dure 3 600 secondes et un kilomètre vaut 1 000 mètres, donc :
\[1\,357{,}6 \text{ km/h} = \dfrac{1\,357\,600 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} \approx 377 \text{ m/s}\]
Comme \(377 \gt 340\), il a atteint son objectif : il a dépassé le mur du son. (Dans l’autre sens : 340 m/s correspond à \(340 \times 3{,}6 = 1\,224\) km/h, qui est inférieur à 1 357,6 km/h.)
2. On isole la partie du saut effectuée avec le parachute ouvert.
Distance : \(38\,969{,}3 – 36\,529 = 2\,440{,}3\) m.
Durée : 9 min 3 s − 4 min 19 s. En secondes : \(9 \times 60 + 3 = 543\) s et \(4 \times 60 + 19 = 259\) s, donc \(543 – 259 = 284\) s.
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{2\,440{,}3}{284} \approx 8{,}59 \text{ m/s}\]
Arrondie à l’unité, sa vitesse moyenne avec parachute ouvert est de 9 m/s.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle inscrit dans un cercle
1. Construction :
- trace un segment [KM] de 6 cm et place son milieu O ;
- trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm (il passe par K et M) ;
- avec le compas ouvert à 3 cm, pique en M et coupe le cercle : tu obtiens le point L (il y a deux points possibles, un de chaque côté de [KM], choisis-en un) ;
- trace le triangle KLM.
2. Le triangle KLM est inscrit dans un cercle dont l’un de ses côtés, [KM], est un diamètre. D’après la propriété du cercle circonscrit, le triangle KLM est rectangle en L.
On calcule KL avec le théorème de Pythagore dans le triangle KLM rectangle en L :
\[KM^2 = KL^2 + LM^2 \quad \text{donc} \quad KL^2 = 6^2 – 3^2 = 36 – 9 = 27\]
\[KL = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}\]
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et la hauteur associée :
\[\mathcal{A} = \dfrac{KL \times LM}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} \times 3}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79\]
L’aire du triangle KLM vaut exactement \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) cm², soit environ 8 cm² arrondi au cm².
Corrigé de l’exercice 4 : deux programmes au tableur
1. Le nombre de départ se trouve dans la ligne 1, juste au-dessus : la formule de la colonne B utilise donc la cellule B1.
a. Programme de Mathilde (multiplier par 9, puis soustraire 8) : =9*B1-8.
b. Programme de Paul (multiplier par \(-3\), puis ajouter 31) : =-3*B1+31.
2. Pour 3, Mathilde obtient 19 et Paul 22 : le résultat de Mathilde est plus petit. Pour 4, Mathilde obtient 28 et Paul 19 : le résultat de Mathilde est devenu plus grand. Les résultats se croisent entre ces deux valeurs. Conjecture : le nombre cherché est compris entre 3 et 4.
3. On appelle \(x\) le nombre de départ. Mathilde obtient \(9x – 8\) et Paul \(-3x + 31\). On résout :
\[9x – 8 = -3x + 31\]
\[9x + 3x = 31 + 8\]
\[12x = 39 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{39}{12} = 3{,}25\]
Vérification : \(9 \times 3{,}25 – 8 = 21{,}25\) et \(-3 \times 3{,}25 + 31 = 21{,}25\). Il faut saisir 3,25 (les deux obtiennent alors 21,25), et on a bien \(3 \lt 3{,}25 \lt 4\) : la conjecture est vérifiée.
Corrigé de l’exercice 5 : degrés Celsius et Fahrenheit
1. Une situation de proportionnalité se traduit par une droite passant par l’origine. Sur la représentation 2, la droite coupe l’axe des ordonnées vers 32 et non en 0 ; sur le thermomètre, 0 °C correspond à 32 °F et non à 0 °F. Il n’y a pas proportionnalité entre les deux températures.
2. On relève deux correspondances sur le thermomètre : 0 °C ↔ 32 °F et 10 °C ↔ 50 °F, donc \(f(0) = 32\) et \(f(10) = 50\).
- Proposition 3 : \(f(0) = 2 \times 0 + 30 = 30\), différent de 32 : elle est fausse.
- Proposition 1 : \(f(10) = 10 + 32 = 42\), différent de 50 : elle est fausse.
- Proposition 2 : \(f(0) = 32\) et \(f(10) = 1{,}8 \times 10 + 32 = 50\) : elle convient.
Une fonction affine est entièrement déterminée par deux points de sa droite ; seule la proposition 2 passe par (0 ; 32) et (10 ; 50), l’affirmation est donc justifiée.
3. On remplace \(x\) par chaque valeur :
\[f(10) = 1{,}8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50\]
\[f(-40) = 1{,}8 \times (-40) + 32 = -72 + 32 = -40\]
Donc \(f(10) = 50\) et \(f(-40) = -40\).
4. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = x\) :
\[1{,}8x + 32 = x\]
\[0{,}8x = -32 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{-32}{0{,}8} = -40\]
Oui : \(-40\) °C correspond exactement à \(-40\) °F, ce qu’annonçait déjà le calcul \(f(-40) = -40\) de la question 3. C’est la seule valeur possible, car l’équation n’a qu’une solution.
Corrigé de l’exercice 6 : volume et masse d’une gélule
1. La longueur totale de la gélule est la hauteur du cylindre plus un rayon de chaque demi-sphère, soit un diamètre en tout :
\[L = 16{,}6 + 4{,}75 + 4{,}75 = 16{,}6 + 9{,}5 = 26{,}1 \text{ mm}\]
D’après le tableau, une longueur de 26,1 mm correspond au calibre 000.
2. Les deux demi-sphères identiques forment ensemble une sphère entière de rayon \(R = 9{,}5 \div 2 = 4{,}75\) mm. Le volume de la gélule est donc la somme du volume du cylindre et de celui de cette sphère :
\[V_{\text{cylindre}} = \pi \times 4{,}75^2 \times 16{,}6 \approx 1\,176{,}6 \text{ mm}^3\]
\[V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4{,}75^3 \approx 448{,}9 \text{ mm}^3\]
\[V \approx 1\,176{,}6 + 448{,}9 \approx 1\,625{,}6 \text{ mm}^3\]
Arrondi au mm³, le volume de la gélule est d’environ 1 626 mm³. (Fais le calcul en une seule fois à la calculatrice pour éviter les erreurs d’arrondi : \(\pi \times 4{,}75^2 \times 16{,}6 + \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4{,}75^3 \approx 1\,625{,}56\).)
3. La boîte contient \(3 \times 6 = 18\) gélules. La masse d’une gélule est son volume multiplié par la masse volumique :
\[m_{\text{gélule}} \approx 1\,625{,}56 \times 6{,}15 \times 10^{-4} \approx 1{,}0 \text{ g}\]
\[m_{\text{totale}} \approx 18 \times 1\,625{,}56 \times 6{,}15 \times 10^{-4} \approx 17{,}995 \text{ g}\]
Arrondie à l’unité, Robert a absorbé environ 18 g d’antibiotique.
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