Corrigé du bac de maths 2023 : France, septembre, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, France, septembre, jour 1) 4 points

QCM : primitive d'une fonction de la forme \(u' \text{e}^u\), suites géométriques, algorithme de seuil en Python

1. Trouver une primitive de \(f(x) = x\,\text{e}^{x^2-3}\).

Ensuite, on reconnaît presque la forme \(u'\,\text{e}^u\) avec \(u(x) = x^2 - 3\), dont la dérivée est \(u'(x) = 2x\). Comme \(f(x) = \dfrac12 \times 2x\,\text{e}^{x^2-3} = \dfrac12 u'(x)\,\text{e}^{u(x)}\), une primitive est \(F(x) = \dfrac12 \text{e}^{x^2-3}\). Vérification : \(F'(x) = \dfrac12 \times 2x \times \text{e}^{x^2-3} = x\,\text{e}^{x^2-3} = f(x)\). Les autres propositions ne conviennent pas : par exemple la dérivée de la proposition c contient un terme \(\dfrac12 \text{e}^{x^2-3}\) en trop.

Réponse d : \(F(x) = \dfrac12 \text{e}^{x^2-3}\).

2. Nature de la suite \(u_n = \text{e}^{2n+1}\).

Tous les termes sont strictement positifs, on peut donc étudier le quotient de deux termes consécutifs : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text{e}^{2n+3}}{\text{e}^{2n+1}} = \text{e}^{(2n+3)-(2n+1)} = \text{e}^2\). Ce quotient ne dépend pas de \(n\) : la suite est géométrique de raison \(\text{e}^2\) et de premier terme \(u_0 = \text{e}\). Comme \(\text{e}^2 \gt 1\) et \(u_0 \gt 0\), elle tend vers \(+\infty\), ce qui élimine d ; la différence \(u_1 - u_0 = \text{e}^3 - \text{e}\) n'est pas égale à 2, ce qui élimine a.

Réponse c : géométrique de raison \(\text{e}^2\).

3. Compléter la condition de la boucle while.

Une boucle while s'exécute tant que sa condition est vraie. Par ailleurs, on veut continuer à calculer des termes tant que le seuil n'est pas franchi, c'est-à-dire tant que \(u \leqslant 10\,000\) ; la boucle s'arrête au premier rang où \(u \gt 10\,000\), et c'est ce rang qui est renvoyé. La condition c arrêterait la boucle dès le départ (car \(u_0 = 15\)), la condition b aussi, et la condition d ne porte pas sur les termes de la suite. Le script complété est :

def seuil() :
    n=0
    u=15
    while u<=10000:
      n=n+1
      u=1.2*u+12
    return(n)

(En Python, le nombre 1,2 s'écrit 1.2.) Ce programme renvoie 27.

Réponse a : u \(\leqslant 10\,000\).

Question 4

4. Nature de la suite \(v_n = u_n + 60\).

Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_{n+1} = u_{n+1} + 60 = 1{,}2u_n + 12 + 60 = 1{,}2u_n + 72\). Or \(72 = 1{,}2 \times 60\), donc \(v_{n+1} = 1{,}2\left(u_n + 60\right) = 1{,}2\,v_n\). La suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison 1,2, de premier terme \(v_0 = 75\) ; elle est croissante, ce qui exclut la réponse a.

Réponse b : suite géométrique de raison 1,2.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, France, septembre, jour 1) 5 points

Géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance d'un point à une droite

1. a) Montrer que A, B et C définissent un plan.

Trois points définissent un plan dès qu'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire dès que \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires. Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}(2 ; -1 ; 3)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}(1 ; -2 ; 0)\). S'il existait un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = k\,\overrightarrow{\text{AC}}\), la troisième coordonnée donnerait \(3 = k \times 0 = 0\), ce qui est impossible.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires : A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan \(\mathcal{P}\).

1. b) Montrer que (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\) ; interpréter le point C.

Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{CD}}(4-2 ; -1+2 ; -2+1)\), soit \(\overrightarrow{\text{CD}}(2 ; 1 ; -1)\). Les produits scalaires valent :

\(\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 2 \times 2 + 1 \times (-1) + (-1) \times 3 = 4 - 1 - 3 = 0\) et \(\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + (-1) \times 0 = 0\).

Le vecteur \(\overrightarrow{\text{CD}}\) est donc normal au plan \(\mathcal{P}\), et la droite (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\). De plus, C appartient à \(\mathcal{P}\) (c'est l'un des trois points qui le définissent). La droite passant par D et orthogonale à \(\mathcal{P}\) coupe donc ce plan en C.

(CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\) et C est le projeté orthogonal de D sur le plan \(\mathcal{P}\).

Question 1 c

1. c) Vérifier l'équation \(2x + y - z - 3 = 0\).

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a ; b ; c)\) a une équation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\). Avec \(\overrightarrow{\text{CD}}(2 ; 1 ; -1)\), le plan \(\mathcal{P}\) a une équation \(2x + y - z + d = 0\). Pour trouver \(d\), on écrit que C\((2 ; -2 ; -1)\) est dans le plan : \(2 \times 2 + (-2) - (-1) + d = 0\), soit \(3 + d = 0\), donc \(d = -3\). Contrôle avec A : \(2 - 0 + 1 - 3 = 0\) ; avec B : \(6 - 1 - 2 - 3 = 0\).

Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x + y - z - 3 = 0\).

2. a) Calculer CD.

Dans un repère orthonormé, \(\text{CD} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1}\).

\(\text{CD} = \sqrt{6}\).

2. b) Existe-t-il un point M de \(\mathcal{P}\), différent de C, tel que \(\text{MD} = \sqrt{6}\) ?

Prenons un point M quelconque de \(\mathcal{P}\), distinct de C. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{CM}}\) est un vecteur non nul du plan, donc orthogonal au vecteur normal \(\overrightarrow{\text{CD}}\) : le triangle MCD est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, \(\text{MD}^2 = \text{CD}^2 + \text{CM}^2 = 6 + \text{CM}^2\). Comme \(\text{CM} \gt 0\), on obtient \(\text{MD}^2 \gt 6\), donc \(\text{MD} \gt \sqrt{6}\). Le projeté orthogonal C est le seul point du plan qui réalise la distance minimale \(\sqrt{6}\).

Non : tout point M de \(\mathcal{P}\) autre que C vérifie \(\text{MD} \gt \sqrt{6}\).

Question 3 a

3. a) Montrer que \(\Delta\) est incluse dans \(\mathcal{P}\).

Un point quelconque de \(\Delta\) a pour coordonnées \((0 ; 2 + t ; -1 + t)\) avec \(t\) réel. Alors, on remplace dans l'équation de \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 0 + (2 + t) - (-1 + t) - 3 = 2 + t + 1 - t - 3 = 0\). L'égalité est vraie pour toute valeur de \(t\) : chaque point de \(\Delta\) appartient au plan.

La droite \(\Delta\) est contenue dans le plan \(\mathcal{P}\).

3. b) Montrer que H correspond à \(t = -2\).

La droite \(\Delta\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(0 ; 1 ; 1)\), lu devant \(t\). Soit M\((0 ; 2 + t ; -1 + t)\) un point de \(\Delta\). Alors \(\overrightarrow{\text{DM}}(-4 ; 3 + t ; 1 + t)\). Le point M est le projeté orthogonal H de D sur \(\Delta\) exactement lorsque \(\overrightarrow{\text{DM}} \cdot \vec{u} = 0\), c'est-à-dire \(0 \times (-4) + (3 + t) + (1 + t) = 0\), soit \(2t + 4 = 0\). Cette équation a pour unique solution \(t = -2\), qui donne le point \((0 ; 0 ; -3)\).

H est le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = -2\), soit \(\text{H}(0 ; 0 ; -3)\).

3. c) Distance de D à \(\Delta\).

La distance d'un point à une droite est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur la droite, donc ici DH. Avec \(t = -2\), \(\overrightarrow{\text{DH}}(-4 ; 1 ; -1)\), d'où \(\text{DH} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Par ailleurs, on peut contrôler ce résultat : comme \(\overrightarrow{\text{CH}}(-2 ; 2 ; -2)\) est dans \(\mathcal{P}\), le triangle DCH est rectangle en C et \(\text{DH}^2 = \text{DC}^2 + \text{CH}^2 = 6 + 12 = 18\).

La distance du point D à la droite \(\Delta\) vaut \(3\sqrt{2} \approx 4{,}243\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, France, septembre, jour 1) 4 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

L'énoncé fournit \(p_A(T) = 0{,}97\) et \(p_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right) = 0{,}957\). Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1, ce qui donne les probabilités manquantes :

• Branche \(A\) : \(x\) ; puis \(T\) : \(0{,}97\) et \(\overline{T}\) : \(1 - 0{,}97 = 0{,}03\).
• Branche \(\overline{A}\) : \(1 - x\) ; puis \(T\) : \(1 - 0{,}957 = 0{,}043\) et \(\overline{T}\) : \(0{,}957\).

Arbre : \(p(A) = x\), \(p\left(\overline{A}\right) = 1 - x\), \(p_A(T) = 0{,}97\), \(p_A\left(\overline{T}\right) = 0{,}03\), \(p_{\overline{A}}(T) = 0{,}043\), \(p_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right) = 0{,}957\).

2. a) Démontrer que \(p(T) = 0{,}927x + 0{,}043\).

Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne : \(p(T) = p(A)\,p_A(T) + p\left(\overline{A}\right)p_{\overline{A}}(T) = 0{,}97x + 0{,}043(1 - x)\). En développant : \(p(T) = 0{,}97x - 0{,}043x + 0{,}043 = 0{,}927x + 0{,}043\).

Ainsi, on a bien \(p(T) = 0{,}927x + 0{,}043\).

2. b) Probabilité que l'individu soit allergique.

Alors, on sait que 20 % des individus ont un test positif, donc \(p(T) = 0{,}2\). Puis on résout \(0{,}927x + 0{,}043 = 0{,}2\), soit \(0{,}927x = 0{,}157\), d'où \(x = \dfrac{0{,}157}{0{,}927} \approx 0{,}16936\).

\(p(A) = \dfrac{0{,}157}{0{,}927} \approx 0{,}169\).

3. Justifier que \(p_T(A) \gt 0{,}8\).

L'affirmation porte sur la probabilité d'être allergique sachant que le test est positif, c'est-à-dire \(p_T(A)\). Par définition : \(p_T(A) = \dfrac{p(A \cap T)}{p(T)} = \dfrac{x \times 0{,}97}{0{,}2}\). Avec la valeur exacte \(x = \dfrac{0{,}157}{0{,}927}\), on obtient \(p_T(A) = \dfrac{0{,}157 \times 0{,}97}{0{,}927 \times 0{,}2} \approx 0{,}8214\). Même avec la valeur arrondie \(x \approx 0{,}169\), on trouve environ \(0{,}820\), toujours au-dessus de 0,8.

\(p_T(A) \approx 0{,}821 \gt 0{,}8\) : l'affirmation est exacte.

Partie B

1. Loi de \(X\) et ses paramètres.

Par ailleurs, on répète 150 fois, de manière indépendante (tirages avec remise), la même épreuve à deux issues : « l'habitant est allergique », de probabilité 0,08, ou non. C'est un schéma de Bernoulli, et \(X\) compte le nombre de succès.

\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 150\) et \(p = 0{,}08\).

2. Calculer \(p(X = 20)\).

Pour une loi binomiale, \(p(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Ici \(p(X = 20) = \dbinom{150}{20} \times 0{,}08^{20} \times 0{,}92^{130}\). La calculatrice (fonction binomFdp) donne environ \(0{,}008209\).

\(p(X = 20) \approx 0{,}008\).

3. Probabilité qu'au moins 10 % des personnes soient allergiques.

10 % de 150 personnes, cela fait 15 personnes. Alors, on cherche donc \(p(X \geqslant 15)\). Par ailleurs, on passe par l'évènement contraire : \(p(X \geqslant 15) = 1 - p(X \leqslant 14)\). La calculatrice (fonction binomFRép) donne \(p(X \leqslant 14) \approx 0{,}77974\), donc \(p(X \geqslant 15) \approx 0{,}22026\).

\(p(X \geqslant 15) \approx 0{,}220\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2023, France, septembre, jour 1) 7 points

Fonction logarithme, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée seconde, convexité et point d'inflexion, limites

Partie A

1. Signe de \(g'(x)\).

Ensuite, on dérive terme à terme : la dérivée de \(\dfrac{2}{x}\) est \(-\dfrac{2}{x^2}\), celle de \(-\dfrac{1}{x^2} = -x^{-2}\) est \(2x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}\), et celle de \(\ln x\) est \(\dfrac{1}{x}\). Donc \(g'(x) = -\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x}\). En réduisant au dénominateur commun \(x^3\) : \(g'(x) = \dfrac{-2x + 2 + x^2}{x^3} = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}\). Pour \(x \gt 0\), le dénominateur \(x^3\) est strictement positif.

\(g'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}\) a le signe de \(x^2 - 2x + 2\) sur \(]0 ; +\infty[\).

2. Stricte croissance de \(g\).

Le discriminant du trinôme vaut \(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -4 \lt 0\) : le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant 1, donc il est strictement positif. Par ailleurs, on peut aussi l'écrire \((x - 1)^2 + 1 \geqslant 1\). Ainsi \(g'(x) \gt 0\) pour tout \(x \gt 0\).

\(g\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).

3. Unique solution de \(g(x) = 0\) dans \([0{,}5 ; 1]\).

Puis on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection). La fonction \(g\) est dérivable donc continue sur \([0{,}5 ; 1]\), et strictement croissante d'après la question 2. Ensuite, on calcule les valeurs aux bornes : \(g(0{,}5) = \dfrac{2}{0{,}5} - \dfrac{1}{0{,}25} + \ln 0{,}5 = 4 - 4 + \ln 0{,}5 = -\ln 2 \approx -0{,}693\) et \(g(1) = 2 - 1 + \ln 1 = 1\). Le réel 0 est compris entre \(g(0{,}5) \lt 0\) et \(g(1) \gt 0\). Une valeur approchée à la calculatrice est \(\alpha \approx 0{,}592\).

L'équation \(g(x) = 0\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \([0{,}5 ; 1]\), avec \(\alpha \approx 0{,}592\).

Question 4

4. Justifier le tableau de signes de \(g\).

La fonction \(g\) est strictement croissante sur tout \(]0 ; +\infty[\) et \(g(\alpha) = 0\). Si \(0 \lt x \lt \alpha\), la croissance stricte donne \(g(x) \lt g(\alpha) = 0\) ; si \(x \gt \alpha\), elle donne \(g(x) \gt g(\alpha) = 0\). Cela montre au passage que \(\alpha\) est la seule solution de \(g(x) = 0\) sur tout l'intervalle \(]0 ; +\infty[\), pas seulement sur \([0{,}5 ; 1]\).

\(g(x) \lt 0\) sur \(]0 ; \alpha[\), \(g(\alpha) = 0\) et \(g(x) \gt 0\) sur \(]\alpha ; +\infty[\).

Partie B

1. Calculer \(f''(x)\).

Alors, on dérive \(f'(x) = \text{e}^x \times v(x)\) avec \(v(x) = \dfrac{1}{x} + \ln x\), par la formule \((uv)' = u'v + uv'\). Ici \(u = u' = \text{e}^x\) et \(v'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\). Donc \(f''(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right) + \text{e}^x\left(-\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)\). Puis on factorise par \(\text{e}^x\) et on regroupe les deux termes en \(\dfrac{1}{x}\).

\(f''(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)\) pour tout \(x \gt 0\).

2. Remarque : \(f''(x) = \text{e}^x \times g(x)\).

La parenthèse obtenue à la question précédente est exactement l'expression \(g(x)\) de la partie A. Cette question ne demande rien d'autre qu'une observation, qui va servir dans toute la suite.

Pour tout \(x \gt 0\), \(f''(x) = \text{e}^x\,g(x)\).

3. a) Signe de \(f''\).

La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\). Dans le produit \(\text{e}^x\,g(x)\), le signe est donc imposé par \(g(x)\), étudié à la question A.4.

\(f''(x) \lt 0\) sur \(]0 ; \alpha[\), \(f''(\alpha) = 0\), \(f''(x) \gt 0\) sur \(]\alpha ; +\infty[\).

3. b) Unique point d'inflexion.

Un point d'inflexion correspond à une abscisse où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. D'après le tableau précédent, \(f''\) ne s'annule qu'en \(\alpha\), et elle y passe du signe \(-\) au signe \(+\). La courbe admet donc un point d'inflexion et un seul, d'abscisse \(\alpha\). Numériquement, \(f(\alpha) = \text{e}^{\alpha}\ln \alpha \approx -0{,}948\).

\(\mathcal{C}_f\) a un unique point d'inflexion \(\text{A}(\alpha ; \text{e}^{\alpha}\ln\alpha)\), soit environ \((0{,}592 ; -0{,}948)\).

Question 3 c

3. c) Convexité de \(f\).

Une fonction deux fois dérivable est concave là où \(f'' \leqslant 0\) et convexe là où \(f'' \geqslant 0\). Ensuite, on lit ces signes dans le tableau de la question 3. a).

\(f\) est concave sur \(]0 ; \alpha]\) et convexe sur \([\alpha ; +\infty[\).

4. a) Limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

En 0 (par valeurs positives) : \(\text{e}^x\) tend vers \(\text{e}^0 = 1\) et \(\ln x\) tend vers \(-\infty\) ; par produit, \(f(x)\) tend vers \(-\infty\). En \(+\infty\) : \(\text{e}^x\) et \(\ln x\) tendent toutes deux vers \(+\infty\) ; par produit, \(f(x)\) tend vers \(+\infty\). Aucune forme indéterminée n'apparaît.

\(\displaystyle\lim_{x \to 0,\ x \gt 0} f(x) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

4. b) Montrer que \(f'(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)\).

L'idée est de se débarrasser de \(\ln \alpha\) grâce à la relation \(g(\alpha) = 0\). Elle s'écrit \(\dfrac{2}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha^2} + \ln \alpha = 0\), donc \(\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha}\). En remplaçant dans \(f'(\alpha) = \text{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} + \ln\alpha\right)\), on obtient \(f'(\alpha) = \text{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha}\right) = \text{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{1}{\alpha}\right) = \text{e}^{\alpha} \times \dfrac{1 - \alpha}{\alpha^2}\).

\(f'(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)\).

4. c) Signe de \(f'(\alpha)\) puis de \(f'(x)\).

Alors, on a \(\text{e}^{\alpha} \gt 0\) et \(\alpha^2 \gt 0\). De plus \(\alpha \lt 1\) : en effet \(\alpha \leqslant 1\) d'après A.3, et \(\alpha \neq 1\) puisque \(g(1) = 1 \neq 0\). Donc \(1 - \alpha \gt 0\) et \(f'(\alpha) \gt 0\) (valeur approchée : \(f'(\alpha) \approx 2{,}106\)).

Pour le signe de \(f'\) sur tout l'intervalle, on étudie les variations de \(f'\) à l'aide de sa dérivée \(f''\) : d'après 3. a), \(f'\) est strictement décroissante sur \(]0 ; \alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha ; +\infty[\). Elle admet donc en \(\alpha\) son minimum sur \(]0 ; +\infty[\). Pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) \geqslant f'(\alpha) \gt 0\).

\(f'(\alpha) \gt 0\), et \(f'(x) \gt 0\) pour tout \(x\) de \(]0 ; +\infty[\).

Question 4 d

4. d) Tableau de variations de \(f\).

La dérivée étant strictement positive, \(f\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\). Ensuite, on peut y placer le point d'inflexion (\(f(\alpha) \approx -0{,}948\)) et la valeur remarquable \(f(1) = \text{e} \times \ln 1 = 0\).

\(f\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\), et s'annule en \(x = 1\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour primitiver \(x\,\text{e}^{x^2-3}\), on fait apparaître la forme \(u'\text{e}^u\) en ajustant par une constante, puis on vérifie en dérivant.
• Dans une boucle de seuil, la condition du while est la négation de la condition d'arrêt : on boucle tant que \(u \leqslant 10\,000\).
• Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan ; le projeté orthogonal est le point du plan (ou de la droite) le plus proche, ce que justifie Pythagore.
• Ne pas confondre \(p_A(T)\) et \(p_T(A)\) : la seconde se calcule avec \(p(A \cap T) / p(T)\) ; « au moins 10 % de 150 » se traduit par \(X \geqslant 15\), calculé par l'évènement contraire.
• Quand \(f'' = \text{e}^x g(x)\), le signe de \(f''\) est celui de \(g\) ; un minimum strictement positif de \(f'\) suffit à prouver que \(f\) est strictement croissante.
• Pour exploiter \(g(\alpha) = 0\) sans connaître \(\alpha\), on isole \(\ln\alpha\) et on le remplace dans l'expression voulue.

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Ce que contient le corrigé du bac 2023, France, septembre, jour 1

Cette correction complète du bac 2023, France, septembre, jour 1 du 11 septembre 2023 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) aborde : qCM : primitive d'une fonction de la forme, suites géométriques, algorithme de seuil en Python. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance d'un point à une droite. Puis, la correction de l'exercice 3 (4 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale. Enfin, la correction de l'exercice 4 (7 points) aborde : fonction logarithme, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée seconde, convexité et point d'inflexion, limites.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, France, septembre, jour 1

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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